1、第十三章 轴对称轴对称1、什么叫 轴对称图形 ？2、什么是两个图形 关于某条直线（成轴）对称 ？3、轴对称图形与两个图形关于某条直线对称有什么 区别 和 联系 呢？4、什么是线段的 垂直平分线 ？学习内容：观察它们有什么共同特征？1、这些图形都是对称的；2、这些图形从中间分开后，左右两边能够完全重合；要要仔仔细细观观察察哦哦！看一看观察：你发现下列窗花有什么特点？像窗花一样，如果 一个平面图形 沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做 轴对称图形 ， 这条直线就是它的 对称轴. 这时，我们也说这个图形关于这条直线对称 .下面每对图形有什么共同特点？1.把 _沿着某一条直线折
2、叠，如果它能够与 _图形 _，那么就说这 两个图形 .2.同样，我们把这条直线叫做 _.3.折叠后重合的点是对应点，叫做 _.一个图形 另一个重合 关于这条直线（成轴）对称对称轴对称点ABC鞋，袜子，手套，窗户 全等全等对称1.成轴对称的两个图形全等吗？ ( )2.如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？ ( )这两个图形对称吗？ ( )【 思考 】你能说出 轴对称图形 与两个图形 成轴对称 的 区别 与 联系 吗？ ？你能说明其中的道理吗？ 如图， ABC 和 A B C 关于直线 MN 对称，点 A， B ， C 分别是点 A， B， C 的对称点，线 段 AA ，
3、 BB ， CC 与直线 MN 有什么关系？ABCMNPABC上面的问题说明 “ 如果 ABC 和 A B C 关于直线MN 对称，那么，直线 MN 垂直线段 AA ， BB 和 CC ，并且直线 MN 还平分线段AA ， BB 和 CC” 如果将其中的 “ 三角形 ” 改为“ 四边形 ”“ 五边形 ” 其他条件不变，上述结论还成立吗？ ABCMNPABC经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 如图， ABC 和 A B C 关于直线 MN 对称，点 A， B ， C 分别是点 A， B， C 的对称点，线段 AA ， BB ， CC 与直线 MN 有什么关系？ABCM
4、NPABC你能用数学语言概括前面的结论吗？ 成轴对称的两个图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线即对称点所连线段被对称轴垂直平分；对称轴垂直平分对称点所连线段 ABCMNPABC结论：直线 l 垂直线段 AA ， BB ，直线 l平分线段 AA ， BB （或直线 l 是线段 AA ， BB 的垂直平分线） 下图是一个轴对称图形，你能发现什么结 论？能说明理由吗？ ABlAB下图是一个轴对称图形，你能发现什么结论？能说明理由吗？ ABlAB轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 下图是一个轴对称图形，你能发现
5、什么结 论？能说明理由吗？ ABlAB轴对称图形 两个图形成轴对称区别 _个图形 _个图形联系沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够都有如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个 _ 如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线；一 两互相重合对称轴轴对称图形对称1. 轴对称图形3.轴对称图形 和两个图形关于某直线 （成轴）对称的 区别和联系4. 线段垂直平分线的概念2.两个图形关于某直线对称13.2 画 轴对 称 图 形第一 课时知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测1. 轴对 称：一个 图 形沿着某条直 线对 折能和另外一个 图 形重合2. 轴对
6、 称的两个 图 形的每一 对对应 点之 间 的线 段被 对 称 轴 垂直平分3. 线 段的垂直平分 线 的性 质 ：垂直平分 线 上的点到 线 段两个端点的距离相等 .知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 1探究一 : 感知轴对称变换动手操作，整合旧知在一 张 半透明的 纸 的左 边 画上一个三角形，把 这张纸对 折后描图 ，打开 这张纸 ，就能得到相 应 的另外一个三角形 .如 图 所示：问题 ： ABC与 DEF关于直 线 l对 称，直 线 l叫做 对 称 轴 ，并且 线段 AD、 BE、 CF被直 线 l垂直平分 .（ 1） 这 两个三角形有什么关系 ？（ 2） 这
