1、15.1 空间几何体【课时作业】A 级1如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )解析： 先观察俯视图，由俯视图可知选项 B 和 D 中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项 D 正确答案： D2已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的( )解析： 由题意该四棱锥的直观图如图所示：2则其三视图如图：答案： C3设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为 4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为( )A100 B 2563C. D 4003 5003解析： 由题意知切面圆的半径 r4，球心到切面的距离 d3，所以球的半径
2、R 5，故球的体积 V R3 5 3 ，即该西瓜的体积为 .r2 d2 42 3243 43 5003 5003答案： D4如图，水平放置的三棱柱的侧棱长为 1，且侧棱 AA1平面 A1B1C1，正视图是边长为 1 的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的侧视图面积为( )A2 B3 3C. D132解析： 由直观图、正视图以及俯视图可知，侧视图是宽为 ，长为 1 的长方形，所32以面积 S 1 .故选 C.32 32答案： C5(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1， O2，过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( )A12
3、 B122C8 D1023解析： 设圆柱的轴截面的边长为 x，则由 x28，得 x2 ，2 S 圆柱表 2 S 底 S 侧 2( )22 2 12.2 2 2故选 B.答案： B6(2018福州市质量检测)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. 3 B 612 12C. 3 D 6 3 3解析： 由三视图可知，该几何体是由直四棱柱与圆锥拼接而成的简单组合体，如图所示由题设得， V 四棱柱 (12)213， V 圆锥 21 ，所以该几何体的12 13 (12) 12体积 V V 四棱柱 V 圆锥 3 .故选 A.12答案： A7(2018
4、武汉市部分学校调研)一个几何体的三视图如图，则它的表面积为( )A28 B242 5C204 D2025 5解析： 根据该几何体的三视图作出其直观图如图所示，可以看出该几何体是一个底4面是梯形的四棱柱根据三视图给出的数据，可得该几何体中梯形的上底长为 2，下底长为 3，高为 2，所以该几何体的表面积 S (23)22222322212242 ，故选 B.22 12 5答案： B8祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5 世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异” 意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积
5、一定相等现有以下四个几何体：图是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图、图、图分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为( )A BC D解析： 设截面与底面的距离为 h，则中截面内圆的半径为 h，则截面圆环的面积为( R2 h2)；中截面圆的半径为 R h，则截面圆的面积为 ( R h)2；中截面圆的半径为 R ，则截面圆的面积为 2；中截面圆的半径为 ，则截面圆的面积为h2 (R h2) R2 h2( R2 h2)所以中截面的面积相等，故其体积相等，选 D.答案： D9(2018昆明市高三摸底调研测试)古人采取“用臼春米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于春米的“臼”多
6、用石头或木头制成一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为( )5A63 B72C79 D99解析： 由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的高为 5，底面圆的半径为 3，半球的半径为 3，所以组合体的体积为 325 3 363，故选 A.12 43答案： A10某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为( )A. B12 24C. D22 32解析： 依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为 a，则斜边长为 a，圆锥的底面半径为 a、母线长为 a，因此其俯视图中椭圆的长轴长
