1、- 1 -构造等腰三角形解题的常见途径等腰三角形是研究几何图形的基础，因此在许多几何问题中，常常需要构造等腰三角形才能使问题获解，那么如何构造等腰三角形呢？一般说来有以下几种途径：一、利用角平分线+平行线，构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形如图 1中，若 AD 平分BAC，AD EC，则ACE 是等腰三角形；如图 1中，AD 平分BAC，DE AC，则ADE 是等腰三角形；如图 1中，AD 平分BAC，CEAB，则ACE 是等腰三角形；如图 1中，AD 平分BAC，EFAD，则AGE 是等腰三角形例 1 如图 2，ABC 中，ABAC ，在 AC 上
2、取点 P，过点 P 作 EFBC ，交 BA 的延长线于点 E，垂足为点 F求证：AEAP 简析 要证AEAP ，可寻找一条角平分线与 EF 平行，于是想到 ABAC，则可以作 AD 平分BAC，所以 ADBC，而 EFBC，所以 ADEF，所以可得到AEP 是等腰三角形，故 AEAP 例 2 如图 3，在ABC 中，BAC 、BCA 的平分线相交于点 O，过点 O 作CA BEDO图 3 图 4FCDEBAM图 2FBACDPE图 1AD CBEECB DABACDE AB F CDEG- 2 -DEAC，分别交 AB、BC 于点 D、E试猜想线段 AD、CE、DE 的数量关系，并说明你的猜
3、想理由简析 猜想：AD+CEDE理由如下：由于 OA、OC 分别是 BAC 、BCA 的平分线，DE AC，所以ADO 和CEO 均是等腰三角形，则 DODA，ECEO，故AD+CEDE例 3 如图 4，ABC 中，AD 平分BAC，E、F 分别在 BD、AD 上，且DECD，EF AC求证：EFAB 简析 由于这里要证明的是 EFAB，而 AD 平分BAC，所以必须通过辅助线构造出平行线，这样就可以得到等腰三角形了，于是 DECD 的提示下，相当于倍长中线，即延长 AD 至 M，使 DMAD ，连结 EM，则可证得MDEADC，所以 MEAC，又 EFAC， MCAD，所以MEFM，即CAD
4、 EFM，又因为 AD 平分BAC，所以BADEFDCAD，所以 EFAB二、利用角平分线+垂线，构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形如图 5 中，若 AD 平分BAC，AD DC，则AEC 是等腰三角形例 4 如图 6，已知等腰 RABC 中，ABAC ， BAC90，BF 平分ABC，CDBD 交 BF 的延长线于 D求证：BF2CD简析 由 BF 平分ABC，CDBD ，并在图 5 的揭示之下，延长线 BA、CD 交于点E，于是BCE 是等腰三角形，并有 EDCD，余下来的问题只需证明 BFCE，而事实上，由BAC90，CD BD，AFBDFC，得
5、ABFDCF，而 ABAC，所以ABF ACE，则 BFCE ，故 BF2CDE图 5ABCD图 6BF DECA- 3 -三、利用转化倍角，构造等腰三角形当一个三角形中出现一个角是另一个角的 2 倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形如图 7中，若ABC2C，如果作 BD 平分ABC，则DBC 是等腰三角形；如图 7中，若ABC2C，如果延长线 CB 到 D，使 BDBA，连结 AD，则ADC 是等腰三角形；如图 7中，若B2ACB，如果以 C 为角的顶点，CA 为角的一边，在形外作ACDACB，交 BA 的延长线于点 D，则DBC 是等腰三角形例 5 如图 8，在ABC 中，ACB
6、2B，BC 2AC求证：A90简析 由于条件中有两个倍半关系，而结论与角有关，因此首先考虑对ACB2B 进行技术处理，即作 CD 平分ACB 交 AB 于 D，过 D 作 DEBC 于 E，则由ACB2B 知B BCD，即DBC 是等腰三角形，而 DEBC，所以BC2CE，又 BC2AC，所以 ACEC ，所以易证得ACDECD，所以ADEC90说明 本题也可以利用图 7 的、来构造等腰三角形求解图 7B CDA B CDAB CDAE图 8CBAD- 4 -手脑并用巧解题随着课程标准深入实施：“有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实验、自主探索与合作交流成为学习的重要方法”因此，
7、以等腰三角形为背景的动手操作、动脑设计的手脑并用的中考题悄然兴起一、模拟画图例 1 已知在如图 1 的 ABC 中，AB=AC ，A=36，仿照图 1，请你再用两种不同的方法，将ABC 分割成 3 个三角形，使每个三角形都是等腰三角形（图 2、图 3 供画图用，作图工具不限，不要求写出作法，不要求证明，但要标出所分得每个等腰三角形的内角度数） 解：如图 4、图 5、图 6、图 7二、手脑并用例 2 在平面内，分别用 3 根、5 根、6 根火柴，首尾依次相接可以搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示：- 5 -问: （1）4 根火柴能搭成三角形吗 ?（2）8 根、12 根火柴分别能搭成几
8、种不同形状的三角形？并画出图形解：（1）4 根火柴不能搭成三角形因为 1+1=2 不满足三边关系（2）8 根火柴能搭成等腰三角形，如图 8；而 12 根能搭成等边三角形，如图 9，或等腰三角形，如图 10，或直角三角形，如图 11此题动手操作性强而且有助于培养同学们探究学习的学习习惯三、动手剪裁例 3 在劳技课上老师请同学们在一张边长为 16cm 的正方形纸板上，剪下一个腰长为 10cm 的等腰三角形（要求等腰三角形至少有一条边在正方形的边上） ，请你帮助同学们画出剪裁的等腰三角形解：分三种情况： 如图 12，AE =AF=10cm，沿 EF 剪裁； 如图 13，AE =AF=10cm，沿 EF 和 AF 剪裁； 如图 14，AE =EF=10cm，沿 AF 和 EF 剪裁
