1、1,离散数学(Discrete Mathematics),第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重言式与蕴含式(Tautology and Implication),一、命题公式的分类二、蕴含式三、蕴含式的性质,3,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重言式与蕴含式(Tautology and Implication),1.5.1 命题公式的分类 1.5.2 重言式与矛盾式的性质 1.5.3 蕴含式,4,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重言式与蕴含式(Tautology and Implication)
2、,1.5.1 命题公式的分类定义1.5.1 设A为任一命题公式， （1）若A在其各种赋值下的取值均为真，则称A是重言式或永真式, 记为T或1。 （2）若A在其各种赋值下的取值均为假，则称A是矛盾式或永假式, 记为F或0。 （3）若A不是矛盾式则称A为可满足式(satisfiable)。注: 由定义可知,重言式一定是可满足式,反之不真.,5,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重言式与蕴含式(Tautology and Implication),判别命题公式的类型有两种方法: 真值表法和等值 演算法.等值演算法是将所给命题公式通过等值演算化为最 简单的形式, 然后再
3、进行判别. 例1.判别下列命题公式的类型. (1). Q(PQ)P) (重言式) (2). (PP) (QQ)R (矛盾式) (3). (P Q)P. (可满足式),6,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重言式与蕴含式(Tautology and Implication),1.5.2 重言式与矛盾式的性质 定理1.5.1: 任何两个重言式的合取或析取,仍然是一重言式.（由幂等律立得）证明:设A和B为两个重言式,则不论A和B的分量指派任何真值,总有A为T,B为T,故A B T,A B T定理1.5.2: 一个重言式(矛盾式),对同一分量都用任何合式公式置换,其结果
4、仍为一重言式(矛盾式).证明: 由于重言式(矛盾式)的真值与对变元的赋值无关，故对同一变元以任何合式公式置换后，重言式(矛盾式)的真值仍永为T（F）。举例,例题1 证明(PS)R)V(PS)R)为重言式。,证明：因为PVPT（否定律，）为重言式，根据定理1.5.2如以(PS)R)置换P即得(PS)R)V(PS)R) T,8,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重言式与蕴含式(Tautology and Implication),定理1.5.3： A,B是两个命题公式，A B的充要条件是A B为重言式。证明: 若AB为重言式，则AB永为T，即A，B的真值表相同，所以
5、AB。反之，若A B，则A，B真值表相同， 所以AB永为T，所以AB为重言式。举例,例2 ：证明（Q P） （ PQ ） （QQ） ） P T 证明： 直接证明该式T 很长 根据定理1.5.3，只需证 （Q P） （ PQ ） （QQ） ） P 左 （ Q P） （ P Q ） T （ Q P） （ Q P ） P （ Q Q） P F P,小结： 证明A B的方法 按定义。即根据真值表，二者具有相同真值 要证明 A B T 只需证明A B 即可，反之亦然 用等价代换推导法A B,1.5.3 蕴含式( Implication)（一类特殊的重言式）定义1.5.2：当且仅当P Q是一个重言式时，我
6、们称“P蕴含Q”，并记作P Q.例如：（P Q ）Q （P Q ） Q P （ Q Q） P T T，故（P Q ） Q,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重言式与蕴含式(Tautology and Implication),13,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重言式与蕴含式(Tautology and Implication),它们之间具有如下关系:PQ Q P 由P21 表1-5.1QP P Q 可以得出 因此, 要证明P Q有四种方法: 1)真值表法:即列出PQ的真值表,观察其是否为永真。 2)直接证法:假定前件P是真，