7、为222a、短轴长为 a，其离心率 e ，选 C.21 (a2a)2 22答案： C11如图是一个几何体的三视图，其中正视图是边长为 2 的等边三角形，侧视图是直角边长分别为 1 和 的直角三角形，俯视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的内接三棱锥3的体积的最大值为( )6A. B36 33C. D433 33解析： 由三视图可知该几何体为半个圆锥，圆锥的母线长 l2，底面半径 r1，高h .由半圆锥的直观图可得，当三棱锥的底面是斜边为半圆直径，高为半径的l2 r2 3等腰直角三角形，棱锥的高为半圆锥的高时，其内接三棱锥的体积达到最大值，最大体积为 V 21 ，故选 B.16 3 33答案：
8、B12在棱长为 3 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， P 在线段 BD1上，且 ， M 为线段BPPD1 12B1C1上的动点，则三棱锥 MPBC 的体积为( )A1 B32C. D与 M 点的位置有关92解析： ，点 P 到平面 BC1的距离是 D1到平面 BC1距离的 ，即为BPPD1 12 131. M 为线段 B1C1上的点， S MBC 33 ， VMPBC VPMBC 1 .D1C13 12 92 13 92 32答案： B13(2018天津卷)如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则四棱锥 A1BB1D1D的体积为_解析： 正方体棱长为 1，矩形 BB1D
9、1D 的长和宽分别为 1， .27四棱锥 A1BB1D1D 的高是正方形 A1B1C1D1对角线长的一半，即为 ，22 V 四棱锥 A1BB1D1D Sh (1 ) .13 13 2 22 13答案： 1314(2017江苏卷)如图，在圆柱 O1O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱 O1O2的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则 的值V1V2是_解析： 设圆柱内切球的半径为 R，则由题设可得圆柱 O1O2的底面圆的半径为 R，高为 2R， .V1V2 R22R43 R3 32答案： 3215一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是_解析：
10、 由四棱锥的三视图可知，该四棱锥的直观图如图中四棱锥 PABCD 所示，底面ABCD 为边长为 1 的正方形， PAD 是边长为 1 的等边三角形，作 PO AD 于点 O，则 O 为 AD的中点，所以四棱锥的体积为 V 11 .13 32 36答案： 3616(2018新疆自治区适应性检测)如图是一个四棱锥的三视图，其正视图与侧视图8都是边长为 2 的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的外接球的体积是3_解析： 根据三视图可知，该几何体是底面边长为 2 ，斜高为 2 的正四棱锥3 3SABCD.其外接球的球心在正四棱锥的高上，设此四棱锥的底面中心为 O，外接球球心为O，连接 SO， O
11、B， O B，如图，设此四棱锥的外接球的半径为 R，则根据正四棱锥的性质，易得 SO3， OO3 R， O B ，可得(3 R)2( )2 R2，解得 R ，故球的体积6 652V R3 .43 1256答案： 1256B 级1(2018兰州市诊断考试)刘徽九章算术注记载：“邪解立方，得两堑堵邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑阳马居二，鳖臑居一，不易之率也 ”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值 21，这一结论今称刘徽原理如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为( )A. B 332C3 D4
12、9解析： 由三视图得阳马是一个四棱锥，如图中四棱锥 PABCD，其中底面是边长为 1的正方形，侧棱 PA底面 ABCD 且 PA1，所以 PC ， PC 是四棱锥 PABCD 的外接球的直3径，所以此阳马的外接球的体积为 3 ，故选 B.43(32) 32答案： B2将一个底面半径为 1，高为 2 的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为( )A. B27 827C. D 3 29解析： 如图所示，设圆柱的半径为 r，高为 x，体积为 V，由题意可得 ，所r1 2 x2以 x22 r，所以圆柱的体积 V r2(22 r)2( r2 r3)(0r1)，设 V(r)2( r2 r3
