1、1小题专题练(四) 立体几何(建议用时：50 分钟)1若 l， m 是两条不同的直线， m 垂直于平面 ，则“ l m”是“ l ”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件2三棱柱 ABC-A1B1C1中， M、 N 分别是 B1B、 AC 的中点，设 a， b， c，则AB AC AA1 ( )NM A. a b c B. a b c12 12C. a c D a (c b)12 123如图是一正方体被过棱的中点 M、 N 和顶点 A、 D、 C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正(主)视图为( )4设直线 m 与平面 相交但不垂直
2、，则( )A在平面 内有且只有一条直线与直线 m 垂直B过直线 m 有且只有一个平面与平面 垂直C与直线 m 垂直的直线不可能与平面 平行D与直线 m 平行的平面不可能与平面 垂直5(2015安丘模拟)如图所示是一个几何体的三视图，其侧视图是一个边长为 a 的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则该几何体的体积为( )A a3 B.a32C. D.a33 a34第 5 题图 第 7 题图 6直三棱柱 ABCA1B1C1中， BCA90， M， N 分别是 A1B1， A1C1的中点，BC CA CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( )A. B.110 25C. D.3010
3、227如图，直线 PA 垂直于圆 O 所在的平面， ABC 内接于圆 O，且 AB 为圆 O 的直径，点 M 为线段 PB 的中点现有以下命题： BC PC； OM平面 APC；点 B 到平面 PAC 的2距离等于线段 BC 的长其中真命题的个数为( )A0 B1C2 D38已知 m、 n、 b 分别是三条不重合的直线，有两个不重合的平面 、 ，且直线 b平面 ，有以下三个命题：若 m ， n b，且 ，则 m n；若 m ， n b，且 ，则 m n；若 m ， n b，且 ，则 m n.其中真命题的序号是( )A BC D9已知四棱锥 VABCD 的顶点都在同一球面上，底面 ABCD 为矩
4、形， AC BD G， VG平面 ABCD， AB ， AD3， VG ，则该球的体积为( )3 3A4 B9C12 D4 3 310如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 P 在 BC1上运动，则下列三个命题：三棱锥A-D1PC 的体积不变； DP BC1；平面 PDB1平面 ACD1.其中正确命题的序号是( )A BC D第 10 题图 第 13 题图 11一个体积为 12 的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧(左)视图的面3积为_12若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为 1，则圆锥的体积为_13如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， M， N 分别是棱
5、 C1D1， C1C 的中点给出以下四个结论：直线 AM 与直线 C1C 相交；直线 AM 与直线 BN 平行；直线 AM 与直线 DD1异面；直线 BN 与直线 MB1异面其中正确结论的序号为_(注：把你认为正确的结论序号都填上)14已知点 P， A， B， C， D 是球 O 表面上的点， PA平面 ABCD，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形若 PA2 ，则 OAB 的面积为_ 3 615(2015烟台模拟)在三棱柱 ABCA1B1C1中， BAC90，其正(主)视图和侧(左)视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是直角边的长为 1 的等腰直角三角形设点 M， N， P分别是棱 AB
6、， BC， B1C1的中点，则三棱锥 PA1MN 的体积是_3小题专题练(四) 立体几何1解析：选 B.因为 m ，若 l ，则必有 l m，即 l l m.但 l m l ，因为 l m 时， l 可能在 内/故“ l m”是“ l ”的必要而不充分条件2解析：选 D. ， c， b a，所以NM NB BM BM 12CC1 12 NB 12CA AB 12 a b c a (c b)NM 12 12 123解析：选 B.通过分析可知，两个截面分别为平面 AMN 和平面 DNC1，所以易知正视图为选项 B 中所示的图形4解析：选 B.对于 A，过交点且与直线 m 垂直的直线有一条，在平面
7、内与此直线平行的直线都与 m 垂直，故不正确；对于 B，过直线 m 上的一点作平面 的垂线，与直线m 确定的一个平面与平面 垂直，故正确；对于 C，显然不正确；对于 D，显然不正确5解析：选 D.根据三视图还原出原几何体，易知该几何体的体积V2 a2 a .13 34 32 a346解析：选 C.法一：由于 BCA90，三棱柱为直三棱柱，且 BC CA CC1，可将三棱柱补成正方体建立如图(1)所示空间直角坐标系设正方体棱长为 2，则可得 A(0，0，0)， B(2，2，0)， M(1，1，2)， N(0，1，2)，所以 (1，1，2)(2，2，0)BM (1，1，2)， (0，1，2)AN
8、所以 cos ， BM AN BM AN |BM |AN | . 1 4（ 1） 2 （ 1） 2 2202 12 22 365 3010法二：如图(2)，取 BC 的中点 D，连接 MN， ND， AD，由于 MN 綊 B1C1綊 BD，因此有12ND 綊 BM，则 ND 与 NA 所成角即为异面直线 BM 与 AN 所成角设 BC2，则BM ND ， AN ， AD ，6 5 5因此 cos AND .ND2 NA2 AD22NDNA 30107解析：选 D.易证 BC平面 PAC，所以 BC PC； OM PA，易证 OM平面 APC；因为BC平面 PAC，所以点 B 到平面 PAC 的
9、距离等于线段 BC 的长；故都正确，选 D.8解析：选 C.对于，因为 b ， n b，所以 n ，又 m ， ，所以m n，错；对于，因为 n b， b ，所以 n ，因为 m ， ，所以n ， n m，对；对于，因为 m ， b ， ，所以 m b，因为 n b，所以4m、 n 位置关系不定，错9解析：选 D.依题意，底面矩形 ABCD 的对角线长为 2 ，因此矩形（ 3） 2 32 3ABCD 的中心到该四棱锥的各个顶点的距离均为 ，题中的球的半径是 ，其体积为 (3 343)34 ，故选 D.3 310解析：选 B.VA-D PC VC-AD P，点 C 到平面 AD1P 的距离不变，
10、且 AD1P 的面积不变，1 1所以三棱锥 A-D1PC 的体积不变，故正确；易知当且仅当点 P 位于 BC1中点时， DP BC1，故错误；根据正方体的性质，有 DB1平面 ACD1，因为 DB1平面 PDB1，所以平面 PDB1平面 ACD1，故正确11解析：依题意可得三棱柱的底面是边长为 4 的正三角形又由体积为 12 ，可得3三棱柱的高为 3.所以侧视图的面积为 6 .3答案：6 312解析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得截面 ABC 及其内切圆 O1和外接圆 O2，且两圆同圆心，即 ABC 的内心与外心重合，易得 ABC 为正三角形，由题意知 O1的半径为 r1，所以 ABC 的边长为
11、2 ，圆锥的底面半径为 ，高为 3，所以3 3V 333.13答案：313解析： AM 与 C1C 异面，故错； AM 与 BN 异面，故错；，正确答案：14解析：把球 O 的内接四棱锥还原为长方体，则球 O 的直径即为长方体的体对角线，设外接球的半径为 R，则(2 R)2(2 )2(2 )2(2 )2，可得 R212.在 OAB 中，设 AB3 3 6边上的高为 h，则 h2 R2( )29，则 h3，所以 S OAB 2 33 .312 3 3答案：3 315解析：由三视图易知几何体 ABCA1B1C1是上、下底面为等腰直角三角形的直三棱柱，则 VPA MN VA PMN VAPMN.1 1又 S PMN MNNP 1 ，12 12 12 14A 到平面 PMN 的距离 h ，12所以 VAPMN S PMNh .13 13 14 12 124答案：124
