1、高考大题 规范答题示范课 (一 )函数与导数类解答题【 命 题 方向 】1.导 数的几何意 义 、函数的 单调 性、极 值 与最 值 的 综合 问题 :以函数 为载 体 ,以 导 数 为 解 题 工具 ,主要考 查函数的 单调 性、极 值 、最 值问题 的求法 ,以及参数的取 值 范 围问题 .2.导 数、函数、不等式的 综 合 问题 :不等式的 证 明 问题 是高考考 查热 点内容 ,常与 绝对值 不等式 ,二次函数等相 联 系 .问题 的解决通常采用构造新函数的方法 .【 典型例 题 】 (12分 )(2016 全国卷 ) 已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点 .(1
2、)求 a的取 值 范 围.(2)设 x1,x2是 f(x)的两个零点 ,证 明 :x1+x20时 ,f(x)的零点个数 ; 判断 a0,则当 x(-,1) 时 ,f(x )0,所以 f(x)在 (-,1) 上单调递减 ,在 (1,+) 上单调递增 .又 f(1)=-e,f(2)=a,取 b满足 b (b-2)+a(b-1)2=a 0,故 f(x)存在两个零点 ; 2 分 得分点 设 a0,因此 f(x)在 (1,+) 上单调递增 .又当 x1 时 ,f(x)1,故当 x(1,ln(-2a) 时 ,f(x )0.因此 f(x)在 (1,ln(-2a)上单调递减 ,在 (ln(-2a),+)上单调
3、递增 ,又当 x1 时 ,f(x)f(2-x2),即 f(2-x2)1时 ,g(x )1时 ,g(x)0时 ,判断出单调性得 1分 ,找出两个零点得 1分; 根据 a0时 ， (x-2)ex+x+20.(2)证 明：当 a0 ， 1)时 ，函数 g(x)= (x0)有最小 值 .设 g(x)的最小 值为 h(a)，求函数 h(a)的 值 域 .【 题目拆解 】 本题可化整为零，拆解成以下几个小问题： 求 f(x)的单调区间； 当 x0时，证明 (x-2)ex+x+20； 当 a0 ， 1)时，求函数 g(x)= (x0)的最小值； 求函数 h(a)的最大值、最小值 .【 解析 】 (1)f(x
4、)=f(x )=因为当 x(- ， -2)(-2 ， +) 时， f(x )0，所以 f(x)在 (- ， -2)和 (-2， +) 上单调递增，所以 x0时， exf(0)=-1，所以 (x-2)ex+x+20.(2)g(x)=a0 ， 1).由 (1)知，当 x0时， f(x)= e x的值域为 (-1，+) ，只有一解，使得 e t=-a， t(0 ， 2.当 x(0 ， t)时 g(x )0， g(x)单调递增 .h(a)=记 k(t)= ，在 t(0 ， 2时， k(t )= 0，所以 k(t)单调递增，所以 h(a)=k(t)高考大题 规范答题示范课 (三 )数列类解答题【 命 题
5、 方向 】1.等差、等比数列的 应 用： 证 明数列 为 等差数列 还 是等比数列，求数列的通 项 公式，求某数列的前 n项 和 .2.数列求和及与不等式的 综 合 问题 ：以等差、等比数列 为载 体，求数列的通 项 公式，求某数列的前 n项 和或 证 明不等式、求参数等 .【 典型例 题 】 (12分 )(2016 全国卷 ) 已知数列 an的前 n项 和Sn=1+a n，其中 0.(1)证 明 an是等比数列，并求其通 项 公式 .(2)若 S5= ，求 . 【 题 目拆解 】 本 题 可拆解成以下几个小 问题 ：(1) 求 a1； 证 明 an是等比数列； 求 an的通 项 公式 .(2
