1、1跟踪演练(一)(建议用时：40 分)基 础 练 扣 教 材 练 双 基1如图 17，在 ABC 中，点 D 是 AC 的中点，点 E 是 BD 的中点， AE 交 BC 于点 F，求的值BFFC图 17【解】 如图，过点 D 作 DM AF 交 BC 于点 M.因为点 E 是 BD 的中点，所以在 BDM 中， BF FM.又点 D 是 AC 的中点，所以在 CAF 中， CM MF，所以 .BFFC BFFM MC 122(2015江苏高考)如图 18，在 ABC 中， AB AC， ABC 的外接圆 O 的弦 AE 交BC 于点 D.图 18求证： ABD AEB.【证明】 因为 AB
2、AC，所以 ABD C.又因为 C E，所以 ABD E.又 BAE 为公共角，所以 ABD AEB.23如图 19 所示， AD， BE 是 ABC 的两条高， DF AB，垂足为 F，直线 FD 交 BE 于点G，交 AC 的延长线于 H，求证： DF2 GFHF.图 19【证明】 H BAC90， GBF BAC90， H GBF. AFH GFB90， AFH GFB. ，HFBF AFGF AFBF GFHF.因为在 Rt ABD 中， FD AB， DF2 AFBF，所以 DF2 GFHF. 能 力 练 扫 盲 区 提 素 能1如图 110，在平行四边形 ABCD 中，过点 B 作
3、 BE CD，垂足为 E，连接 AE， F 为 AE上一点，且 BFE C.图 110(1)求证： ABF EAD；(2)若 BAE30， AD3，求 BF 的长【解】 (1)证明： AB CD， BAF AED.又 BFE C， BFE BFA C EDA， BFA ADE. ABF EAD.(2) BAE30， AEB60， sin 60，ABAE由(1)知 ， BF AD .BFAD ABAE ABAE 3322如图 111，在梯形 ABCD 中，点 E， F 分别在 AB， CD 上， EF AD，假设 EF 做上下平行移动3图 111(1)若 ，求证：3 EF BC2 AD；AEEB
4、 12(2)请你探究一般结论，即若 ，那么你可以得到什么结论？AEEB mn【解】 过点 A 作 AH CD 分别交 EF， BC 于点 G， H.(1)证明：因为 ，AEEB 12所以 .AEAB 13又 EG BH，所以 ，即 3EG BH.EGBH AEAB 13又 EG GF EG AD EF，从而 EF (BC HC) AD，13所以 EF BC AD，即 3EF BC2 AD.13 23(2)因为 ，所以 .AEEB mn AEAB mn m又 EG BH，所以 ，即 EG BH.EGBH AEAB mm n所以 EF EG GF EG AD (BC AD) AD，所以 EF BC
5、 AD，即( m n)mm n mm n nm nEF mBC nAD.1跟踪演练（二）(建议用时：40 分)基 础 练 扣 教 材 练 双 基1(2015邢台四模)如图 26，已知 AB 是 O 的直径， AC 是弦， AD CE，垂足为D， AC 平分 BAD.图 26(1)求证：直线 CE 是 O 的切线；(2)求证： AC2 ABAD.【证明】 (1)连接 OC，如图所示：因为 OA OC，所以 OCA OAC.又因为 AD CE，所以 ACD CAD90，又因为 AC 平分 BAD，所以 OAC CAD，所以 OCA ACD90，即 OC CE，所以 CE 是 O 的切线(2)连接
6、BC，因为 AB 是 O 的直径，所以 BCA ADC90，因为 CE 是 O 的切线，所以 B ACD，所以 ABC ACD，所以 ，即 AC2 ABAD.ACAB ADAC2(2015唐山一模)如图 27，圆周角 BAC 的平分线与圆交于点 D，过点 D 的切线与弦 AC 的延长线交于点 E， AD 交 BC 于点 F.2图 27(1)求证： BC DE；(2)若 D， E， C， F 四点共圆，且 ，求 BAC.AC BC【解】 (1)因为 EDC DAC， DAC DAB， DAB DCB，所以 EDC DCB，所以 BC DE.(2)因为 D， E， C， F 四点共圆，所以 CFA
7、 CED，由(1)知 ACF CED，所以 CFA ACF.设 DAC DAB x，因为 ，所以 CBA BAC2 x，AC BC所以 CFA FBA FAB3 x，在等腰三角形 ACF 中， CFA ACF CAF7 x，则 x ， 7所以 BAC2 x .27能 力 练 扫 盲 区 提 素 能1(2015郑州二模)如图 28， O 是 ABC 的外接圆， BAC 的平分线交 BC 于点F， D 是 AF 的延长线与 O 的交点， AC 的延长线与 O 的切线 DE 交于点 E.图 28(1)求证： ；CEBD DEAD(2)若 BD3 ， EC2， CA6，求 BF 的值2【解】 (1)证
