1、分类讨论思想方法,甘肃省临泽一中制作：祁正红,高三复习专题讲座,分类讨论思想方法,在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，对各种情况 加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法。 分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想。有关分类讨论 思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练 人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。,一、在什么情况下要进行分类讨论,1数学中的某些概念、定理、性质、法则、公式是分类定义 或分类给出的，在运用它们时要进行分类讨论。,2研究含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的 “量变”而导致结果发生“质变”，因而也要进行分类讨论。,3
2、在研究几何问题时，由于图形的变化（图形位置不确定 或形状不确定），引起问题结果有多种可能，就需要对各 种情况分别进行讨论。,4含有特殊元素或特殊位置的排列组合问题，其解题的基 本策略，就是按照特殊元素或特殊位置的特征进行恰当的 划分，转化为最基本、最简单的排列组合问题，然后结合 加法原理或乘法原理完成解答。,5树立划分意识，训练思维的严谨性，保证解题的正确 与完整。,二、分类讨论的步骤、原则和方法,1分类评论的一般步骤是：,明确讨论对象，确定对象的全体确定分类标准，正确进行分类 逐步进行讨论，获取阶段性结果归纳小结，综合得出结论。,2逻辑划分应遵循的原则：,分类的对象是确定的，标准是统一的，不
3、遗漏、不重复、 分层次，不越级讨论。,3多层次分类及“二分法”处理复杂问题的分类方法。,4分类讨论后如何归纳结论。,（1）统一式。针对变量分类讨论的，且在不同条件下问题 有不同的结论，归纳结论时应采用分列式。,（2）分列式。针对参数分类讨论的，且每一类讨论结果均是 总结论的一个子集，归纳结论时应采用统一式。,三、灵活运用逻辑划分的思想方法,1通过“补集”间接求解。,2有条件时，尽量减少分类层次，寻求整体解决方法。,、再现性题组：,1集合Ax|x|4,xR，Bx|x3|a，xR， 若AB，那么a的范围是_。A.0a1；B.a1；C.a1；D.0a1。,2若a0且a1，p ，q ，则p、q的大小关
4、系是_。A.pq；B.pq；D.当a1时，pq；当0a1时，pq。,3函数 的值域是_。,5.函数 的值域是_。A.2,+；B.(-,-22,+；C.(-,+)；D.-2,2。,6正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形， 则它的体积为_。A. ；B. ；C. ；D. 或 。,5过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_。A.3x2y0； B.xy50；C.3x2y0或xy50； D.不能确定。,、示范性题组：,例1.设00且a1，比较| |与| |的大小。,【分析】对数函数的性质与底数a有关，而分两类讨论。,【解】01,0;,当a1时，| | |,由、可知，,例2.已知集合A
5、和集合B各含有12个元素，AB含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：CAB且C中含有3个元素；CA。,【分析】由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类： 属于A元素；不属于A而属于B的元素。并由含A中 元素的个数1、2、3,而将取法分三种。,【解】 1084,【另解】（排除法）：,例3.设函数f(x)ax2x2，对于满足10，求实数a的取值范围。,【分析】含参的一元二次函数在有界区间上的值域问题， 先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置进行分 类讨论。（也属数形结合法）,【解】当a0时，f(x)a（x ）2,a1或 ；,当a0时， ，解得；,当a0时，f(x)2x2 , f
6、(1)0，f(4)6，不合题意,由上而得，实数a的取值范围是a 。,例4.解不等式 0 (a为常数，a ),【分析】含参不等式，参数a决定了2a1的符号和两根4a、6a的大小，故对a0、a0、 a0、a 分别加以讨论.,【解】2a10时，a ；4a 0。所以分以下四种情况讨论：,当a0时，(x4a)(x6a)0，解得：x 6a；,当a0时， 0，解得：x0；,当 0，解得:x4a；,当a 时，(x4a)(x6a)0，解得：6ax4a。,综上所述，,【注】含参问题，结合参数的意义及对结果的影响而分类讨论。（含参型）,z为实数或纯虚数,例5.设a0,在复数集C中，解方程： 2|z|a。(90年全国
7、高考),【解】zR，由 2|z|a 得： R；,当zR时， 2|z|a,解得：,|z|1,z(1 )；,当z为纯虚数时，设zy(y0)，, 2ya 解得：,y1 （0a1）,由上可得，z(1 )或(1 ),【注】本题用标准解法（设zxy再代入原式得到一个 方程组，再解方程组）过程十分繁难，而挖掘隐含，对z分 两类讨论则简化了数学问题。（简化型）,【另解】设zxy，代入得,当y0时，,例6.在xoy平面上给定曲线y2x，设点A(a,0)，aR，曲线上 的点到点A的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。 （本题难度0.40）,【分析】求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为
8、二次函数在约束条件x0下的最小值问题，而引起对参数a的取值讨论。,【解】设M(x,y)为曲线y2x上任意一点，则,由于 2x限定x0，所以分以下情况讨论：,当a10时，xa1取最小值，即,当a10时，x0取最小值，即,综上所述，有f(a) 。,、巩固性题组：,1.若 1，则a的取值范围是_,7.到空间不共面的4个点距离相等的平面的个数是_。A. 7； B. 6； C. 5； D. 4。,8. zC，方程 3|z|20的解的个数是_。A. 2； B. 3； C. 4； D. 5。,9.复数zaa(a0)的辐角主值是_。,10.解关于x的不等式：2log (2x1)log (xa)(a0且a1),11.设首项为1，公比为q(q0)的等比数列的前n项和为S，又设 ，求 T 。,12.若复数z、z 、z 在复平面上所对应三点A、B、C组成直角三角形，且|z|2，求z。,13.有卡片9张，将0、1、2、8这9个数字分别写在每张卡片上。现从中任取3张排成三位数，若6可以当作9用，问可组成多少个不同的三位数。,14.函数f(x)(|m|1) x 2(m1)x1的图像与x轴只有一个公共点，求参数m的值及交点坐标。,