6、) 求 Sn； 求 的 值 . 【 标准答案 】(1)由题意得 a1=S1=1+a 1，故 1 ， a1= ，故 a10. 1分 得分点 由 Sn=1+a n， Sn+1=1+a n+1得 an+1=a n+1-a n，即 an+1(-1)= a n， 1分 得分点 由 a10,0 ,得 an0 ，所以 1分 得分点 因此 an是首项为 ，公比为 的等比数列， 1分 得分点 于是 an= 2分 得分点 (2)由 (1)得 Sn=1- . 2分 得分点 由 S5= 得 ，即 ， 2分 得分点 解得 =-1. 2分 得分点 【 评 分 细则 】 第 (1)问踩 点 说 明(针对 得分点 )： 求出
7、 a1得 1分 . 正确 变 形，得出 an与 an+1之 间 的关系得 1分 . 正确写出 得 1分 . 正确叙述 结论 得 1分，没有此步扣 1分 . 求出通 项 正确得 2分， 错误 不得分 .第 (2)问踩 点 说 明(针对 得分点 )： 求出前 n项 和得 2分 . 正确代入化 简 得 2分 . 求出 的 值 ，正确得 2分， 错误 不得分 . 【 高考状元 满 分心得 】1.牢 记 等差、等比数列的定 义 ：在判断数列 为 等差或等比数列 时 ， 应 根据定 义进 行判断，所以熟 练 掌握定义 是解决 问题 的关 键 ，如本 题 第 (1)问 ，要根据定 义 判断2.注意利用第 (
8、1)问 的 结 果：在 题设 条件下，如果第(1)问 的 结 果第 (2)问 能用得上，可以直接用，有些 题目不用第 (1)问 的 结 果甚至无法解决，如本 题 即是在第 (1)问 的基 础 上求得前 n项 和 .3.写全得分关 键 ：写清解 题过 程的关 键 点，有 则给 分，无 则 没有分，同 时 解 题过 程中 计 算准确，是得分的根本保 证 .如本 题 第 (1)问 要充分体 现 等比数列判断的全 过 程，如得分点 ；第 (2)问 展示求 的过 程，如得分点 .【 跟踪 训练 】(2016 全国卷 ) Sn为 等差数列 an的前 n项 和，且a1=1， S7=28.记 bn=lgan，
9、其中 x表示不超 过 x的最大整数，如 0.9=0， lg99=1.(1)求 b1， b11， b101.(2)求数列 bn的前 1000项 和 .【 题目拆解 】 本题可化整为零，拆解成以下几个小问题：(1) 求等差数列 an的通项公式； 求 lg1， lg11， lg101的值 .(2) 求 0lga n1， 1lga n2， 2lga n3， lgan=3时， n的值 . 求数列 bn的前 1000项和 .【 规范解答 】 (1)设 an的公差为 d， S7=7a4=28，所以 a4=4，所以 d= =1，所以 an=1+(n-1)1=n.所以 b1=lga1=lg1=0， b11=lg
10、a11=lg11=1，b101=lga101=lg101=2.(2)记 bn的前 n项和为 Tn，则 T1000=b1+b2+b 1000=lga1+lga2+lga 1000.当 0lga n1时， n=1， 2， ， 9；当 1lga n2时， n=10， 11， ， 99；当 2lga n3时， n=100， 101， ， 999；当 lgan=3时， n=1000.所以 T1000=09+190+2900+31=1893. 高考大题 规范答题示范课 (二 )三角函数及解三角形类解答题【 命 题 方向 】1.三角函数的 图 象与性 质 ：考 查 三角恒等 变换 及三角函数的 图 象 变换
11、 ，三角函数的 值 域、 单调 性、奇偶性、 对 称性及周期性等 问题 .2.解三角形：考 查 三角形中的 边长 、角度、面 积 及 边角之 间 的关系及正、余弦定理的 应 用等 .【 典型例 题 】 (12分 )(2016 全国卷 )ABC 的内角 A， B， C的 对边 分别为 a， b， c，已知 2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求 C.(2)若 c= ， ABC的面 积为 ，求 ABC的周 长 . 【 题 目拆解 】 本 题 可拆解成以下几个小 问题 ：(1) 化 简 2cosC(acosB+bcosA)=c； 求 C.(2) 求 ab的 值 . 求 ABC的周 长 【
