1、一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b2 -a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (ab) 2 = a22ab+b2 a22ab+b2=(ab)2；下面再补充个常用的公式：(3)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；例.已知 是 的三边，且 ，bc，ABC2bcbca则 的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解： 22222acacacc2()()()0bb三、分组
2、分解法.（一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式： nbma分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式= )()(= 每组之间还有公因式！ nba= 例 2、分解因式： xyx5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解：原式= 原式=)()(bay )510()2(byabxa= =x2y= =25x练习：分解因式 1、 2、cx（二）分组后能直接运用公式
3、例 3、分解因式： ayx2分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式= )()(2= yxyx= a例 4、分解因式： 22cba解：原式= )(= (练习：分解因式 3、 4、yx3922yzx22综合练习：（1） （2）2 baxba2（3） （4）18622ayx 49162（5） （6）439a yyx（7） （8）2z 12（9） （10）)(1)(my )()(abca四、十字相乘法.（一）二次项系数为 1 的二次三项式直接利用公式 进行分解。)()(2 qxpqxpx特点：（1）二次项系数是 1；（2）常
4、数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。例 5、分解因式： 652x分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5。由于 6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有 23 的分解适合，即2+3=5。 1 2解： = 1 3 2x32)(2x= 12+13=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例 6、分解因式： 672x解：原式= 1 -1 )6()(1= 1 -6 )(（-1）+（-6 ） = -7练习 5、分解因式(1) (2) (3)242x352a542x练习 6、分解因式(1)
5、 (2) (3)1y10（二）二次项系数不为 1 的二次三项式 cbxa2条件：（1） 2a11（2） c22（3） 11b分解结果： =x2 )(2cxa例 7、分解因式： 1032x分析： 1 -23 -5 （-6）+（-5）= -11解： =2x)5(练习 7、分解因式：（1） （2）6752x2732x（3） （4）310 106y（三）二次项系数为 1 的齐次多项式例 8、分解因式： 228ba分析：将 看成常数，把原多项式看成关于 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。ba1 8b1 -16b 8b+(-16b)= -8b解： =228ba )16(8)16(bb= )(a练习 8
6、、分解因式(1) (2) (3)223yx22nm226ba（四）二次项系数不为 1 的齐次多项式例 9、 例 10、226732xy1 -2y 把 看作一个整体 1 -1 xy2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=)3)(yx )(练习 9、分解因式：（1） （2）22475yx862ax综合练习 10、 （1） （2）1836 2151yx（3） （4）0)()(2yx 34)(2ba（5） （6）2yx 6nmnm（7） （8）44 2)(035ab（9） （10）136222(1)( yxxyx思考：分解因式： acb
7、acx)(22五、换元法。例 13、分解因式（1） 0505x（2） 2)6(3)(1解：（1）设 2005= ，则原式=aa12= )05)(05(x（2）型如 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。eabcd原式= 222)65)(7( xxx设 ，则A65A7原式= = =2)(2)(练习 13、分解因式（1） )(42yxyx（2） 90383（3） 22)5()1(aa例 14、分解因式（1） 6234xx观察：此多项式的特点是关于 的降幂排列，每一项的次数依次少 1，并且系数成“轴对称” 。这种多项式属于“等距离多项式” 。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再
8、用换元法。解：原式= =)12(2xx6)()1(2x设 ，则t1t原式= =6)2（ 02= =5tx 215xx= =1 12x= )2()1(2xx（2） 434解：原式= =2211412xx设 ，则yx12yx原式= =2(43)(1)3= =122x练习 14、 （1） 6776234xx（2） )(12六、添项、拆项、配方法。例 15、分解因式（1） 432x解法 1拆项。 解法 2添项。原式= 原式=23x 43xx= = )1()1)( )4()3(2x= = = )1)4(2= )4)(12xx= = 2)(1x（2） 369解：原式= )()1()(369xx= )()(
9、33x= 13= 2)()(62练习 15、分解因式（1） （2）893x 424)1()()(xx（3） （4）1724 2a（5） （6）)(y 4cbcba七、待定系数法。例 16、分解因式 613622yxyx分析：原式的前 3 项 可以分为 ，则原多项式必定可分为)2(yx)(nmyx解：设 =22 )(nm =yx myx)3(622 =136 nyx2对比左右两边相同项的系数可得 ，解得61nn原式= )32)(3(yx例 17、 （1）当 为何值时，多项式 能分解因式，并分解此多项式。m652ymx（2）如果 有两个因式为 和 ，求 的值。823ba12ba（1）分析：前两项可
10、以分解为 ，故此多项式分解的形式必为)(y)(xy解：设 =652xxa则 =mabyb)()(2比较对应的系数可得： ，解得： 或6ab13m2当 时，原多项式可以分解；1当 时，原式= ；)(2(yx当 时，原式=m3（2）分析： 是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因823bxa式必为形如 的一次二项式。c解：设 = )(2)1(cx则 =23 233 解得 ，8cba47cba =21练习 17、 （1）分解因式 2910322yxxy（2）分解因式 675（3） 已知： 能分解成两个一次因式之积，求常数p14并且分解因式。p（4） 为何值时， 能分解成两个一次因式的
11、乘积，并k 2322yxkxy分解此多项式。知识总结归纳因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7. 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提” 、二“公” 、三“分” 、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；
