1、山西省大同二中 2014-2015 学年高二上学期 12 月月考数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为（）A B C 2 D 42 （5 分）设椭圆 （m 0，n0）的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点相同，离心率为 ，则此椭圆的方程为（）A BC D3 （5 分）已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点在抛物线 y2=24x 的准线上，则双曲线的方程为（）A BC D4 （5 分）P 是长轴在 x 轴上的椭圆 =1 上的点 F1，F 2 分别为椭圆的两个焦点，
2、椭圆的半焦距为 c，则|PF 1|PF2|的最大值与最小值之差一定是（）A 1 B a2 C b2 D c25 （5 分）双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 倍，且一个顶点的坐标为（0，2） ，则双曲线的标准方程为（）A =1 B =1 C =1 D =16 （5 分）设 a1，则双曲线 的离心率 e 的取值范围是（）A B C （2，5） D7 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P 是侧面 BB1C1C 内一动点，若 P 到直线BC 与直 线 C1D1 的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是（）A 直线 B 圆 C 双曲线 D 抛物线8 （5 分）设 F 为抛物
3、线 y2=8x 的焦点，A，B，C 为该抛物线上三点，若 + + = ，则| |+| |+| |=（）A 6 B 9 C 12 D 169 （5 分）已知双曲线 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A （1，2 B （1，2） C16 （5 分）对于曲线 C： =1，给出下面四个命题：由线 C 不可能表示椭圆；当 1k4 时，曲线 C 表示椭圆；若曲线 C 表示双曲线，则 k1 或 k4；若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 1k其中所有正确命题的序号为三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17 （10
4、分）已知点 M 在椭圆 =1 上，MP 垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为 P，并且 M 为线段 PP的中点，求 P 点的轨迹方程18 （12 分）双曲线 C 与椭圆 + =1 有相同的焦点，直线 y= x 为 C 的一条渐近线求双曲线 C 的方程19 （12 分）已知直线 y=kx2 交抛物线 y2=8x 于 A、B 两点，且 AB 的中点的横坐标为 2，求弦 AB 的长20 （12 分）已知点 P（3，4）是椭圆 + =1（a b0）上的一点，F 1、F 2 是椭圆的两焦点，若 PF1PF2，试求：（1）椭圆方程；（2）PF 1F2 的面积21 （12 分）已知过抛物线 y2=2px（p0）
5、的焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，且|AB|=p，求 AB 所在的直线方程22 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点（0， ） ， （0， ）的距离之和等于4，设点 P 的轨迹为 C，直线 y=kx+1 与 C 交于 A，B 两点（1）写出 C 的方程；（2）若 ，求 k 的值山西省大同二中 2014-2015 学年高二上学期 12 月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为（）A B C 2 D 4考点： 椭圆的简单性质 专题
6、： 计算题；待定系数法分析： 根据题意，求出长半轴和短半轴的长度，利用长轴长是短轴长的两倍，解方程求出 m 的值解答： 解：椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍， ，故选 A点评： 本题考查椭圆的简单性质，用待定系数法求参数 m 的值2 （5 分）设椭圆 （m 0，n0）的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点相同，离心率为 ，则此椭圆的方程为（）A BC D考点： 椭圆的标准方程 专题： 计算题；分析法分析： 先求出抛物线的焦点，确定椭圆的焦点在 x 轴，然后对选项进行验证即可得到答案解答： 解：抛物线的焦点为（2，0） ，椭圆焦点在 x 轴上，排除 A、C ，由 排
7、除 D，故选 B点评： 本题主要考查抛物线焦点的求法和椭圆的基本性质圆锥曲线是 2015 届高考的必考内容，其基本性质一定要熟练掌握3 （5 分）已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点在抛物线 y2=24x 的准线上，则双曲线的方程为（）A BC D考点： 双曲线的标准方程 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 由抛物线标准方程易得其准线方程为 x=6，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在 x 轴上，则双曲线的左焦点为（6，0） ，此时由双曲线的性质 a2+b2=c2 可得 a、b 的一个方程；再根据焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y= x，可得 = ，则得 a、b 的另一个