12、 标准答案 】 (1)因为 2cosC(acosB+bcosA)=c，由正弦定理得： 2cosC(sinAcosB+sinBcosA)= sinC2 分 得分点 得 2cosCsin(A+B)= sinC.1 分 得分点 因为 A+B+C= ， A， B， C(0 ， ) ，所以 sin(A+B)=sinC0， 1 分 得分点 所以 2cosC=1， cosC= .1 分 得分点 因为 C(0 ， ) ，所以 C= .1 分 得分点 (2)由余弦定理： c2=a2+b2-2abcosC ，得 7=a2+b2-2ab ， 2 分 得分点 (a+b)2-3ab=7，S= absinC = ab=所
13、以 ab=6， 2 分 得分点 所以 (a+b)2-18=7，a+b=5， 1 分 得分点 所以 ABC的周长为 a+b+c=5+ .1 分 得分点 【 评 分 细则 】第 (1)问踩 点 说 明 (针对 得分点 )： 正确使用正弦定理得 2分； 正确使用 诱导 公式得 1分； 得出 sin(A+B)=sinC得 1分； 得出 cosC= 得 1分； 正确求出角度得 1分 .第 (2)问踩 点 说 明 (针对 得分点 )： 正确运用余弦定理得 2分； 正确运用三角形的面 积 公式得出 ab=6得 2分； 利用平方法求出 a+b的 值 ，得 1分； 正确求出 a+b+c的 值 得 1分 . 【
14、高考状元 满 分心得 】1.牢 记 公式，正确求解：在三角函数及解三角形 类 解答 题 中，通常涉及三角恒等 变换 公式、 诱导 公式及正弦定理和余弦定理， 这 些公式和定理是解决 问题 的关键 ，因此要牢 记 公式和定理 .如本 题 第 (2)问 要 应 用到余弦定理及三角形的面 积 公式 .2.注意利用第 (1)问 的 结 果：在 题设 条件下，如果第(1)问 的 结 果第 (2)问 能用得上，可以直接用，有些 题目不用第 (1)问 的 结 果甚至无法解决，如本 题 即是在第 (1)问 的基 础 上求解 .3.写全得分关 键 ：在三角函数及解三角形 类 解答 题 中， 应 注意解 题 中的
15、关 键 点，有 则给 分，无 则 不得分，所以在解答 题时 一定要写清得分关 键 点，如第 (1)问中，没有将正弦定理表示出来的 过 程， 则 不得分；第(2)问 中没有将面 积 表示出来 则 不得分，只有将面 积转 化 为 得分点 才得分 .【 跟踪 训练 】(2016 山 东 高考 )在 ABC中，角 A， B， C的 对边 分 别为 a， b， c，已知 2(tanA+tanB)=(1)证 明： a+b=2c.(2)求 cosC的最小 值 .【 题目拆解 】 本题可化整为零，拆解成以下几个小问题：(1) 化简 2(tanA+tanB)= ； 证明： a+b=2c.(2) 利用 a， b，
16、 c表示 cosC； 求 cosC的最小值 .【 规范解答 】 (1)由题意知化简得 2(sinAcosB+sinBcosA)=sinA+sinB，即 2sin(A+B)=sinA+sinB，因为 A+B+C= ，所以 sin(A+B)=sin( -C)=sinC，从而 sinA+sinB=2sinC，由正弦定理得 a+b=2c.(2)由 (1)知， c= ，所以，当且仅当 a=b时，等号成立，故 cosC的最小值为 .高考大题 规范答题示范课 (五 )解析几何类解答题【 命 题 方向 】1.圆锥 曲 线 的概念、方程和几何性 质 :常出 现 在解答题 的第一 问 ,重点考 查圆锥 曲 线 的
