1、线性代数,昆明理工大学数学系 2009.12,2,第三节 非齐次线性方程组,非齐次线性方程组有解的充要条件,非齐次线性方程组解的结构,一. 非齐次线性方程组有解的充要条件,简记为Ax=b。,向量，(A, b)称为增广矩阵。,为未知数列,（1）,（1）,即系数矩阵和增广矩阵分别为,方程组(1)的向量形式为,（2）,非齐次线性方程组Ax=b不一定有解。,定理1.,非齐次线性方程组Ax=b有解,定理2.,（2）,是对应齐次方程组Ax=0的解， 则,是非齐次方程组Ax=b的解。,二. 非齐次线性方程组解的结构,证明：,（1）,（2）,故（1）、（2）成立，证毕。,定理3.,齐次方程组Ax=b的所有解（
2、称为通解）为,是对应齐次方程组Ax=0的基础解系，则非,（3）,定理4.,的充分必要条件为,n元非齐次线性方程组Ax=b有无穷多个解,推论.,Ax=b有唯一解的充分必要条件为,当m=n时， Ax=b有唯一解的充分必要条件为,就是克莱姆法则：,行列式。,本 节 完,证明：,Ax=b有解,证明：,由2定理4，,是对应齐次方程组Ax=0的通解。,(3)式是Ax=b的解。,由上面定理2(2)可知,是对应齐次方程组Ax=0的解，因而存在常数,，使,（3）,证明：,必要性：设Ax=b有无穷多个解。,有解，由定理1得,首先， Ax=b,其次，设有两个不同,解为,齐次方程组Ax=0的非零解，,由2定理1，,由上面的定理3， Ax=b的所有解为,证明：,第一部分: Ax=b有唯一解,可由定理4得到。,现证第二部分，m=n的情况。这时A为n阶矩阵,Ax=b有唯一解,比较等式两边第j行的元素，就得,其中,第j列展开，就有,，若将系数行列式D按,