8、方程那么只需解 a、b 的方程组，问题即可解决解答： 解：因为抛物线 y2=24x 的准线方程为 x=6，则由题意知，点 F（ 6，0）是双曲线的左焦点，所以 a2+b2=c2=36，又双曲线的一条渐近线方程是 y= x，所以 ，解得 a2=9，b 2=27，所以双曲线的方程为 故选 B点评： 本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质4 （5 分）P 是长轴在 x 轴上的椭圆 =1 上的点 F1，F 2 分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为 c，则|PF 1|PF2|的最大值与最小值之差一定是（）A 1 B a2 C b2 D c2考点： 椭圆的简单性质 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、
9、性质与方程分析： 由题意，设|PF 1|=x，故有 |PF1|PF2|=x（2a x）= x2+2ax=（xa） 2+a2，其中acxa+c，可求 y=x2+6x 的最小值与最大值，从而可求|PF 1|PF2|的最大值和最小值之差解答： 解：由题意，设|PF 1|=x，|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2ax|PF1|PF2|=x（ 2ax）= x2+2ax=（x a） 2+a2，acxa+c，x=ac 时，y=x 2+2ax 取最小值 b2，x=a 时，y= x2+2ax 取最大值为 a2，|PF1|PF2|的最大值和最小值之差为 a2b2=c2，故选：D点评： 本题以椭圆的标准方程
10、为载体，考查椭圆定义的运用，考查函数的构建，考查函数的单调性，属于基础题5 （5 分）双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 倍，且一个顶点的坐标为（0，2） ，则双曲线的标准方程为（）A =1 B =1 C =1 D =1考点： 双曲线的标准方程 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 由已知得双曲线的标准方程为 =1，且 2a+2b= 2c，由此能求出双曲线方程解答： 解：双曲线的顶点坐标为（0，2） ，a=2，且双曲线的标准方程为 =1根据题意 2a+2b= 2c，即 a+b= c又 a2+b2=c2，且 a=2，解上述两个方程，得 b2=4符合题意的双曲线方程为 故选：B点评： 本题
11、考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用6 （5 分）设 a1，则双曲线 的离心率 e 的取值范围是（）A B C （2，5） D考点： 双曲线的简单性质 专题： 计算题分析： 根据题设条件可知： ，然后由实数a 的取值范围可以求出离心率 e 的取值范围解答： 解： ，因为 是减函数，所以当 a1 时 ，所以 2e 25，即 ，故选 B点评： 本题的 2015 届高考考点是解析几何与函数的交汇点，解题时要注意双曲线性质的灵活运用7 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P 是侧面 BB1C1C 内一动点，若 P 到直线BC 与直线 C1D1
12、的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是（）A 直线 B 圆 C 双曲线 D 抛物线考点： 抛物线的定义；棱柱的结构特征 分析： 由线 C1D1 垂直平面 BB1C1C，分析出|PC 1|就是点 P 到直线 C1D1 的距离，则动点P 满足抛 物线定义，问题解决解答： 解：由题意知，直线 C1D1平面 BB1C1C，则 C1D1PC1，即|PC 1|就是点 P 到直线C1D1 的距离，那么点 P 到直线 BC 的距离等于它到点 C1 的距离，所以点 P 的轨迹是抛物线故选 D点评： 本题考查抛物线定义及线面垂直的性质8 （5 分）设 F 为抛物线 y2=8x 的焦点，A，B，C 为该抛物线上
13、三点，若 + + = ，则| |+| |+| |=（）A 6 B 9 C 12 D 16考点： 抛物线的简单性质 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 根据 + + = ，可判断点 F 是 ABC 重心，进而可求 xA+xB+xC 的值，再根据抛物线的定义，即可求得答案解答： 解：由题意可得 F（2，0） ，是抛物线的焦点，也是三角形 ABC 的重心，xA+xB+xC=6 再由抛物线的定义可得| |+| |+| |xA+2+xB+2+xC+2=12，故选：C点评： 本题重点考查抛物线的简单性质，考查向量知识的运用，解题的关键是判断出 F点为三角形的重心9 （5 分）已知双曲线 的右
14、焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A （1，2 B （1，2） C得 ，它的焦点在 y 轴上， ，0 cossin，02 ， 故选：D点评： 本题考查 的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的灵活运用二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）椭圆的两个焦点为 F1、F 2，短轴的一个端点为 A，且三角形 F1AF2 是顶角为120的等腰三角形形，则此椭圆的离心率为 考点： 椭圆的简单性质 专题： 计算题分析： 根据 A 是短轴的一个端点，根据椭圆的对称性可知|A