17、定 义 和几何性 质 .2.定点、定 值 、最 值 和存在性 问题 :以直 线 和 圆锥 曲线 的位置关系 为 背景 ,考 查 定点、定 值 和最 值 的存在性 问题 .【 典型例 题 】(12分 )(2016 全国卷 ) 设圆 x2+y2+2x-15=0的 圆 心 为A,直 线 l过 点 B(1,0)且与 x轴 不重合 ,l交 圆 A于 C,D两点 ,过 B作 AC的平行 线 交 AD于点 E.(1)证 明 |EA|+|EB|为 定 值 ,并写出点 E的 轨 迹方程 .(2)设 点 E的 轨 迹 为 曲 线 C1,直 线 l交 C1于 M,N两点 ,过 B且与 l垂直的直 线 与 圆 A交于
18、 P,Q两点 ,求四 边 形 MPNQ面 积的取 值 范 围 . 【 题 目拆解 】 本 题 可拆解成以下几个小 问题 :(1) 求出 |EA|+|EB|=4; 根据 椭圆 的定 义 写出方程 .(2) 用直 线 l的斜率 k表示 |MN|,|PQ|; 求出四 边 形的面 积 ; 求面 积 的取 值 范 围 . 【 标准答案 】 (1)因为 |AD|=|AC|,EBAC,所以 EBD=ACD=ADC, 所以 |EB|=|ED|,故 |EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆 A的标准方程为 (x+1)2+y2=16,从而 A(-1,0),|AD|=4,所以 |EA|+|EB|=4.
19、 2 分 得分点 又因为 B(1,0),所以 |AB|=2,由椭圆定义可得点 E的轨迹方程为 (y0). 2 分 得分点 (2)当 l与 x轴不垂直时 ,设 l的方程为 y=k(x-1)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2).由 得 (4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,则 所以 |MN|= 2 分 得分点 过点 B(1,0)且与 l垂直的直线 m:y=- (x-1),点 A到直线m的距离为 所以 |PQ|= 2 分 得分点 故四边形 MPNQ的面积 S= 1 分 得分点 可得当 l与 x轴不垂直时 ,四边形 MPNQ面积的取值范围为(12,8 ). 1分 得分点 当 l与 x
20、轴垂直时 ,其方程为 x=1,|MN|=3,|PQ|=8,故四边形 MPNQ的面积为 12. 1 分 得分点 综上 ,四边形 MPNQ面积的取值范围为 12,8 ). 1 分 得分点 【 评 分 细则 】第 (1)问踩 点 说 明(针对 得分点 ): 正确求出 |EA|+|EB|=4得 2分 ; 根据 椭圆 的定 义 求出 椭圆 方程得 2分 .第 (2)问踩 点 说 明(针对 得分点 ): 用直 线 l的斜率 k表示 |MN|得 2分 ; 用直 线 l的斜率 k表示 |PQ|得 2分 ; 正确得出四 边 形的面 积 得 1分 ; 正确求出直 线 l的斜率存在 时 四 边 形的面 积 范 围
21、得 1分 ; 正确求出直 线 l的斜率不存在 时 四 边 形的面 积 得 1分 ; 正确得出 结论 得 1分 . 【 高考状元 满 分心得 】1.正确使用 圆锥 曲 线 的定 义 :牢 记圆锥 曲 线 的定 义 ,能根据 圆锥 曲 线 定 义 判断曲 线类 型 ,如本 题 第 (1)问就涉及 椭圆 的定 义 .2.注意分 类讨论 :当用点斜式表示直 线 方程 时 ,应 分直线 的斜率存在和不存在两种情况求解 ,易出 现 忽略斜率不存在的情况 ,导 致扣分 ,如本 题 第 (2)问 中的得分点 .4.写全得分关 键 :在解析几何 类 解答 题 中 ,直 线 方程与圆锥 曲 线 方程 联 立后得到
22、的一元二次方程 ,根据一元二次方程得到的两根之和与两根之 积 ,弦 长 ,目 标 函数等一些关 键 式子和 结 果都是得分点 ,在解答 时 一定要写清楚 ,如本 题 中的得分点 等 .【 跟踪 训练 】(2016 衡水一模 )已知以 A为圆 心的 圆 (x-2)2+y2=64上有一个 动 点 M,B(-2,0),线 段 BM的垂直平分 线 交 AM于点P,点 P的 轨 迹 为 C.(1)求 轨 迹 C的方程 .(2)过 A点作两条相互垂直的直 线 l1,l2，分 别 交曲 线 C于D,E,F,G四个点 ,求 |DE|+|FG|的取 值 范 围 .【 题目拆解 】 本题可化整为零 ,拆解成以下几
