1、第 1章 集合与充要条件1.1 集合的概念【考纲要求】 理解集合、子集、空集的概念 ,了解属于、包含、相等关系的意义 ,会求子集、真子集的个数 .【学习重点】 理解子集、真子集的概念 ,会求子集、真子集的个数 .一、自主学 习(一 )知 识归纳1.集合的概念集合是由具有某种确定属性的 对 象构成的整体 ,集合也 简 称为 集 .一般用大写拉丁字母 A,B,C,D, 表示 .2.集合的元素构成集合的 对 象叫做集合的元素 ,一般用小写拉丁字母a,b,c,d, 表示 .说 明 :(1)集合中的元素 满 足确定性、互异性和无序性 .其中确定性指 对 任意一个元素 a和集合 A,元素 a要么属于集合
2、A,记 作a A;要么不属于集合 A,记 作 aA.互异性指集合中的元素互不相同 .无序性是指集合中的各元素没有先后 排列 顺 序 ,如集合 1,2和集合 2,1是同一个集合 .(2)我 们 把不含任何元素的集合叫做空集 ,记 作 .3.集合的表示方法集合常用的表示方法有列 举 法、描述法、 韦 恩 图 法和区间 法 .(1)列 举 法 :要求把集合的元素一一列 举 在大括号内 ,相 邻元素之 间 用逗号隔开 ;注意 :用列 举 法表示集合 时 ,列出的元素要求不 遗 漏、不增加、不重复 .(2)描述法 :是用各元素 满 足的条件来表示集合的方法 ,基本格式 为 x|P,其中 x表示元素的一般
3、形式 ,P表示元素 满 足的条件 ;(3)韦 恩 图 法 :用一条封 闭 曲 线 直 观 地表示集合及其关系的 图 形的方法 ;(韦 恩 图 也叫文氏 图 )(4)区 间 法 :用区 间 表示集合的方法 .如不等式的解集及函数的定 义 域、 值 域等常用区 间 表示 ,但 应 注意的是包括区 间端点 时 用中括号 ,不包括区 间 端点 时 用小括号 .(详见 第二章 )注意 :a与 a;1,2与 (1,2)的区 别 .4.集合的关系(1)子集 :如果集合 A中的任何一个元素都是集合 B的元素 ,则 称集合 A是集合 B的子集 ,记 作 A B或 B A,读 作 “A包含于 B”或 “B包含 A
4、”.子集的性 质 : 任何一个集合 A是它本身的子集 ,即 A A; 空集是任何一个集合 A的子集 ,即 A; 传递 性 :若 A B,B C,则 A C.(2)真子集 :如果集合 A是集合 B的子集 ,且在集合 B中至少有一个元素不属于集合 A,则 称集合 A是集合 B的真子集 ,记 作 A B,读作 “A真包含于 B”或 “B真包含 A”.真子集的性 质 : 任何一个集合 A的真子集不包括 A本身 ; 空集是任何一个非空集合 A的真子集 ,即 A(A); 传递 性 :若 A B,B C,则 A C.(3)集合相等 :若 A B且 B A,则 称集合 A与集合 B相等 ,记 作 A=B(事
5、实 上 ,当 A与 B所含元素完全相同 时 ,A与 B相等).注意 : 与 的区 别 ,与 0、 的区 别 .(4)子集个数 :若集合 A中有 n个元素 ,则 它有 2n个子集 ,有 2n-1个真子集 ,有 2n-2个非空真子集 .5.常用数集集合名称 正整数集 自然数集 整数集 有理数集 实数集表示符号 N*或 N+ N Z Q R(二 )基 础训练1.已知集合 A=a,b,c,则 以 a、 b、 c为边长 的 ABC不可能是 ( ) A.直角三角形 B.锐 角三角形 C.等腰三角形 D.钝 角三角形【 答案 】 C2.请 分 别 用列 举 法与描述法表示下列集合 .(1)由方程 x2-4=
6、0的 实 数解 组 成的集合 ;(2)由大于 0且小于 10的整数 组 成的集合 .【 答案 】(1)-2,2或 x|x2-4=0 (2)1,2,3,4,5,6,7,8,9或 x|00 x|x1 F.x|x7.【小 结 】 判断 连续 型数集的关系可通 过 数 轴 来 观 察 .图 1-3【例 3】 (1)集合 M=1,2,3,4,P=x|x=a+b,a、 b M且ab,P的真子集个数是 ( ) A.8 B.15 C.31 D.32分析 :集合 P是由集合 M中两个不同元素之和构成的集合 ,最小 值为 1+2=3,最大 值为 3+4=7.(2)满 足 a,b A a,b,c,d的集合 A共有