7、推出后件Q是真。 3)间接证法:假定后件是假，推出前件是假,即证 Q P 。 4）等价代换法：即利用等价代换证明PQ为永真,直接证法：要想让P Q为永真，那么当P为真时，Q只能为真,间接证法：要想让P Q为永真，那么当Q为假时，只能P只能为假,15,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重言式与蕴含式(Tautology and Implication),例: 证明Q（PQ）P 1) 法1：真值表 即证明（Q（PQ） P为永真 2) 法2：若 Q(PQ)为真，则 Q，PQ均为真，所以Q为假，P为假，所以P为真。 3) 法3：若P为假，则P为真，再分二种情况：若Q为真
8、，则Q为假, （PQ）为真从而Q（PQ）为假. 若Q为假，则Q为真，PQ为假，从而Q（PQ）为假. 根据 ，所以 Q（PQ）P 4）法4： （Q（PQ） P （Q（ P Q） P（Q （P Q） P（Q P） （Q Q ） P（Q P） P Q T T,P21 表 1-5.2 常用的蕴含重言式,18,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重言式与蕴含式(Tautology and Implication),定理1.5.4: 设P,Q为任意两个命题公式,PQ的充要条件为PQ且QP.证：若PQ，则PQ为永真式因为 PQ （PQ）（QP）所以 PQ，QP为永真式,从而 P
9、Q，QP.反之，若PQ，QP，则PQ，QP为永真式,所以（PQ）（QP）为永真式，从而 PQ为永真式，即PQ.,等价式与蕴含式的关系:,19,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重言式与蕴含式(Tautology and Implication),蕴含的性质: 设A，B，C为任意命题公式（合式公式） 1)A A； 2）若A B，则B A 3）若A B，B C，则A C 4）若AB，且A为永真式，则B必为永真式. 5) 若AB，BC，则AC. 6) 若AB，AC，则ABC. 7) 若AB，CB，则ACB. 证：4)因为AB，A永为T,所以B必永为T.5)若AB，BC
10、，则（AB)为永真且(BC）为永真所以 （AB)(BC）永为T,由I11 （AB)(BC）AC,根据4）所以从而AC永为T, 故AC.,20,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重言式与蕴含式(Tautology and Implication),6) 由已知，（AB)(AC）永为T （AB）（AC） （AB）（AC） A（BC） A（BC）为永真 7) 由已知，（AB）（CB）为永真 （AB）（CB） （AB）（CB） （AC）B （AC）B （AC）B为永真,21,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重言式与蕴含式(Tautolo
11、gy and Implication),小结：本节介绍了命题公式的分类，重言式、矛盾式与蕴含式的概念及其性质，等价式与蕴涵式的关系。 重点掌握:（1）用等值演算法判别命题公式的类型。（2）重言式、矛盾式与蕴涵式的性质。（3）等价式与蕴涵式的关系。 作业: P23 (1)c,d ,(2) a ,(8). 预习:1.6 思考题:1) 为什么要引入联结词? 2) 什么是最小联结词组?,小 结,真值表指派 真值表及其构成方法 等价公式及等价置换 命题公式的分类 蕴含式判定及其性质,（1）若A在其各种赋值下的取值均为真，则称A是重言式或永真式, 记为T或1。 （2）若A在其各种赋值下的取值均为假，则称A
12、是矛盾式或永假式, 记为F或0。,定理1.5.1:任何两个重言式的合取或析取,仍然是一重言式.（由幂等律立得） 定理1.5.2:一个重言式(矛盾式),对同一分量都用任何合式公式置换,其结果仍为一重言式(矛盾式).,定理1.5.3： A,B是两个命题公式，A B的充要条件是A B为重言式。,小结：证明A B的方法 按定义。即根据真值表，二者具有相同真值 要证明 A B T 只需证明A B 即可，反之亦然 用等价代换推导法A B,定义1.5.2：当且仅当P Q是一个重言式时，我们称“P蕴含Q”，并记作P Q.,因此, 要证明P Q有四种方法: 1)真值表法:即列出PQ的真值表,观察其是否为永真。 2)直接证法:假定前件P是真，推出后件Q是真。 3)间接证法:假定后件是假，推出前件是假,即证 Q P 。 4）等价代换法：即利用等价代换证明PQ为永真,等价式与蕴含式的关系:定理1.5.4: 设P,Q为任意两个命题公式,PQ的充要条件为PQ且QP.,