13、)(0r1)，则 V( r)2(2 r3 r2)，由 2(2 r3 r2)0 得 r ，所以圆23柱的最大体积 Vmax2 .(23)2 (23)3 827答案： B3(2018福建市第一学期高三期末考试)如图，在四棱锥 EABCD 中，10AB CD， ABC90， CD2 AB2 CE4，点 F 为棱 DE 的中点(1)证明： AF平面 BCE；(2)若 BC4， BCE120， DE2 ，求三棱锥 BCEF 的体积5解析： (1)证明：如图，取 CE 的中点 M，连接 FM， BM.因为点 F 为棱 DE 的中点，所以 FM CD 且 FM CD2，12因为 AB CD，且 AB2，所以
14、 FM AB 且 FM AB，所以四边形 ABMF 为平行四边形，所以 AF BM，因为 AF平面 BCE， BM平面 BCE，所以 AF平面 BCE.(2)因为 AB CD， ABC90，所以 CD BC.因为 CD4， CE2， DE2 ，所以 CD2 CE2 DE2，5所以 CD CE，因为 BC CE C， BC平面 BCE， CE平面 BCE，所以 CD平面 BCE.因为点 F 为棱 DE 的中点，且 CD4，所以点 F 到平面 BCE 的距离为 2.S BCE BCCEsin BCE 42sin 1202 .12 12 3三棱锥 BCEF 的体积 VBCEF VFBCE S BCE
15、2 2 2 .13 13 3 4334右图为一简单组合体，其底面 ABCD 为正方形， PD平面 ABCD， EC PD，且PD AD2 EC2.(1)请画出该几何体的三视图；11(2)求四棱锥 B CEPD 的体积解析： (1)该组合体的三视图如图所示(2) PD平面 ABCD，PD平面 PDCE，平面 PDCE平面 ABCD.四边形 ABCD 为正方形， BC CD，且 BC DC AD2.又平面 PDCE平面 ABCD CD，BC平面 ABCD. BC平面 PDCE. PD平面 ABCD， DC平面 ABCD， PD DC.又 EC PD， PD2， EC1，四边形 PDCE 为一个直角
16、梯形，其面积：S 梯形 PDCE (PD EC)DC 323.12 12四棱锥 B CEPD 的体积 VB CEPD S 梯形 PDCEPD 322.13 1315.2 空间中的平行与垂直【课时作业】A 级1设 ， 是两个不同的平面， m 是直线且 m ， “m ”是“ ”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析： 当 m 时，过 m 的平面 与 可能平行也可能相交，因而 m / ；当 时， 内任一直线与 平行，因为 m ，所以 m .综上知，“m ”是“ ”的必要而不充分条件答案： B2(2018全国卷)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，
17、E 为棱 CC1的中点，则异面直线 AE与 CD 所成角的正切值为( )A. B22 32C. D52 72解析： 如图，因为 AB CD，所以 AE 与 CD 所成的角为 EAB.在 Rt ABE 中，设 AB2，则 BE ，则 tan EAB ，5BEAB 52所以异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为 .故选 C.52答案： C3已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长为 的正三角94 3形若 P 为底面 A1B1C1的中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为( )A. B512 3C. D 4 6解析： 如图，取 P1为底面 ABC 的中心，连接
18、PP1， AP1，由底面是边长为 的正三角形，知底面三角形的高为 ，面积为 ，又三棱柱的332 334体积为 ，则高 PP1 ， AP11， PAP1为所求角，因为94 3tan PAP1 ，所以 PAP1 .3 32答案： B4如图，以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把 ABD 和 ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： BD AC； BAC 是等边三角形；三棱锥 DABC 是正三棱锥；平面 ADC平面 ABC.其中正确的是( )A BC D解析： 由题意知， BD平面 ADC，故 BD AC，正确； AD 为等腰直角三角形 ABC 的斜边 B