7、个 .( ) A.2 B.3 C.4 D.5分析 :集合 A中至少包含 a,b两个元素 ,c,d中最多取一个元素 .【解】 集合 P=3,4,5,6,7,其真子集个数 为 25-1=31;答案 为 C.【小 结 】 求集合的子集或真子集个数 ,关 键 在于求集合的元素个数 .【解】 本 问题 等价于求集合 c,d的真子集个数 ,则 有 22-1=3个,答案 为 B.【例 4】 已知集合 A=x|x2+ax+2=0,集合 B=-1,2,且A B,求 实 数 a的取 值 范 围 .分析 : A B, 集合 A可以是空集 ,也可能包含有 -1、 2中一个或 两个元素 .三、达 标训练1.集合 (x,
8、y)|x+y=0,x N*且 xa+1,满 足 A B的 实数 a的取 值 范 围 是 . 6.满 足 1,2 A 1,2,3,4,5的集合 A共有 个 .( ) A.2 B.7 C.15 D.16a|a-2【 答案 】 B8.已知集合 M=a+2,(a+1)2,a2+3a+1,且 1 M,求 实 数 a的 值.解 : M=a+2,(a+1)2,a2+3a+1且 1 M a+2=1或 (a+1)2=1或 a2+3a+1=1即 a=-1或 a=0或 a=-2或 a=-3当 a=-1时 ,M=1,0,-1当 a=0时 ,M=2,1,1(不符合集合元素的互异性 ,舍去 )当 a=-2时 ,M=0,1
9、,-1当 a=-3时 ,M=-1,4,1综 上 :a=-1或 a=-2或 a=-3.1.2 集合的运算【考纲要求】 理解全集、交集、并集、补集的概念 .【学习重点】 求交集、并集、补集 .一、自主学 习(一 )知 识归纳1.交集一般地 ,对 于两个 给 定的集合 A、 B,由所有既属于集合 A且属于集合 B的元素 组 成的集合叫做集合 A、 B的交集 ,记 作 AB,读 作“A交 B”.即 AB=x|x A且 x B,如 图 1-4阴影部分 .图 1-42.并集一般地 ,对 于两个 给 定的集合 A、 B,由所有属于集合 A或属于集合 B的元素 组 成的集合叫做集合 A、 B的并集 ,记 作A
10、 B,读 作 “A并 B”.即 A B=x|x A或 x B,如 图 1-5阴影部分 .图 1-5 图 1-63.补 集我 们 在研究集合与集合之 间 的关系 时 ,如果一些集合都是某一 给 定集合的子集 ,那么称 这 个 给 定的集合 为这 些集合的全集 ,通常用 U表示 .如果没有特 别说 明 ,我 们 通常把 实 数集 R看作全集 .一般地 ,设 U是全集 ,A是 U的一个子集 (即 A U),由集合 U中不属于集合 A的所有元素 组 成的集合 ,叫做 A在 U中的 补 集 ,记 作 UA,读 作 “集合 A在集合 U中的 补 集 ”.即 UA=x|x U且 xA,如 图 1-6阴影部分
11、 .4.集合运算的性 质一般地 ,我 们 把求交集、并集及 补 集的 过 程叫集合的运算 .(1)A B AB=A A B=B.(2)A(UA)=,A (UA)=U,U(UA)=A.(3)德 摩根法 则 :(UA)(UB)=U(A B),(UA) (UB)=U(AB).(二 )基 础训练1.已知集合 A=1,2,4,B=2,3,5,求 AB,A B.解 : A=1,2,4,B=2,3,5 AB=2,A B=1,2,3,4,5.2.设 集合 A=8的 约 数 ,B=3,4,7,8,9,求 AB.解 : A=8的 约 数 ,B=3,4,7,8,9 AB=4,8.3.设 集合 A=(x,y)|x+2