23、个小问题: 求轨迹 C的方程 . 直线 l1,l2中有一条斜率不存在时 ,求 |DE|+|FG|的值 . 直线 l1,l2的斜率均存在时 ,求 |DE|+|FG|的取值范围 .【 规范解答 】 (1)连接 PB,依题意得 |PB|=|PM|,所以|PB|+|PA|=|AM|=8,所以点 P的轨迹 C是以 A,B为焦点 ,4为长半轴长的椭圆 ,所以 a=4,c=2,则 b=2 .所以轨迹 C的方程是 (2)当直线 l1,l2中有一条直线的斜率不存在时 ,|DE|+|FG|=6+8=14;当直线 l1的斜率存在且不为 0时 ,设直线 l1的方程为 y=k(x-2),D(x1,y1),E(x2,y2
24、),联立整理得 (3+4k2)x2-16k2x+16k2-48=0,所以 所以 |DE|=同理可得 |FG|= 所以 |DE|+|FG|= 设 t=k2+1,则 t1,所以 |DE|+|FG|= 当 t1时 ,易证 y= 在 (1,2)上递增 ,在 (2,+) 上递减 ,所以 0y ,所以 |DE|+|FG|的取值范围是 综上 ,|DE|+|FG|的取值范围是 高考大题 规范答题示范课 (六 )概率与统计类解答题【 命 题 方向 】1.概率与 统计 的 综 合 问题 ：与 统计问题 相 结 合考 查概率及离散型随机 变 量分布列的求法 .2.概率与 统计 的 实际应 用：以 现实 生活 为 背
25、景，考查 概率、相互独立事件、互斥事件、离散型随机 变 量的分布列与期望 值 等， 为 作出决策提供正确依据 .【 典型例 题 】(12分 )(2016 全国卷 ) 某公司 计 划 购买 2台机器，该 种机器使用三年后即被淘汰 .机器有一易 损 零件，在 购进 机器 时 ，可以 额 外 购买这 种零件作 为备 件，每个 200元 .在机器使用期 间 ，如果 备 件不足再 购买 ，则 每个 500元 .现 需决策在 购买 机器 时应 同 时购买 几个易 损 零件， 为 此搜集并整理了 100台 这 种机器在三年使用期内更 换 的易 损 零件数，得如 图 柱状 图 ：以 这 100台机器更 换 的
26、易 损 零件数的 频 率代替 1台机器更 换 的易 损 零件数 发 生的概率， 记 X表示 2台机器三年内共需更 换 的易 损 零件数， n表示 购买 2台机器的同 时购买 的易 损 零件数 .(1)求 X的分布列 .(2)若要求 P(Xn)0.5 ，确定 n的最小 值 .(3)以 购买 易 损 零件所需 费 用的期望 值为 决策依据，在 n=19与 n=20之中 选 其一， 应选 用哪个？ 【 题 目拆解 】本 题 可拆解成以下几个小 问题 ：(1) 确定随机 变 量 X的取 值 ； 计 算随机 变 量取 值 的概率 .(2)确定 n的最小 值 .(3) 分 别计 算 n=19， n=20时
27、 所需 费 用； 比 较 作出决策 . 【 标准答案 】(1)每台机器更换的易损零件数为 8， 9， 10， 11，记事件 Ai为第一台机器 3年内换掉 i+7个零件 (i=1， 2，3， 4)，记事件 Bi为第二台机器 3年内换掉 i+7个零件(i=1， 2， 3， 4)， 1 分 得分点 由题知 P(A1)=P(A3)=P(A4)=P(B1)=P(B3)=P(B4)=0.2，P(A2)=P(B2)=0.4.1 分 得分点 设 2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为 X，则X的可能的取值为 16， 17， 18， 19， 20， 21， 22，1 分 得分点 P(X=16)=P(A1)P(