19、C 上的高，平面 ABD平面 ACD，所以 AB AC BC， BAC 是等边三角形，正确；易知 DA DB DC，结合知正确；由知不正确故选 B.答案： B5如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中， BAC90， BC1 AC，若 P 为三角形 A1B1C1内一点(不含边界)，则点 P 在底面 ABC 的投影可能在( )A ABC 的内部 B ABC 的外部C直线 AB 上 D以上均有可能解析： 因为 AC AB， AC BC1，所以 AC平面 ABC1， AC平面 ABC，所以平面 ABC1平面 ABC，所以 C1在平面 ABC 上的射影 H 必在两平面的交线 AB 上若 P 为三角形 A
20、1B1C1内一点(不含边界)，则点 P 在底面 ABC 的投影可能在 ABC 的外部答案： B6若 P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，矩形对角线的交点为 O， M 为 PB 的中点，给出以下四个命题： OM平面 PCD； OM平面 PBC； OM平面 PDA； OM平面 PBA.其中正确的命题是_解析： 由已知可得 OM PD， OM平面 PCD 且 OM平面 PAD.故正确的只有.答案： 7已知 a， b， l 表示三条不同的直线， ， ， 表示三个不同的平面，有下列四3个命题：若 a， b，且 a b，则 ；若 a， b 相交，且都在 ， 外， a ， a ， b ， b ，则 ；若
21、， a， b ， a b，则 b ；若 a ， b ， l a， l b， l ，则 l .其中正确的命题是_(填序号)解析： 在正方体 A1B1C1D1ABCD 中，可令平面 A1B1CD 为 ，平面 DCC1D1为 ，平面 A1B1C1D1为 ，又平面 A1B1CD平面 DCC1D1 CD，平面 A1B1C1D1平面 DCC1D1 C1D1，则CD 与 C1D1所在的直线分别表示 a， b，因为 CD C1D1，但平面 A1B1CD 与平面 A1B1C1D1不平行，即 与 不平行，故错误因为 a， b 相交，假设其确定的平面为 ，根据a ， b ，可得 .同理可得 ，因此 ，正确由两平面垂
22、直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知正确当 a b 时， l 垂直于平面 内两条不相交直线，不可得出 l ，错误故填.答案： 8.如图， PA圆 O 所在的平面， AB 是圆 O 的直径， C 是圆 O 上的一点， E、 F 分别是点A 在 PB、 PC 上的正投影，给出的下列结论正确的是_ AF PB； EF PB； AF BC； AE平面 PBC.解析： 由题意知 PA平面 ABC，所以 PA BC.又 AC BC， PA AC A，所以 BC平面 PAC.所以 BC AF.因为 AF PC， BC PC C，所以 AF平面 PBC， PB平面 PBC，所以 AF PB，
23、又 AE PB， AE AF A，所以 PB平面 AEF，所以 PB EF.4故正确答案： 9(2018郑州市第一次质量测试)如图，在三棱锥 PABC 中，平面PAB平面 ABC， AB6， BC2 ， AC2 ， D 为线段 AB 上的点，且3 6AD2 DB， PD AC.(1)求证： PD平面 ABC；(2)若 PAB ，求点 B 到平面 PAC 的距离 4解析： (1)证明：cos ABC ，236 33 CD22 2(2 )2222 cos ABC8， CD2 ，3 3 2 CD2 AD2 AC2，则 CD AB.平面 PAB平面 ABC， CD平面 PAB， PD平面 PAB， C
24、D PD， PD AC， AC CD C， PD平面 ABC.(2)由(1)得 PD AB， PAB ， 4 PD AD4， PA4 ，2在 Rt PCD 中， PC 2 ，PD2 CD2 6 PAC 是等腰三角形，可求得 S PAC8 .2设点 B 到平面 PAC 的距离为 d，由 VBPAC VPABC，得 S PACd S ABCPD，13 13 d 3.S ABCPDS PAC故点 B 到平面 PAC 的距离为 3.10在如图所示的多面体 ABCDE 中，已知 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面 ABCD平面 ABE， AEB90， AE BE.(1)若 M 是 DE 的中点，试在