7、 条折痕和 这 两个三角形有什么关系 ？（ 3） 图 中的点 A和点 D之 间 的 连线 和折痕有什么关系 ？知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 2探究一 : 感知轴对称变换探究并 归纳轴对 称的性 质问题 1： 轴对称图形的大小、形状与原图形有怎样的关系？问题 2： 画出的轴对称图形的点与原图形上的点有什么关系？问题 3： 对应点所连线段与对称轴有什么关系？这个图形与原图形的形状、大小完全相同 .新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线 l 的对称点 .连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 1探究 二
8、: 画轴对称图形的方法大胆猜想，探究新知 识重点知 识 已知一个点和一条直线，如何画出这个点关于这条直线的对称点？过 点 M作直线 l的垂 线 ，垂足 为O, 在垂 线 上截取 ON=OM， N就是点 M关于直 线 l的 对 称点 . 作垂 线 、 顺 延 长 、取相等.知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 2探究 二 : 画轴对称图形的方法集思广益，探究新知重点知 识 已知 ABC和直线 l，画出与 ABC关于直线 l对称的图形 .O（ 2）同理，分 别 画出点 B， C关于直 线 l的 对 称点 D， F；（ 3） 连 接 DE， EF， FD， 则 DEF即 为 所
9、求 .画法 ：（ 1）过点 A画直线 l的垂线，垂足为 O，在垂线上截取 OE=OA，点 E就是点A关于直线 l的对称点；l知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 3探究 二 : 画轴对称图形的方法反思 过 程， 总结 方法重点知 识 思考：几何图形的对称图形 怎么作 ？几何图形都可以看 作 由点组成，对于某些图形，只要 ：（ 1） 画出图形中的一些特殊点的对称点 ；（ 2） 连接这些对称点 ；就可以得到原图形的轴对称图形 .知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 4探究 二 : 画轴对称图形的方法发 散思 维 ，重新 认识重点知 识 已知一个几何图形在
10、对称轴两侧，如何作出它的轴对称图形呢？找关键点，作出对称点，连接这些对称点 .练习 ： 作出 ABC关于直 线 AD的 轴对 称 图 形 .知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测重点 、 难 点 知 识 探究 三 : 运用 轴对 称 图 形的相关性 质 解决 实际问题活 动 1 作 轴对 称 图 形（部分点在 对 称 轴 上）例 1.把以下 图 形 补 成关于直 线 l对 称的 图 形 .【思路点拨】 找准必要的关键点，已知一点在对称轴上，只需分别画出另外两点的对称点即可，对称点的做法：作垂直，顺延长，取相等 .【解题过程】 过点 E作直线 l的垂 线 ，垂足 为 O，并截取 O
11、H=OE，点 H即为 点 E的 对 称点 ；同理作出点 F的 对 称点 I, 连 接 HG、 GI、 HI， HGI即 为 所求 .O HI知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测重点 、 难 点 知 识 探究 三 : 运用 轴对 称 图 形的相关性 质 解决 实际问题活 动 1 作 轴对 称 图 形（部分点在 对 称 轴 上）练习 ： 已知 BC AC，把以下 图 像 补 成关于直 线 l对 称的 图形 .【思路点拨】 作点的对称点的方法：作垂直，顺延长，取相等 .【解 题过 程】 根据 题 意 ,只需延 长 BC,并在延 长线 上截取 CD=CB, 连 接 DC， AD、 AC