28、B1)=0.20.2=0.04 ，1 分 得分点 P(X=17)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=0.20.4+0.40.2=0.16，1 分 得分点 P(X=18)=P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B1)=0.20.2+0.40.4+0.20.2=0.24 ，P(X=19)=P(A1)P(B4)+P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)+P(A4)P(B1)=0.20.2+0.40.2+0.20.4+0.20.2=0.24，P(X=20)=P(A2)P(B4)+P(A3)P(B3)+P(A4)P(B2)=0.40.2+0.20.2+0.20.4=0.2
29、 ，P(X=21)=P(A3)P(B4)+P(A4)P(B3)=0.20.2+0.20.2=0.08，P(X=22)=P(A4)P(B4)=0.20.2=0.04.2 分 得分点 所以 X的分布列为1 分 得分点 X 16 17 18 19 20 21 22P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04(2)要令 P(Xn)0.5 ，因为 0.04+0.16+0.240.5，0.04+0.16+0.24+0.240.5 ，则 n的最小值为 19. 2 分 得分点 (3)购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当 n
30、=19时，费用的期望为 19200+5000.2+1 0000.08+1 5000.04=4 040 ，当 n=20时，费用的期望为 20200+5000.08+1 0000.04=4 080. 所以应选用 n=19.2 分 得分点 【 评分细则 】第 (1)问踩点说明(针对得分点 )： 正确表示出两台机器 3年内换掉零件的事件得 1分； 写出各事件概率得 1分； 写出随机变量 X的取值得 1分； 正确求出 X=16的概率得 1分； 正确求出 X=17的概率得 1分； 依次求出 X=18， 19， 20， 21， 22的概率得 2分； 写出随机变量的分布列得 1分 .第 (2)问踩点说明(针对
31、得分点 )： 计算概率之和与 0.5比较得出结论得 2分；第 (3)问踩点说明 (针对得分点 )： 分别计算并比较 n=19， n=20时的期望，得出结论得 2分 . 【 高考状元 满 分心得 】1.正确 阅读 理解，弄清 题 意：与概率 统计 有关的 应 用问题经 常以 实际 生活 为 背景，且常考常新，而解决 问题 的关 键 是理解 题 意，弄清本 质 ，将 问题转 化 为 离散型随机 变 量分布列求解 问题 ，如本 题 第 (1)问 就是求解离散型随机 变 量的分布列，其关 键 是准确写出随机 变 量 X的取 值 及正确求其概率 .2.注意利用第 (1)问 的 结 果：在 题设 条件下，
32、如果第(1)问 的 结 果第 (2)问 能用得上，可以直接用，有些 题目不用第 (1)问 的 结 果甚至无法解决，如本 题 即是在第 (1)问 的基 础 上利用分布列求概率之和来求解 .3.注意将概率求 对 ：与离散型随机 变 量有关的 问题 ，准确求出随机 变 量取 值 的概率是关 键 .本 题 第 (1)问 ，要做到：一是随机 变 量取 值 要准，二是要明确随机 变量取每个 值 的意 义 ，同 时 也要注意事件的独立性 .【 跟踪 训练 】(12分 )(2016 全国卷 ) 某 险 种的基本保 费为 a(单 位：元 )， 继续购买该险 种的投保人称 为续 保人， 续 保人的本年度的保 费