12、y=2,B=(x,y)|3x-y=13,则 AB=( )A.(-4,1) B.(-4,1) C.(4,-1) D.(4,-1)4.(1)若 U=小于 8的正整数 ,A=2,3,4,求 UA;(2)设 U=R,A=x|x2,B=x|00 B.x|x2 C.x|x0或 x2 D.x|x0且 x2【 答案 】 D【 答案 】 A【 答案 】 D7.设 集合 M=x|x2=1,N=0,1,则 M N= . 8.已知全集 U=x|-53,B=x|2x4,则 AB= .-1,0,1x|-5x2 5x|3x48.已知集合 M=a+2,(a+1)2,a2+3a+1,且 1 M,求 实 数 a的 值.解 : M
13、=a+2,(a+1)2,a2+3a+1且 1 M a+2=1或 (a+1)2=1或 a2+3a+1=1即 a=-1或 a=0或 a=-2或 a=-3当 a=-1时 ,M=1,0,-1当 a=0时 ,M=2,1,1(不符合集合元素的互异性 ,舍去 )当 a=-2时 ,M=0,1,-1当 a=-3时 ,M=-1,4,1综 上 :a=-1或 a=-2或 a=-3.1.3 充要条件【考纲要求】 理解充要条件 .【学习重点】 学会充分条件、必要条件及充要条件的判断 .3.充分必要条件对 于条件 p与 结论 q,若 p q成立 ,且 pq不成立 ,则 p是 q的充分不必要条件 .若 p q不成立 ,且 p
14、q成立 ,则 p是 q的必要不充分条件 .若 p q成立 ,且 pq成立 ,则 p是 q的充要条件 , q也是 p的充要条件 ,此 时 我 们 称 p与 q等价 ,记 作 p q.若 p q不成立 ,且 pq不成立 ,则 p是 q的既不充分也不必要条件 .【小 结 】 (1) p q; p是 q的充分条件 ; q是 p的必要条件 .这 三个 语 句表达的是同一个 逻辑 关系 ,只是 说 法不同 .(2) p q; p当且 仅 当 q; p与 q等价 .三者 说 法不同 ,但意义 一 样 .(3)在 应 用充分条件与必要条件的形式叙述命 题时 ,要同时 考 虑 命 题 “如果 p,那么 q”和
15、“如果 q,那么 p”是否 为 真命 题 .(二 )基础训练(1)不是命题 ; (2)不是命题 (条件命题 );(3)是命题 (真命题 ); (4)是命题 (假命题 );(5)是命题 (假命题 ); (6)是命题 (假命题 ).2.指出下列各 组 命 题 中 ,p是 q的什么条件 .(1)p:自然数 a能被 4整除 , q:a是偶数 ;(2)p:两个三角形面 积 相等 , q:两个三角形全等 ;(3)p:x-1, q:方程 x2+2x-a=0有 实 数解 .【例 3】 “x1,x2是方程 x2-x-2=0的解 ”是 “x1x2=-2”的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条
16、件 D.既不充分也不必要条件【解】 根据 韦 达定理 ,若 x1,x2是方程 x2-x-2=0的解 ,则 有 x1x2=-2;反之 ,不一定成立 .答案 为 A.三、达 标训练1.下列 语 句是否是命 题 ,如果是 ,请 判断它 们 的真假 .(1)x1; (2)22; (3)01; (4)菱形是正方形 .2.“xy”是 “|x|y|”的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件(1)不是命 题 (条件命 题 ); (2)是命 题 (真命 题 ); (3)是命 题 (真命 题 ); (4)是命 题 (假命 题 ).【 答案 】 B3.“x=0”是
17、“x2=0”的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.“a1”是 “|a|1”的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.“x0 B.p2-4q0 C.p2-4q=0 D.p2-4q0【 答案 】 C【 答案 】 D1.4 集合与充要条件 经 典 题 型题 型 1.集合运算1.已知集合 A=1,3,4,5,B=1,2,5,6,则 AB= ( )A.3,4,5,6 B.4,5 C.3,6 D.1,52.设 集合 M=0,1,N=x|x=2a+1,a M,则 MN= ( )A.1,3 B.1 C.