8、明：连接 CD， AD 是 BAC 的平分线，3 BAD EAD，又 DE 与 O 相切于 D， CDE EAD BAD， DCE 是 O 的内接四边形 ABDC 的外角， DCE ABD， DCE ABD， .CEBD DEAD(2) AD 是 BAC 的平分线， ，BD CD BD CD3 ， CBD BCD，2 DE 与 O 相切于 D， EC2， CA6， DE2 ECEA EC(EC CA)16， CDE CBD， DE4， CDE BCD， DE BC， E ACB ADB， DCE BFD， ， BF .DCBF DEBD BDDCDE 922(2015全国卷)如图 29， O
9、为等腰三角形 ABC 内一点， O 与 ABC 的底边 BC交于 M， N 两点，与底边上的高 AD 交于点 G，且与 AB， AC 分别相切于 E， F 两点(1)证明： EF BC；(2)若 AG 等于 O 的半径，且 AE MN2 ，求四边形 EBCF 的面积3【解】 (1)证明：由于 ABC 是等腰三角形， AD BC，所以 AD 是 CAB 的平分线又因为 O 分别与 AB， AC 相切于点 E， F，所以 AE AF，故 AD EF，从而 EF BC.(2)由(1)知， AE AF， AD EF，故 AD 是 EF 的垂直平分线又 EF 为 O 的弦，所以 O 在 AD 上连接 O
10、E， OM，则 OE AE.4由 AG 等于 O 的半径得 AO2 OE，所以 OAE30.因此 ABC 和 AEF 都是等边三角形因为 AE2 ，所以 AO4， OE2.3因为 OM OE2， DM MN ，所以 OD1.12 3于是 AD5， AB .1033所以四边形 EBCF 的面积为 2 (2 )2 .12 (1033 ) 32 12 3 32 16331跟踪演练（三）(建议用时：40 分)基 础 练 扣 教 材 练 双 基1在极坐标系中，曲线 C1和 C2的方程分别为 sin2 cos 和 sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系求曲线
11、C1和C2交点的直角坐标【解】 因为 x cos ， y sin ，由 sin2 cos ，得 2sin2 cos ，所以曲线 C1的普通方程为 y2 x.由 sin 1，得曲线 C2的普通方程为 y1.由Error!得Error!故曲线 C1与曲线 C2交点的直角坐标为(1,1)2已知 O1和 O2的极坐标方程分别是 2cos 和 2 asin (a 是非零常数)(1)将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若两圆的圆心距为 ，求 a 的值5【解】 (1)由 2cos ，得 22 cos .所以 O1的直角坐标方程为 x2 y22 x，即( x1) 2 y21.由 2 asin ，得 22
12、 a sin .所以 O2的直角坐标方程为 x2 y22 ay.即 x2( y a)2 a2.(2) O1与 O2的圆心距为 ，解得 a2.12 a2 5能 力 练 扫 盲 区 提 素 能1(2015湖南高考)已知直线 l：Error!( t 为参数)以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos .(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点 M 的直角坐标为(5， )，直线 l 与曲线 C 的交点为 A， B，求| MA|MB|的3值【解】 (1) 2cos 等价于 22 cos .将 2 x2 y2， cos x 代入 22 cos
13、 得曲线 C 的直角坐标方程为x2 y22 x0.(2)将Error! (t 为参数)代入 x2 y22 x0，得 t25 t180.3设这个方程的两个实根分别为 t1， t2，则由参数 t 的几何意义知，2|MA|MB| t1t2|18.2在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设 C 的极坐标方程为 2sin ，点 P 为 C 上一动点，点 M 的极坐标为 ，点 Q 为线段(4， 2)PM 的中点(1)求点 Q 的轨迹 C1的方程；(2)试判定轨迹 C1和 C 的位置关系，并说明理由【解】 (1)由 C 的极坐标方程为 2sin ，得 22 sin ，