33、与其上年度的出 险 次数的关 联 如下：上年度出 险 次数 0 1 2 3 4 5保 费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a设该险 种一 续 保人一年内出 险 次数与相 应 概率如下：一年内出 险 次数 0 1 2 3 4 5概 率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05(1)求一 续 保人本年度的保 费 高于基本保 费 的概率 .(2)若一 续 保人本年度的保 费 高于基本保 费 ，求其保费 比基本保 费 高出 60%的概率 .(3)求 续 保人本年度的平均保 费 与基本保 费 的比 值 .【 题目拆解 】 本题可化整为零，拆解成以下几个小问题： 求一
34、续保人本年度的保费高于基本保费的概率； 求保费比基本保费高出 60%的概率； 求平均保费； 求平均保费与基本保费的比值 .【 规范解答 】 (1)设续保人本年度的保费高于基本保费为事件 A，P(A)=1-P( )=1-(0.30+0.15)=0.55.(2)设续保人保费比基本保费高出 60%为事件 B，(3)设本年度所交保费为随机变量 X.X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2aP 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05平均保费E(X)=0.85a0.30+0.15a+1.25a0.20+1.5a0.20+1.75a0.10+2a0.05=0.255a+0
35、.15a+0.25a+0.3a+0.175a+0.1a=1.23a，所以平均保费与基本保费比值为 1.23.高考大题 规范答题示范课 (四 )立体几何类解答题【 命 题 方向 】1.空 间线线 、 线 面、面面平行与垂直的确 认 与 应 用 问题 ，常以棱柱、棱 锥 、棱台或其 简单组 合体 为载 体 .主要考 查 利用 线 面、面面平行与垂直的判定与性 质 定理 证 明空 间 的平行与垂直关系 .2.根据空 间 点、 线 、面的位置与数量关系，确定或 应用几何体的体 积 ，利用体 积转 化法求解 .3.确定或 应 用空 间 的 线线 角、 线 面角、面面角 .一般需建立空 间 直角坐 标 系
36、，利用空 间 向量求解 .【 典型例 题 】(12分 )(2016 全国卷 ) 如 图 ，菱形 ABCD的 对 角 线 AC与 BD交于点 O， AB=5， AC=6，点 E， F分 别 在 AD， CD上，AE=CF= ， EF交 BD于点 H.将 DEF沿 EF折到 DEF 的位置， OD= .(1)证 明： DH 平面 ABCD.(2)求二面角 B-DA-C 的正弦 值 . 【 题目拆解 】本题可拆解成以下几个小问题：(1) 证明 DHEF ； 证明 DHOH.(2) 根据 (1)建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求相关向量的坐标； 求两平面 ABD 与 ACD 法向量的夹角的
37、余弦值； 求二面角 B-DA -C的正弦值 . 【 标准答案 】(1)由已知得 ACBD ， AD=CD， 1分 得分点 又由 AE=CF得 故 ACEF. 1分 得分点 因此 EFHD ，从而 EFDH. 1分 得分点 由 AB=5， AC=6得 DO=BO= =4.由 EFAC 得所以 OH=1， DH=DH=3 ， 1分 得分点 于是 DH 2+OH2=32+12=10=DO 2，故 DHOH. 1分 得分点 又 DHEF ，而 OHEF=H ，所以 DH 平面 ABCD. 1 分 得分点 (2)如图，以 H为坐标原点， HF的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系 H-xyz，则 H(0