18、0,1 D.0,1,3【 答案 】 D【 答案 】 B3.设 集合 A=x|x1,B=x|00 B.x|x1 C.x|x0或 x1 D.x|10”的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.方程 ax2-bx+2=0(a、 b R且 a0)无 实 数解的充分不必要条件是 ( )A.b2-8a0 B.b2-8a2”是 “|a|1”的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【 答案 】 B【 答案 】 A题 型 3.集合 综 合 题9.已知集合 A=-4,2a-1,a2,B=a-5,1-a,9,且 A
19、B=9,求 a的 值.解 : A=-4,2a-1,a2,B=a-5,1-a,9且 AB=9 2a-1=9或 a2=9 a=5或 a=3.当 a=5时 ,A=-4,9,25,B=0,-4,9 AB=-4,9与已知不符 ,舍去 .当 a=-3时 ,A=-4,-7,9,B=-8,4,9 AB=9.当 a=3时 ,B=-2,-2,9,不符合集合元素互异性 ,舍去 .综 上所述 :a=-3.1.5 集合与充要条件高职高考全真试题一、 选择题 (每小 题 5分 )1.(2011年 )已知集合 M=x|x|=2,N=-3,1,则 M N= ( )A. B.-3,-2,1 C.-3,1,2 D.-3,-2,1
20、,22.(2011年 )“x=7”是 “x7”的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.(2012年 )已知集合 M=1,3,5,N=1,2,5,则 M N= ( )A.1,3,5 B.1,2,5 C.1,2,3,5 D.1,5【 答案 】 D【 答案 】 A【 答案 】 C4.(2012年 )“x2=1”是 “x=1”的 ( )A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.既不充分也不必要条件 D.必要不充分条件5.(2013年 )设 集合 M=-1,1,N=0,1,2,则 MN= ( )A.0 B.1 C.0,1,2 D.-1,0,1,26.(20
21、13年 )在 ABC中 ,“ A30”,是 “sinA” 的 ( )A.充分不必要条件 B.充分必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【 答案 】 D【 答案 】 B【 答案 】 C7.(2014年 )设 集合 M=-2,0,1,N=-1,0,2,则 MN= ( )A.0 B.1 C.0,1,2 D.-1,0,1,2 8.(2014年 )“(x-1)(x+2)0”是 “0”的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.(2015年 )已知集合 M=1,4,N=1,3,5,则 M N=( )A.1 B.4,5 C.1,4,5 D.1
22、,3,4,5【 答案 】 A【 答案 】 C【 答案 】 D10.(2015年 )“0loga3”的 ( )A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件11.(2016年 )已知集合 A=2,3,a,B=1,4,且 AB=4,则 a=( )A.4 B.3 C.2 D.112.(2016年 )已知 a,b是 实 数 ,则 “b=3”是 “a(b-3)=0”的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【 答案 】 C【 答案 】 A【 答案 】 A13.(2017年 ) 已知集合 M=0,1,2,3,4,N=3,4,5,则 下列 结论 正确的是 ( )A.M N B.N M C.MN=3,4 D.M N=0,1,2,5 14.（ 2017年） “x4”是 “(x-1)(x-4)0”的 ( )A.必要非充分条件 B.充分非必要条件C.充分必要条件 D.非充分非必要条件【 答案 】 C【 答案 】 B