12、D即 为 所求 .D【解 题过 程】 在 ABC中 ， 取点 A、 C，分 别 作出点 A、 B、 C的 对 称点 D、 E、 F，连 接点 EF， ED，由于角的两 边 是射 线 ，所以只需将 EF、 ED延 长 即可，所得的 DEF即 为 所求 .知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测重点 、 难 点 知 识 探究 三 : 运用 轴对 称 图 形的相关性 质 解决 实际问题活 动 2 作 轴对 称 图 形（ 图 形与 对 称 轴 无交点）例 2.画出 ABC关于直 线 l的 对 称 图 形 .【思路点 拨 】 要确定一个角的位置，只需确定它的 顶 点与两条边 ，所以在两条 边
13、 上分 别 取一点，然后把它 们 以及 顶 点的 对 称点作出来，再 连 接 这 些 对 称点，最后把角的两 边 延 长 即可 .DE F知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测重点 、 难 点 知 识 探究 三 : 运用 轴对 称 图 形的相关性 质 解决 实际问题活 动 2 作 轴对 称 图 形（ 图 形与 对 称 轴 无交点）练习 ： 如 图 ，作出菱形 ABCD关于直 线 l的 对 称 图 形 .【解 题过 程】 分 别 作出点 A、 B、 C、 D关于直 线 l的 对 称点 E、 F、 G、 I， 连 接 EF， FG， GI， IE，菱形 EFGI即 为 所求 .【思路
14、点 拨 】 作出菱形四个 顶 点的 对 称点，并 顺 次 连 接起来知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测重点 、 难 点 知 识 探究 三 : 运用 轴对 称 图 形的相关性 质 解决 实际问题活 动 3 利 用 轴对 称解决 “最短 ”问题【解 题过 程】 作点 A关于直 线 l的 对 称点 C， 连 接 BC与直 线 l交于点 P， 则 点 P即 为 所求例 3.如 图 ， 请 在直 线 l上找一点 P，使得点 P分 别 到点 A、到点 B的距离之和最短 .【思路点 拨 】 假定已找到的点 P，使 PA+PB为 最短， 由 两点之 间线 段最短，可想 办 法将 PA与 PB
15、转 化到一条直 线 上，故作点 A的 对称点 C， PA就 转 化 为 PC，只需 连 接 BC， BC与直 线 l的交点即 为 点P.知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测重点 、 难 点 知 识 探究 三 : 运用 轴对 称 图 形的相关性 质 解决 实际问题活 动 3 利 用 轴对 称解决 “最短 ”问题练习 ：如 图 所示，要在河 边 建立一个水站向 A， B两个村庄供水， 请问 水站建在河 边 的 哪个 地方更 经济实 惠 .【解 题过 程】 根据 题 意要 经济实 惠，那么需要 PA+PB最短， 转 化 为 最短路径 问题 .作点 A关于直 线 l的 对 称点 C，连
16、 接 BC与直 线 l交于点 P， 则 点 P即 为所求，两条 线 段之和 为 “最短 ”问题 一般采用 对 称法 .【思路点 拨 】 两条 线 段不在一条直 线 上，利用 轴对 称将其 转 化到一条直 线 上，再根据两点之 间线 段最短求得点 P.知 识 梳理知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测1. 已知 图 形和 对 称 轴 作 轴对 称 图 形：作已知 图 形中的每个关 键 点关于 对 称 轴 的 对 称点，再 连 接 对 称点得到 对 称 图 形 .2. 两条 线 段之和 为 “最短 ”问题 ，一般采用 对 称法 .重 难 点突破知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结
17、 随堂 检测（ 1）会作 轴对 称 图 形（ 2）利用 对 称法解决最短路径 问题 .13.2 画 轴对 称 图 形 第二 课时知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测画一个 图 形的 轴对 称 图 形的一般步 骤 ： 过 已知点作已知直 线 的垂 线 ，并确定垂足； 在直 线 的另一 侧 ，以垂足 为 一端点，在垂 线 上作一条线 段使之等于已知点和垂足之 间 的 线 段的 长 ，得到 线 段的另一端点，即 为对 称点； 连 接通 过 原 图 形已知点所作的 这 些 对 称点，就得到原图 形的 轴对 称 图 形这 个方法可以称 为 作 轴对 称 图 形的 “垂 线 法 ”知 识