25、 AC 上找一点 N，使得 MN平面 ABE，并给出证明；(2)求多面体 ABCDE 的体积5解析： (1)连接 BD，交 AC 于点 N，则点 N 即为所求，证明如下： ABCD 是正方形， N 是 BD 的中点，又 M 是 DE 的中点， MN BE， BE平面 ABE， MN平面 ABE， MN平面 ABE.(2)取 AB 的中点 F，连接 EF， ABE 是等腰直角三角形，且 AB2， EF AB， EF AB1，12平面 ABCD平面 ABE，平面 ABCD平面 ABE AB，EF平面 ABE， EF平面 ABCD，即 EF 为四棱锥 EABCD 的高， V 四棱锥 EABCD S
26、正方形 ABCDEF 221 .13 13 43B 级1如图，四棱锥 SABCD 的底面为正方形， SD底面 ABCD，则下列结论中不正确的是( )A AC SBB AB平面 SCDC SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角D AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角解析： 易证 AC平面 SBD，因而 AC SB，A 正确；AB DC， DC平面 SCD，故 AB平面 SCD，B 正确；6由于 SA， SC 与平面 SBD 的相对位置一样，因而所成的角相同故选 D.答案： D2把平面图形 M 上的所有点在一个平面上的射影构成的图形 M称为图形 M 在
27、这个平面上的射影如图，在长方体 ABCDEFGH 中， AB5， AD4， AE3.则 EBD 在平面 EBC上的射影的面积是( )A2 B34252C10 D30解析： 连接 HC，过 D 作 DM HC，连接 ME， MB，因为 BC平面 HCD，又 DM平面HCD，所以 BC DM，因为 BC HC C，所以 DM平面 HCBE，即 D 在平面 HCBE 内的射影为M，所以 EBD 在平面 HCBE 内的射影为 EBM，在长方体中， HC BE，所以 MBE 的面积等于 CBE 的面积，所以 EBD 在平面 EBC 上的射影的面积为 42 ，故选 A.12 52 32 34答案： A3如
28、图所示，平行四边形 ABCD 中， DAB60， AB2， AD4.将 CBD 沿 BD 折起到 EBD 的位置，使平面 EBD平面 ABD.(1)求证： AB DE；(2)求三棱锥 EABD 的侧面积和体积解析： (1)证明：在 ABD 中，因为 AB2， AD4， DAB60，所以 BD2 ，AB2 AD2 2ABADcos DAB 3所以 AB2 BD2 AD2，所以 AB BD.又平面 EBD平面 ABD，平面 EBD平面 ABD BD， AB平面 ABD，所以 AB平面 EBD.又 DE平面 EBD，所以 AB DE.(2)由(1)知 AB BD.7因为 CD AB，所以 CD BD
29、，从而 DE BD.在 Rt DBE 中，因为 DB2 ， DE DC AB2，所以 S EDB BDDE2 .312 3因为 AB平面 EBD， BE平面 EBD，所以 AB BE.因为 BE BC AD4，所以 S EAB ABBE4.12因为 DE BD，平面 EBD平面 ABD，平面 EBD平面 ABD BD，所以 DE平面 ABD，而AD平面 ABD，所以 DE AD，故 S EAD ADDE4.12故三棱锥 EABD 的侧面积 S S EDB S EAB S EAD82 .3因为 DE平面 ABD，且 S ABD S EBD2 ， DE2，3所以 V 三棱锥 EABD S ABDD
30、E 2 2 .13 13 3 4334如图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形，侧棱 PA底面 ABCD，且 PA ， E 是侧棱 PA 上的动点3(1)求四棱锥 PABCD 的体积；(2)如果 E 是 PA 的中点，求证： PC平面 BDE；(3)不论点 E 在侧棱 PA 的任何位置，是否都有 BD CE？证明你的结论解析： (1)因为 PA平面 ABCD，所以 VPABCD S 正方形 ABCDPA 12 ，13 13 3 33即四棱锥 PABCD 的体积为 .33(2)证明：如图所示，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OE.因为四边形 ABCD 是正方形，所以 O 是
31、AC 的中点，又 E 是 PA 的中点，所以 PC OE，因为 PC平面 BDE， OE平面 BDE，所以 PC平面 BDE.(3)不论点 E 在侧棱 PA 的任何位置，都有 BD CE.证明如下：8因为四边形 ABCD 是正方形，所以 BD AC，因为 PA底面 ABCD，且 BD平面 ABCD，所以 BD PA，又 AC PA A，所以 BD平面 PAC.因为不论点 E 在侧棱 PA 的任何位置，都有 CE平面 PAC，所以不论点 E 在侧棱 PA 的任何位置，都有 BD CE.15.3 空间向量与立体几何【课时作业】A 级1在正三棱柱 ABC A1B1C1中， AB4，点 D 在棱 BB