15、F 1|=|AF2|，根据F 1AF2 是等腰三角形可推断出短轴平分F 1AF2，进而求得顶角的半角，进而根据 sin60= = 求得椭圆的离心率解答： 解：A 是短轴的一个端点，|AF1|=|AF2|F1AF2 是等腰三角形短轴平分F 1AF2顶角的一半是 =60sin60= = （O 为原点）e=故答案为点评： 本题主要考查了椭圆的简单性质此题关键是求得|AF 1|=|AF2|14 （5 分）点 P（8，1）平分双曲线 x24y2=4 的一条弦，则这条弦所在的直线方程是2xy15=0考点： 直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 设弦的两端
16、点分别为 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由 AB 的中点是 P（8，1） ，知x1+x2=16，y 1+y2=2，利用点差法能求出这条弦所在的直线方程解答： 解：设弦的两端点分别为 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，AB 的中点是 P（8，1） ，x 1+x2=16，y 1+y2=2，把 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）代入双曲线 x24y2=4，得 ，（ x1+x2） （x 1x2）4（y 1y2） （y 1+y2）=0，16（x 1x2）8（y 1y2）=0 ，k= =2，这条弦所在的直线方程是 2xy15=0故答案为：2xy 15=0点评： 本
17、题考查弦中点问题及直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点差法的合理运用15 （5 分）设椭圆 的左、右焦点分别是 F1、F 2，线段 F1F2 被点分成 3：1 的两段，则此椭圆的离心率为 考点： 椭圆的简单性质 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 根据题意，椭圆的焦点坐标为 F1（c ，0） 、F 2（c，0） ，由线段 F1F2 被点分成 3：1 的两段建立关于 b、c 的等式，解出 b=c，再由平方关系算出a= c，可得此椭圆的离心率解答： 解：椭圆方程为c= ，焦点坐标为 F1（c，0） ，F 2（c，0） ，线段 F1F2 被点 分成 3：1 的两段， +c
18、=3（c ） ，解之得 b=c，即 =c，解之得 a= c，可得此椭圆的离心率为 e=故答案为：点评： 本题给出椭圆的焦距被定点分成了 3：1 的两段，求椭圆的离心率着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题16 （5 分）对于曲线 C： =1，给出下面四个命题：由线 C 不可能表示椭圆；当 1k4 时，曲线 C 表示椭圆；若曲线 C 表示双曲线，则 k1 或 k4；若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 1k其中所有正确命题的序号为考点： 椭圆的标 准方程；双曲线的标准方程 专题： 计算题分析： 据椭圆方程的特点列出不等式求出 k 的范围判断出 错，据双曲线方程的特点列出不
19、等式求出 k 的范围，判断出对；据椭圆方程的特点列出不等式求出 t 的范围，判断出错解答： 解：若 C 为椭圆应该满足 即 1k4 且 k 故错若 C 为双曲线应该满足（4 k） （k1）0 即 k4 或 k1 故对若 C 表示椭圆，且长轴在 x 轴上应该满足 4kk10 则 1k ，故对故答案为：点评： 椭圆方程的形式：焦点在 x 轴时 ，焦点在 y 轴时 ；双曲线的方程形式：焦点在 x 轴时 ；焦点在 y 轴时 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17 （10 分）已知点 M 在椭圆 =1 上，MP 垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为 P，并且 M 为线段 PP的中点，求 P 点的
20、轨迹方程考点： 椭圆的应用 专题： 计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 确定 P，M 坐标之间的关系，利用点 M 在椭圆 上，可求 P 点的轨迹方程解答： 解：设 P（x，y） ，则 M（x， ） 点 M 在椭圆 上， ，即 P 点的轨迹方程为 x2+y2=36点评： 本题考查椭圆方程，考查代入法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题18 （12 分）双曲线 C 与椭圆 + =1 有相同的焦点，直线 y= x 为 C 的一条渐近线求双曲线 C 的方程考点： 双曲线的标准方程 专题： 计算题；反证法分析： 求出椭圆的焦点坐标；据双曲线的系数满足 c2=a2+b2；双曲线的渐近线的
21、方程与系数的关系列出方程组，求出 a，b，写出双曲线方程解答： 解：设双曲线方程为 （a0，b0） （1 分）由椭圆 + =1，求得两焦点为（2，0） ， （2，0） ， （3 分）对于双曲线 C：c=2 （4 分）又 y= x 为双曲线 C 的一条渐近线， = （6 分）解得 a=1，b= ， （9 分）双曲线 C 的方程为 （10 分）点评： 本题考查利用待定系数 法求圆锥曲线的方程其中椭圆中三系数的关系是：a2=b2+c2；双曲线中系数的关系是：c 2=a2+b219 （12 分）已知直线 y=kx2 交抛物线 y2=8x 于 A、B 两点，且 AB 的中点的横坐标为 2，求弦 AB 的