38、， 0， 0)， A(-3， -1， 0)， B(0， -5， 0)， C(3，-1， 0)， D(0 ， 0， 3). =(3， -4， 0)， =(6，0， 0)， =(3， 1， 3). 2 分 得分点 设 m=(x1， y1， z1)是平面 ABD 的法向量，则所以可取 m=(4， 3， -5). 1 分 得分点 设 n=(x2， y2， z2)是平面 ACD 的法向量，则所以可取 n=(0， -3， 1). 1 分 得分点 于是 cos= 1分 得分点 sin= 因此二面角 B-DA -C的正弦值是 1 分 得分点 【 评分细则 】第 (1)问踩分点说明(针对得分点 )： 由菱形的性
39、质得到 ACBD ， AD=CD得 1分； 由已知判断出 ACEF ，并证明 EFDH 各得 1分； 由此推得 OH=1， DH=3 ，并用勾股定理逆定理证得 DHOH ，各得 1分； 由线面垂直的判定定理得 DH 平面 ABCD得 1分 .第 (2)问踩分点说明(针对得分点 )： 建立正确的空间直角坐标系并写出相关点的坐标得 1分，进而求出相关向量的坐标，再得 1分； 正确求出两个平面的法向量各得 1分； 正确求出两法向量夹角的余弦值得 1分； 正确得到二面角的正弦值得 1分 . 【 高考状元 满 分心得 】1.写全得分步 骤 ：在立体几何 类 解答 题 中， 对 于 证 明与计 算 过 程
40、中得分点的步 骤 ，有 则给 分，无 则 没分，所以对 于得分点步 骤 一定要写 .如第 (1)问 中的 ACBD ， AD=CD， ACEF ；第 (2)问 中的 的坐 标 ，及两平面法向量的坐 标 .2.注意利用第 (1)问 的 结 果：在 题设 条件下，立体几何解答 题 的第 (2)问 建系，要用到第 (1)问 中的垂直关系 时 ，可以直接用，有 时 不用第 (1)问 的 结 果无法建系，如本 题 即是在第 (1)问 的基 础 上建系 .3.写明得分关 键 ： 对 于解 题过 程中的关 键 点，有 则给分，无 则 没分 .所以在解立体几何 类 解答 题时 ，一定要写清得分关 键 点，如第
41、 (1)问 中一定要写出判断 DH平面 ABCD的三个条件，写不全 则 不能得全分，如 OH EF=H一定要有，否 则 要扣 1分；第 (2)问 中不写出 cos= 这 个公式，而直接得出余弦 值 ， 则要扣 1分 .【 跟踪 训练 】 (12分 )(2016 全国卷 ) 如 图 ，在以 A， B， C， D， E， F为顶 点的五面体中，面 ABEF为 正方形， AF=2FD， AFD=90 ，且二面角 D-AF-E与二面角C-BE-F都是 60.(1)证 明：平面 ABEF 平面 EFDC.(2)求二面角 E-BC-A的余弦 值 .【 题目拆解 】 本题可化整为零，拆解成以下几个小问题：
42、求证 AF 面 EFDC. 建立空间直角坐标系，求平面 BEC和平面 ABC的法向量 . 求平面 BEC和平面 ABC法向量夹角的余弦值 .【 规范解答 】 (1)因为 ABEF为正方形，所以 AF EF.因为 AFD=90 ，所以 AFDF.因为 DFEF=F ，所以 AF 面 EFDC，AF 面 ABEF，所以平面 ABEF 平面 EFDC.(2)由 (1)知 DFE=CEF=60.因为 ABEF ，AB平面 EFDC，EF 平面 EFDC，所以 EF 平面 ABCD，AB 平面 ABCD.因为面 ABCD 面 EFDC=CD，所以 ABCD ，所以 CDEF ，所以四边形 EFDC为等腰梯形，以 E为原点，如图建立坐标系，设 FD=a，E(0， 0， 0)， B(0， 2a， 0)，C A(2a， 2a， 0)，=(0， 2a， 0)，=(-2a， 0， 0).设平面 BEC的法向量为 m=(x1， y1， z1).令 x1= ，则 m=( ， 0， -1).设平面 ABC的法向量为 n=(x2， y2， z2)，令 y2= ，则n=(0， ， 4).设二面角 E-BC-A的大小为 .cos = 所以二面角 E-BC-A的余弦值为 .