32、1上，若 BD3，则 AD 与平面AA1C1C 所成角的正切值为( )A. B235 43C. D54 23913解析： 如图，可得 ( ) 42 1252 cos AD EB AB BD EB AB EB 3 32 3 ( 为 与 的夹角)，AD EB 所以 cos ，sin ，tan ，又因为 BE平面235 135 396AA1C1C，所以所求角的正切值为 .23913答案： D2如图，在矩形 ABCD 中， AB2， AD3，点 E 为 AD 的中点，现分别沿 BE， CE 将ABE， DCE 翻折，使得点 A， D 重合于 F，此时二面角 EBCF 的余弦值为( )A. B721 7
33、4C. D32 34解析： 如图所示，取 BC 的中点 P，连接 EP， FP，由题意得BF CF2， PF BC，又 EB EC， EP BC， EPF 为二面角 EBCF 的平面角，而 FP ，在 EPF 中，cos EPF FB2 (12BC)2 72 EP2 FP2 EF22EPFP2 .4 74 942272 74答案： B3在空间直角坐标系中，以点 A(4,1,9)， B(10，1,6)， C(x,4,3)为顶点的 ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形，则实数 x 的值为_解析： 由题意得 (6，2，3)，AB ( x4,3，6)，AC (6，2，3)( x4,3，6)AB AC
34、 6( x4)6180，解之得 x2.答案： 24已知边长为 2 的正方形 ABCD 的四个顶点在球 O 的球面上，球 O 的体积 V 球 ，则 OA 与平面 ABCD 所成的角的余弦值为_16053解析： 如图，过点 O 作 OM平面 ABCD，垂足为点 M，则点 M 为正方形 ABCD 的中心正方形 ABCD 的边长为 2， AC2 ， AM .2 2 V 球 r3 ，球 O 的半径 OA r2 ， OA 与平面 ABCD 所成的角的余43 16053 5弦值为 cos OAM .AMOA 225 1010答案： 10105如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， A1A底面 ABCD
35、，底面四边形ABCD 为菱形， A1A AB2， ABC ， E， F 分别是 BC， A1C 的中点 3(1)求异面直线 EF， AD 所成角的余弦值；(2)点 M 在线段 A1D 上， .若 CM平面 AEF，求实数 的A1MA1D值3解析： (1)因为由题意知四棱柱 ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，A1A平面 ABCD.又 AE平面 ABCD， AD平面 ABCD，所以 A1A AE， A1A AD.在菱形 ABCD 中， ABC ，则 ABC 是等边三角形 3因为 E 是 BC 中点，所以 BC AE.因为 BC AD，所以 AE AD.故建立如图所示，以 A 为原点， AE 为
36、x 轴， AD 为 y 轴， AA1为 z 轴的空间直角坐标系Axyz.则 A(0,0,0)， C( ， 1,0)， D(0,2,0)， A1(0,0,2)， E( ，0,0)， F .3 3 (32， 12， 1)(0,2,0)， ，AD EF ( 32， 12， 1)cos ， ，AD EF AD EF |AD |EF | 121 1 24所以异面直线 EF， AD 所成角的余弦值为 .24(2)设 M(x， y， z)，由于点 M 在线段 A1D 上，且 ，A1MA1D则( x， y， z2) (0,2，2)则 M(0,2 ，22 )， ( ，2 1,22 )CM 3设平面 AEF 的一
37、个法向量为 n( x0， y0， z0)因为 ( ，0,0)， .AE 3 AF (32， 12， 1)由Error! 得 x00， y0 z00，12取 y02，则 z01，则平面 AEF 的一个法向量为 n(0,2，1)由于 CM平面 AEF，则 n 0，即 2(2 1)(22 )0，解得 .CM 2346(2018洛阳市第一次统考)如图，在四棱锥 PABCD 中， E， F 分别是 PC， PD 的中点，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， PA PD2，且平面 PAD平面ABCD.(1)求证：平面 AEF平面 PCD；(2)求平面 AEF 与平面 ACE 所成锐二面角的余弦值解析：
