1、第 2 讲 圆与圆的方程A 级 基础演练 (时间：30 分钟 满分：55 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1(2013济宁一中月考 )若直线 3xya0 过圆 x2y 22x 4y0 的圆心，则a 的值为 ( )A1 B1 C3 D3解析 化圆为标准形式(x1) 2(y2) 25，圆心为(1,2)直线过圆心，3(1)2a0，a1.答案 B2(2013上饶质检 )设圆的方程是 x2y 22ax2y(a1) 20，若 00，所以原点在圆外答案 B3圆(x2) 2y 25 关于直线 yx 对称的圆的方程为 ( )A(x2) 2y 25 Bx 2(y 2)25C(x2) 2(y2) 25
2、 Dx 2(y 2) 25解析 由题意知所求圆的圆心坐标为(0，2)，所以所求圆的方程为x2(y 2)25.答案 D4(2013汉中模拟 )动点 P 到点 A(8,0)的距离是到点 B(2,0)的距离的 2 倍，则动点 P 的轨迹方程为 ( )Ax 2y 232 Bx 2y 216C(x1) 2y 216 Dx 2(y 1) 216解析 设 P(x，y)，则由题意可得：2 ，化简整理x 22 y2 x 82 y2得 x2y 216，故选 B.答案 B二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)5以 A(1,3)和 B(3,5)为直径两端点的圆的标准方程为 _解析 由中点坐标公式得 AB 的中点即
3、圆的圆心坐标为(2,4)，再由两点间的距离公式得圆的半径为 ，故圆的标准方程为(x2)4 32 2 12 22(y4) 22.答案 (x2) 2(y4) 226已知直线 l：xy 40 与圆 C：( x1) 2(y1) 22，则圆 C 上各点到 l 的距离的最小值为_解析 由题意得 C 上各点到直线 l 的距离的最小值等于圆心(1,1) 到直线 l 的距离减去半径，即 .|1 1 4|2 2 2答案 2三、解答题(共 25 分)7(12 分) 求适合下列条件的圆的方程：(1)圆心在直线 y4x 上，且与直线 l：xy10 相切于点 P(3，2)；(2)过三点 A(1,12)，B (7,10)，
4、C(9,2)解 (1)法一 设圆的标准方程为(x a) 2(yb) 2r 2，则有Error!解得 a1，b4，r2 .2圆的方程为(x 1) 2(y4) 28.法二 过切点且与 xy 10 垂直的直线为 y2x3，与 y4x 联立可求得圆心为(1，4) 半径 r 2 ，1 32 4 22 2所求圆的方程为(x 1) 2(y4) 28.(2)法一 设圆的一般方程为 x2y 2DxEyF 0，则Error!解得 D2，E4，F95.所求圆的方程为 x2y 22x4y950.法二 由 A(1,12)，B(7,10)，得 AB 的中点坐标为(4,11) ，k AB ，13则 AB 的垂直平分线方程为
5、 3xy10.同理得 AC 的垂直平分线方程为 xy 30.联立Error!得 Error!即圆心坐标为(1,2) ，半径 r 10.1 12 2 122所求圆的方程为(x 1) 2(y2) 2100.8(13 分) 已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(1,0)和 B(3,4)，线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D，且|CD |4 .10(1)求直线 CD 的方程；(2)求圆 P 的方程解 (1)直线 AB 的斜率 k1，AB 的中点坐标为(1,2)，直线 CD 的方程为 y2(x 1)，即 xy30.(2)设圆心 P(a，b)，则由 P 在 CD 上得 ab30. 又直径|CD
6、|4 ，|PA| 2 ，10 10(a 1)2b 240， 由解得Error! 或Error!圆心 P(3,6)或 P(5， 2)，圆 P 的方程为( x3) 2 (y6) 240 或(x 5) 2(y2) 240.B 级 能力突破(时间：30 分钟 满分：45 分)一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)1(2013榆林调研 )已知圆 C：x 2y 2mx40 上存在两点关于直线xy30 对称，则实数 m 的值为 ( ) A8 B4 C6 D无法确定解析 圆上存在关于直线 xy 30 对称的两点，则 xy30 过圆心，即 30，m6.( m2，0) m2答案 C2圆心为 C 的圆与直线 l