14、 C 的直角坐标方程为 x2 y22 y0，又点 M 的极坐标为 ，(4， 2)则直角坐标为(0,4)设点 P(x0， y0)，点 Q(x， y)，则有 x ( y01) 21.(*)20点 Q 为线段 PM 的中点，Error!代入(*)得轨迹 C1的方程为 x2 2 .(y52) 14(2) C 的直角坐标方程为 x2( y1) 21，圆心为(0,1)，半径为 1，而轨迹 C1是圆心为 ，半径为 的圆，(0，52) 12两圆的圆心距为 ，等于两圆半径和，32两圆外切1跟踪演练(四)(建议用时：40 分)基 础 练 扣 教 材 练 双 基1(2015太原一模)在直角坐标系 xOy 中，曲线
15、C1的参数方程为Error!(其中 为参数)，点 M 是曲线 C1上的动点，点 P 在曲线 C2上，且满足 2 .OP OM (1)求曲线 C2的普通方程；(2)以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 与曲线 C1， C2 3分别交于 A， B 两点，求| AB|.【解】 (1)设 P(x， y)， M(x， y)， 2 ，Error!，OP OM 点 M 在曲线 C1上，Error!，( x1) 2 y 23，曲线 C2的普通方程为( x2) 2 y212.(2)曲线 C1的极坐标方程为 22 cos 20，将 代入得 2， A 的极坐标为 . 3 (2， 3)曲线 C
16、2的极坐标方程为 24 cos 80，将 代入得 4， B 的极坐标为 . 3 (4， 3)| AB|422.2(2014全国卷)已知曲线 C： 1，直线 l：Error!( t 为参数)x24 y29(1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点 A，求| PA|的最大值与最小值【解】 (1)曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数)直线 l 的普通方程为 2x y60.(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos ，3sin )到 l 的距离为 d |4cos 3sin 55 6|，则| PA| |5sin
17、( )6|，其中 为锐角，且 tan .dsin 30255 43当 sin( )1 时，| PA|取得最大值，最大值为 .22552当 sin( )1 时，| PA|取得最小值，最小值为 .255能 力 练 扫 盲 区 提 素 能1(2015石家庄一模)在直角坐标系中，曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2.(1)分别写出 C1的普通方程， C2的直角坐标方程；(2)已知 M， N 分别为曲线 C1的上、下顶点，点 P 为曲线 C2上任意一点，求| PM| PN|的最大值【解】 (1)由参数方程
18、和极坐标的基本性质，可得曲线 C1的普通方程为 1.x24 y23曲线 C2的直角坐标方程为 x2 y24.(2)法一：由曲线 C2： x2 y24，可得其参数方程为Error!( 为参数)，设 P 点坐标为(2cos ，2sin )，又由题意可知 M(0， )， N(0， )，3 3因此| PM| PN| 2cos 2 2sin 3 2 2cos 2 2sin 3 2 ，7 43sin 7 43sin 所以(| PM| PN|)2142 .49 48sin2所以当 sin 0 时，(| PM| PN|)2有最大值 28.因此| PM| PN|的最大值为 2 .7法二：设 P 点坐标为( x，
19、 y)，则 x2 y24，又由题意可知 M(0， )， N(0， )，3 3因此| PM| PN| ，x2 y 3 2 x2 y 3 2 7 23y 7 23y所以(| PM| PN|)2142 .49 12y2所以当 y0 时，(| PM| PN|)2有最大值 28.因此| PM| PN|的最大值为 2 .72(2015郑州质检)在直角坐标系 xOy 中，曲线 M 的参数方程为Error!( 为参数)，若以直角坐标系中的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 N 的极坐标方程为 sin t.( 4) 22(1)求曲线 M 的普通方程和曲线 N 的直角坐标方程；(2)若曲线
20、 N 与曲线 M 有公共点，求 t 的取值范围【解】 (1)由 x cos sin ，得 x2( cos sin )3 322cos 2 2 sin cos 1，又由 y2 sin cos 2sin 2 2 得 2 sin 3 3 3 cos y2sin 2 2，所以曲线 M 的普通方程为 x2 y1，即 y x21，3又易知 x2,2，曲线 M 的普通方程为 y x21， x2,2由 sin t，得 sin cos t，( 4) 22 22 22 22所以 sin cos t，所以曲线 N 的直角坐标方程为 x y t.(2)当直线 N 过点(2,3)时，与曲线 M 有公共点，此时 t5，从
