1、1第三章 线性空间与线性变换3.4 线性空间、基、维数和坐标一、线性空间的概念1. 数域定义 3.1.1 设 是一个数集。如果它满足F（1） ,0（2）对 有,ba，Fb )0( , 就称 为一个数域。， 实数域R， 有理数域Q， 复数域C,1,|),(1niFaFinn m ,2,2,| jmiaijnij ；2. 线性空间的概念定义 3.4.1 设 是一个非空的集合， 是VF2一个数域。在其上定义两种运算，加法：对任意的 ，在 中存在唯一的对应元素 ，V, 称为 与 的和，记为 ，及数乘： 对任意的 和任意的 ，在 中存在唯一的FkV对应元素 ，称为 与 的数乘积，记为 。k如果他们满足以
2、下 8 条规则：(1) + = + (2) ( + ) + = + ( + )(3) 在 中存在零元素，记为 ， 使得对任意V的 有(4) 对每个 ，存在一个元素 ，使得 V，称为 的负元素，记为 (5) 1 = (6) (kl) = k(l)(7) (k + l) =k + l(8) k( + ) = k + k就称 为数域 上的一个线性空间，其中VF是 中的任意元素， 是 中的任意数，, l,F并称 中的元素为向量。例 3.4.1 数域 上全体 元向量的集合 n3对向量的加法及数与向量的数量乘法，构成nF上的线性空间（称为向量空间） 。特别地，称为实向量空间； 称为复向量空间； RnC称为
3、零空间。例 3.4.2 数域 上全体 矩阵的集合Fm对矩阵的加法及数与矩阵的数量乘法，构nmF成 上的线性空间（称为矩阵空间） 。例 3.1.2 设 ，则齐次线性方程组 nA的全部解向量的集合构成 上的线性空0AX间，称之为齐次方程组 的解空间，也0X可称之为矩阵 的零空间，记为 。显然，)(AN。nFN)(例 3.4.3 以数域 中的数为系数的全体 1 元多项式的集合 对多项式的加法及数与多项x式的乘法，构成 上的线性空间。特别地，由中次数小于 的全体多项式，再添加零多xn项式构成的集合 对多项式的加法及数与多F项式的乘法，也构成 上的线性空间（称为多项式空间） 。 例 令41|),(11n
4、naRaV则 不构成线性空间。例 3.4.5 设 是全体正实数的集合， 是R实数域。在 中定义元素的加法“ ”及 中的数与 的元素的数量乘法“ ”：R,abka其中 ，则 关于运算“ ”和kba, “ ”构成 上的线性空间。证明：如上定义的加法和数乘对 是封闭R的，下面只要验证他们满足线性空间定义的八条运算规则。任取 ，则lkRcba,1) a2) )()()()( bcbc3) a14) 5) kbabk)()(a56) alkaalkllkl )(7) )()(lllk8) 1满足八条规则，所以， 关于运算“ ”和R“ ”构成 上的线性空间。性质：(1) 零向量、负向量唯一(2) k,0(
5、3) )()(k(4) 向03线性子空间定义 3.5.1 设 是数域 上的线性空间，VF是 的一个非空子集。若 对 的两种线性WW运算也构成 上的线性空间，则称 是 的线FV性子空间，简称子空间。定理 3.5.1 设 是数域 上的线性空间，WVF是 V 的非空子集。若 W 满足6(1) 对 ，都有W, (2) 对 ，都有Fkk则称 W 是 V 的子空间。例 3.1.3 设 是线性空间，则 一定包含零V向量 。同时， 本身及 都是 的子空间，称它们为 的平凡子空间。 的其他子空间，如果还有的话，均称为非平凡子空间。例 3.1.4 令1),( 0, 3213212 xRxV问 和 是否构成 的子空
6、间？1定理 3.1.1 设 是数域 上的线性空间，F是 中 m 个向量，则 的子集,2 V合 kkkm,. . 2121构成 的子空间，称为由向量组 V生成的子空间，记为 m,.21。)(L7例 3.1.5 设 是齐次线性方程tX,.21组 的一个基础解系，则 0AX。),.()21tLN例 3.1.6 设 ，把 按列分块nmFA,.则 是 的子空间，称之为矩阵),.(21n的列空间，记为 。A(R例 线性方程组 有解 bAX。)(b例 设 , ，则s.,21t,.21nF)(L).,(tL的充分必要条件为 s,21 t,21例 及其子空间均称为实向量空间。nR例 设 ， 是线性空间 的两个子
7、空间，1W2V则 也是 的子空间，称之为 与 的交21V1W2空间，集合82121,W也是 的子空间，称之为 与 的和空间，记V1为。21W二、基、维数与坐标1基、维数有限维线性空间、无限维线性空间定义 3.4.3 设 是数域 上的线性空间，VF。若,.21m（1） 线性无关；,.（2） 中任一向量 均可由 线m,.21性表出，即存在 m 个数 ，使得 a,.a21则称 是 的一组基，称 m 为 的,.21VV维数，记为 维 或 dim( )。)(例 3.2.1 设 是数域，在向量空间 中考FnF虑 n 元基本向量组9)1,0(,)0,1(),0,1(2 n因为对任意 ，均有Fa2na1且 线
8、性无关，故 是向n,21 ,21量空间 的一组基，称之为 的自然基。F例 3.2.2 设 ，秩 ，nmA)( )r则 是 的子空间。任取齐次线性方程组 )(Nn的一个基础解系 ，容易0XrnX,.21看出它们就是 的一个基，因此 )(维 = r多项式空间、矩阵空间的基与维数 (如何证明?)定理 3.2.1 设 ，则nmFA维（ ）+维（ ）= n)(N)(TR例 求齐次线性方程组10 02423342 51 542xxx的解空间的一组基和维数。解 求得该方程组有基础解系: TTTX X X 向向向向向向 102,012,0123因此，其解空间 的一组基为 ，)(AN,且其维数是 3。例 证明：
9、（1）向量组 的极大无关组都是m,.21生成子空间 的基；),(L（2）维 = 秩 . m,.21定理 3.2.2 设 是 m 维线性空间，则 中VV任意 m 个线性无关的向量都可构成 的基。例 3.2.6 已知 中的三个向量4R11)8,214(),1(),021(3求 的一个基及维数，并将这组基3L扩充为 的一组基。4R解 令 021481204,321 向TA由此得向量组 的秩为 2，且 是3, 21,一个极大无关组。于是，生成子空间 的维数是 2，且 是它的一个),(321L1,基。构造向量 ，令),0(),1(, 1 0 21 0 221TT 向12因此，只需取 ，)1,0(),01
10、(2则 线性无关，即可作为 的一个21,4R基。2坐标定义 3.2.2(3.4.5) 设 是 m 维线性空间，V是 的一个基。对 ，设m,.21 aa.21则称有序数组 为向量 关于基m,的坐标，记为 ( )或 m,.21 ,.21。ma例 3.2.7 已知 中的三个向量3R)0,1(),(),1(32（1）证明： 是 的一个基；（2）求向量 关于基 的坐),(321,标.13解 只需证 线性无关；)1(321,设2xx把 均表示为列向量，则有31 , ,32121 x21 01 3x， 13201132x故 关于基 的坐标为 。2,) ,3(例 求 中任意一个多项式nxF关于基：110)( axaf的坐标。,1n14小结：1）重点；2）难点；3）注意点。