38、 (1)证明：由题意知， PA PD AD，F 为 PD 的中点，可得 AF PD，平面 PAD平面 ABCD， CD AD， CD平面 PAD.又 AF平面 PAD， CD AF，又 CD PD D， AF平面 PCD，又 AF平面 AEF，平面 AEF平面 PCD.(2)取 AD 的中点 O， BC 的中点 G，连接 OP， OG， PA PD AD， OP AD.平面 PAD平面 ABCD， OP平面 PAD， OP平面 ABCD.分别以 OA， OG， OP 所在直线为 x， y， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.则 A(1,0,0)， C(1,2,0)，E ， F ，
39、， (0,1,0)(12， 1， 32) ( 12， 0， 32) AF ( 32， 0， 32) FE 设平面 AEF 的法向量为 m( x， y， z)，则Error! 即Error!可取 m(1,0， )，为平面 AEF 的一个法向量3同理，可得平面 ACE 的一个法向量为 n( ， ，1)3 3cos m， n .mn|m|n| 13 3127 217平面 AEF 与平面 ACE 所成锐二面角的余弦值为 .217B 级1(2018北京卷)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中， CC1平面5ABC， D， E， F， G 分别为 AA1， AC， A1C1， BB1的中点， AB BC
40、， AC AA12.5(1)求证： AC平面 BEF；(2)求二面角 BCDC1的余弦值；(3)证明：直线 FG 与平面 BCD 相交解析： (1)证明： AB BC，且 E 是 AC 的中点， AC BE.在三棱柱 ABCA1B1C1中， E， F 分别是 AC， A1C1的中点， EF CC1. CC1平面 ABC， EF平面 ABC， AC平面 ABC， EF AC， EF， BE平面 BEF， EF BE E， AC平面 BEF.(2)由(1)知， EF AC， AC BE， EF EB，以 E 为原点， EA， EB， EF 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空
41、间直角坐标系 Exyz.则有 B(0,2,0)， C(1,0,0)， D(1,0,1)， C1(1,0,2)， (1，2,0)，BC (2,0,1)CD 设平面 BCD 的法向量为 n( x， y， z)，Error! 即Error!可取 n(2，1，4)易知平面 CDC1的一个法向量为 m(0,1,0)，cos m， n ，mn|m|n| 1121 2121由图可知，二面角 BCDC1的平面角为钝角，二面角 BCDC1的余弦值为 .21216(3)证法一： F(0,0,2)， G(0,2,1)， (0,2，1)FG 由(2)知平面 BCD 的一个法向量为 n(2，1，4)，设直线 FG 与平
42、面 BCD 的夹角为 ，sin |cos ， n| 0，FG |FG nFG |n| | 2 4|521 2521 0，直线 FG 与平面 BCD 相交证法二：假设直线 FG 与平面 BCD 平行，设 CD 与 EF 的交点为 M，连接 BM， B1F. FG平面 BB1FE，且平面 BB1FE平面 BCD BM， FG BM， BG FM，四边形 BMFG 为平行四边形， FM BG，易知 FM BG，假设不成立，直线 FG 与平面 BCD 相交2(2018成都市第一次诊断性检测)如图 1，在边长为 5 的菱形 ABCD 中， AC6，现沿对角线 AC 把 ADC 翻折到 APC 的位置得到
43、四面体 PABC，如图 2 所示已知 PB4 .2(1)求证：平面 PAC平面 ABC；(2)若 Q 是线段 AP 上的点，且 ，求二面角 QBCA 的余弦值AQ 13AP 解析： (1)证明：取 AC 的中点 O，连接 PO， BO 得到 PBO.四边形 ABCD 是菱形， PA PC， PO AC. DC5， AC6， OC3， PO OB4， PB4 ， PO2 OB2 PB2.2 PO OB. OB AC O， PO平面 ABC. PO平面 PAC，平面 PAC平面 ABC.7(2) AB BC， BO AC.易知 OB， OC， OP 两两垂直以 O 为坐标原点， OB， OC， O
44、P 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.则 B(4,0,0)， C(0,3,0)， P(0,0,4)， A(0，3,0)设点 Q(x， y， z)由 ，得 Q .AQ 13AP (0， 2， 43) (4,3,0)， .BC BQ ( 4， 2， 43)设 n1( x1， y1， z1)为平面 BCQ 的法向量由Error! 得Error!解得Error!取 z115，则 n1(3,4,15)取平面 ABC 的一个法向量 n2(0,0,1)cos n1， n2 ，n1n2|n1|n2| 1532 42 152 31010二面角 QBCA 的余弦值为 .31010