22、长考点： 抛物线的应用 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 直线 y=kx2 代入抛物线 y2=8x，利用 AB 的中点的横坐标为 2，结合韦达定理，求出 k 的值，即可求弦 AB 的长解答： 解：直线 y=kx2 代入抛物线 y2=8x，整理可得 k2x2（4k+8）x+4=0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则AB 的中点的横坐标为 2， x1+x2= =4 得 k=1 或 2，当 k=1 时，x 24x+4=0 有两个相等的实数根，不合题意，当 k=2 时，|AB|= = = =点评： 本题考查弦长的求法，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档
23、题20 （12 分）已知点 P（3，4）是椭圆 + =1（a b0）上的一点，F 1、F 2 是椭圆的两焦点，若 PF1PF2，试求：（1）椭圆方程；（2）PF 1F2 的面积考点： 椭圆的简单性质 专题： 解题方法；待定系数法分析： （1）设出焦点的坐标，利用垂直关系求出 c 值，椭圆的方程化为+ =1，把点 P 的坐标代入，可解得 a2 的值，从而得到所求椭圆方程（2） P 点纵坐标的值即为 F1F2 边上的高，由 SPF1F2 = |F1F2|4 求得）PF 1F2 的面积解答： 解：（1） 令 F1（c，0） ，F 2（c，0） ，PF 1PF2， kPF1kPF2=1，即 =1，解得
24、 c=5，椭圆方程为 + =1点 P（3，4）在椭圆上， + =1，解得 a2=45，或 a2=5，又 ac，a 2=5 舍去，故所求椭圆方程为 + =1（2） P 点纵坐标的值即为 F1F2 边上的高，SPF1F2 = |F1F2|4= 104=20点评： 本题考查椭圆的简单性质的应用，以及用待定系数法求椭圆的标准方程的方法21 （12 分）已知过抛物线 y2=2px（p0）的焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，且|AB|=p，求 AB 所在的直线方程考点： 抛物线的简单性质 专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 设 A（ x1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，若 ABOx
25、，则|AB|=2p p，不合题意所以直线AB 的斜率存在，设为 k，则直线 AB 的方程为 y=k（x ） ，k 0联 立抛物线方程，结合韦达定理和弦长公式，可得满足条件的 k 值，进而得到答案解答： 解：抛物线 y2=2px（p0）的焦点 F（ ，0） ，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，若 ABOx，则|AB|=2p p，不合题意所以直线 AB 的斜率存在，设为 k，则直线 AB 的方程为 y=k（x ） ，k0由 消去 x，整理得 ky22p ykp2=0由韦达定理得，y 1+y2= ，y 1y2=p2|AB|= = =2p（1+ ）= p解得 k=2AB 所在的直线方
26、程为 y=2（ x ）或 y=2（x ） 点评： 本题考查的知识点是抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，难度中档22 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点（0， ） ， （0， ）的距离之和等于4，设点 P 的轨迹为 C，直线 y=kx+1 与 C 交于 A，B 两点（1）写出 C 的方程；（2）若 ，求 k 的值考点： 轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题 分析： （1）由题中条件：“点 P 到两点（0， ） ， （0， ）的距离之和等于 4， ”结合椭圆的定义知其轨迹式样，从而求得其方程（2）先将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去 y 得到一个一元二次方程，再利用根与系数
27、的关系结合向量垂直的条件列关于 k 方程式即可求得参数 k 值解答： 解：（1）设 P（x，y） ，由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以（0， ） ， （0，）为焦点，长半轴为 2 的椭圆，它的短半轴 b= =1，故曲线 C 的方程为 x2+ =1（2）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，其坐标满足 消去 y 并整理得（k 2+4）x 2+2kx3=0，故 x1+x2= ，x 1x2= x1x2+y1y2=0y1y2=k2x1x2+k（x 1+x2）+1，x1x2+y1y2= +1=0，化简得4k 2+1=0，所以 k= 点 评： 本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的综合问题及方程思想，定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等） ，可用定义直接探求