21、该位置向左下方平行移动直到与曲线 M 相切总有公共点，联立Error! 得 x2 x1 t0， 14(1 t)，令 14(1 t)0，解得 t .54所求 t 的取值范围是 t5.541跟踪演练(五)(建议用时：40 分)基 础 练 扣 教 材 练 双 基1(2015衡水二模)设函数 f(x)|2 x1|2 x a| a， xR.(1)当 a3 时，求不等式 f(x)7 的解集；(2)对任意 xR 恒有 f(x)3，求实数 a 的取值范围【解】 (1)当 a3 时， f(x)Error!结合 f(x)的图象(图略)可知 f(x)7 的解集为 x|x2(2)f(x)|2 x1| a2 x| a|
22、2 x1 a2 x| a| a1| a.由 f(x)3 恒成立，有| a1| a3，解得 a2. a 的取值范围为2，)2(2015太原二模)已知函数 f(x)|2 x1| x a|， aR.(1)当 a3 时，解不等式 f(x)4；(2)若 f(x)| x1 a|，求 x 的取值范围【解】 (1)当 a3 时，f(x)|2 x1| x3|Error!其图象如图所示，与直线 y4 相交于点 A(0,4)和 B(2,4)，不等式 f(x)4 的解集为 x|0 x2(2) f(x)|2 x1| x a|(2 x1)( x a)| x1 a|， f(x)| x1 a|(2x1)( x a)0，当 a
23、 时， x 的取值范围是Error!.12能 力 练 扫 盲 区 提 素 能1(2015郑州二模)已知函数 f(x)|3 x2|.2(1)解不等式 f(x)0)，若| x a| f(x) (a0)恒成立，求实数 a 的取值范1m 1n围【解】 (1)不等式 f(x)1 时，3 x2 x10)，所以 (m n)11 4，当且仅当1m 1n (1m 1n) nm mnm n 时等号成立12令 g(x)| x a| f(x)| x a|3 x2|Error!则 x 时， g(x)取得最大值 a，要使不等式恒成立，只需 g(x)max a4，解23 23 23得 a ， a0，00，符合题意综上， f
24、(x)0 的解集为 .12， )(2)设 u(x)| x1| x|，在同一直角坐标系中，作出 y u(x)和 y x 的图象，如图：3易知 y u(x)的图象向下平移 1 个单位以内(不包括 1 个单位)与 y x 的图象始终有 3个交点，从而1 a0.1跟踪演练(六)(建议用时：40 分)基 础 练 扣 教 材 练 双 基1已知 a， b， c(0，)，且 a b c1，求 的最大值3a 1 3b 1 3c 1【解】 法一：( )2(3 a1)(3 b1)(3 c1)23a 1 3b 1 3c 1 2 2 (3 a1)(3 b1)(3 c1)3a 1 3b 1 3b 1 3c 1 3a 1
25、3c 1(3 b1)(3 c1)(3 a1)(3 c1)3(3 a1) 3a 1 3b 1 (3 b1)(3 c1)18， 3 .3a 1 3b 1 3c 1 2故( )max3 .3a 1 3b 1 3c 1 2法二：(1 21 21 2)( )2( )2( )23a 1 3b 1 3c 1(1 1 1 )2，3a 1 3b 1 3c 1( )23 .3a 1 3b 1 3c 1 3 a b c 3又 a b c1，( )218，3a 1 3b 1 3c 1于是 3 ，3a 1 3b 1 3c 1 2当且仅当 时，等号成立3a 1 3b 1 3c 1故( )max3 .3a 1 3b 1 3
26、c 1 22(2015湖南高考)设 a0， b0，且 a b .证明：1a 1b(1)a b2；(2)a2 a0， b0，得 ab1.1a 1b a bab(1)由基本不等式及 ab1，有 a b2 2，即 a b2.ab(2)假设 a2 a0，得 00， b0，且 .1a 1b ab(1)求 a3 b3的最小值；2(2)是否存在 a， b，使得 2a3 b6？并说明理由【解】 (1)由 ，得 ab2，当且仅当 a b 时等号成立ab1a 1b 2ab 2故 a3 b32 4 ，当且仅当 a b 时等号成立a3b3 2 2所以 a3 b3的最小值为 4 .2(2)由(1)知，2 a3 b2 4 .6ab 3由于 4 6，从而不存在 a， b，使得 2a3 b6.32(2015陕西高考)已知关于 x 的不等式| x a|b 的解集为 x|2x4(1)求实数 a， b 的值；(2)求 的最大值at 12 bt【解】 (1)由| x a|b，得 b axb a，又原不等式的解集为 x|2 x4，则Error! 解得Error!(2)由(1)得 at 12 bt 3t 12 t 34 t t 3 2 12 4 t 2 t 22 4，4 t t当且仅当 ，即 t1 时等号成立，4 t3 t1故( )max4. 3t 12 t