7、：x2y30 交于 P，Q 两点，O 为坐标原点，( 12，3)且满足 0，则圆 C 的方程为 ( OP OQ )A. 2(y3) 2 B. 2(y 3) 2(x 12) 52 (x 12) 52C. 2( y3) 2 D. 2( y3) 2(x 12) 254 (x 12) 254解析 法一 圆心为 C ，( 12，3)设圆的方程为 2(y 3) 2r 2.(x 12)设 P(x1，y 1)，Q(x 2，y 2)由圆方程与直线 l 的方程联立得：5x 210x 104r 20，x1x 22，x 1x2 .10 4r25由 0 ，得 x1x2y 1y20，即：OP OQ x1x2 (x1x 2
8、) 0，54 34 94 10 4r24 154解得 r2 ，经检验满足判别式 0.254故圆 C 的方程为 2 (y3) 2 .(x 12) 254法二 圆心为 C ，( 12，3)设圆的方程为 2(y 3) 2r 2，(x 12)在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的，即 2(y 3)(x 12)2 ，故选 C.254答案 C二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)3已知平面区域Error! 恰好被面积最小的圆 C：(xa) 2(yb) 2r 2 及其内部所覆盖，则圆 C 的方程为_解析 由题意知，此平面区域表示的是以 O(0,0)， P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及
9、其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，又OPQ 为直角三角形，故其圆心为斜边 PQ 的中点(2,1)，半径为 ，圆 C 的方程为|PQ|2 5(x 2)2(y1) 25.答案 (x2) 2(y1) 254已知圆 C：(x 3) 2(y4) 21，点 A(1,0)，B(1,0)，点 P 是圆上的动点，则 d|PA| 2 |PB|2 的最大值为 _，最小值为 _解析 设点 P(x0，y 0)，则 d(x 01) 2y (x 01) 2y 2(x y )2，欲20 20 20 20求 d 的最值，只需求 ux y 的最值，即求圆 C 上的点到原点的距离平方20 20的最值圆 C 上的点到原点
10、的距离的最大值为 6，最小值为 4，故 d 的最大值为 74，最小值为 34.答案 74 34三、解答题(共 25 分)5(12 分)(2013 大连模拟 )已知圆 M 过两点 C(1，1) ，D(1,1)，且圆心 M 在xy20 上(1)求圆 M 的方程；(2)设 P 是直线 3x4y80 上的动点，PA，PB 是圆 M 的两条切线，A，B为切点，求四边形 PAMB 面积的最小值解 (1)设圆 M 的方程为(xa) 2(yb) 2r 2(r0)，根据题意得：Error!解得 ab1，r2，故所求圆 M 的方程为( x1) 2(y1) 24.(2)因为四边形 PAMB 的面积SS PAM S
11、PBM |AM|PA| |BM|PB|，12 12又|AM|BM|2，|PA | PB|，所以 S2|PA|，而|PA| ，|PM|2 |AM|2 |PM|2 4即 S2 .|PM|2 4因此要求 S 的最小值，只需求|PM| 的最小值即可，即在直线 3x 4y80 上找一点 P，使得| PM|的值最小，所以|PM| min 3，|31 41 8|32 42所以四边形 PAMB 面积的最小值为S2 2 2 .|PM| 2min 4 32 4 56(13 分)(2013 南昌模拟 )已知圆 C 过点 P(1,1)，且与圆 M：(x2) 2(y2)2r 2(r0)关于直线 xy20 对称(1)求圆
12、 C 的方程；(2)设 Q 为圆 C 上的一个动点，求 的最小值PQ MQ 解 (1)设圆心 C(a，b)，则Error! 解得Error!则圆 C 的方程为 x2y 2r 2，将点 P 的坐标代入得 r22，故圆 C 的方程为 x2y 22.(2)设 Q(x，y)，则 x2y 2 2，且 (x 1，y 1)( x2，y2)PQ MQ x 2y 2xy4x y2，令 x cos ，y sin ，2 2 x y2 (sin cos )2PQ MQ 22sin 2，( 4)所以 的最小值为 4. PQ MQ 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