18、回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 1探究一 ： 在直角坐标系中画点关于坐标轴的对称 点在直角坐 标 系中画出下列已知点 :A(2, 3)； B( 1,2)；C( 6, 5)； D(3,5)； E(4,0)； F(0, 3).坐 标 系中描点， 应 通 过对应 的横 纵 坐 标轴 上的数据作坐 标轴 的垂 线 ，两垂 线 的交点即 为该 点 .B( - 1,2)A(2, 3)C( - 6,- 5)D(3,5)E(4,0)F(0, 3)知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 2 画出以上点分 别 关于 x轴 和 y轴 的 对 称点 .一是利用 “垂 线 法 ”
19、；二是在有网格的坐 标 系中直接数格点 .怎么作出已知点关于 x轴 和 y轴 的 对 称点 呢？探究一 ： 在直角坐标系中画点关于坐标轴的对称 点知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 1（ 1） 根据探究一的作 图 ，填写表格 .关于坐标轴的对称点重点 、 难 点 知 识 已知点 A(2, -3) B(-1, 2) C(-6, -5) D(3, 5) E(4, 0) F(0, -3)关于 x轴 的 对 称点关于 y轴 的 对 称点问题 ： 关于坐 标轴对 称的点的坐 标 有什么 规 律 ？点关于什么轴对称，则对应坐标不变，另一个变为相反数(0, -3)(0, 3)(4,
20、0)(-4, 0)(-3, 5)(3, -5)(-6, 5)(6, -5)(1, 2)(-1, -2)(2, 3)(-2, -3)探究二知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 1探究二（ 2） 检验 你所 发现 的 规 律的正确性， 说说 检验 方法关于坐标轴的对称点重点 、 难 点 知 识 点（ x， y）关于 x轴对 称的点的坐 标为 （ x， y），即横坐 标 相等， 纵 坐 标 互 为 相反数；点（ x， y）关于 y轴对 称的点的坐 标为 （ x， y），即横坐 标 互 为 相反数， 纵 坐 标 相等知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 2探
21、究二一个点经历关于 x轴、 y轴 两次 轴对 称得到的 对 称点（ 1） 在坐 标 系中作出点 A(2, 3)关于 x轴 的 对 称点 A1，再 作出 A1关于 y轴 的 对 称点 A2A(2, 3)A1(2, 3)A2( - 2, 3)知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 2探究二一个点经历关于 x轴、 y轴 两次 轴对 称得到的 对 称点（ 2） 点 P(x， y)连续经过 x轴 、 y轴对 称后得到的点 P的坐 标 是怎 样 的？一个点 经历 关于 x轴 、 y轴两次 轴对 称得到的 对 称点的坐 标规 律是：横坐 标 互 为 相反数， 纵 坐标 也互 为 相反数称
22、 这 种 对 称 为 两个点 (图 形 )关于原点 对 称 知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 3探究二关于平行于坐标轴的直线的对称点的坐标（ 1） 在坐 标 系中作出点 A关于直 线 a、 b的 对 称点不是关于坐 标轴 的 对 称点， 可 用 “垂 线 法 ”或 “数格点 ”的 办 法描点 .知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 3探究二关于平行于坐标轴的直线的对称点的坐标（ 2） 坐 标 系中 的 点 P(x， y)关于平行于坐 标轴 的直 线 a的 对 称点的坐 标规 律 是怎 样 的？没有规律， 最好是作图探究，动手往往比动脑更有实效知
23、识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 1探究三 ： 举 例分析巩固基础例 1. 已知 A(2， a)， B( b， 4)，分 别 根据下列条件求 a、 b的 值 (1) A、 B关于 y轴对 称；(2) A、 B关于 x轴对 称；(3) A、 C关于 x轴对 称， B、 C关于 y轴对 称(3)第一步， 设 C(m， n)；第二步，由 A、 C关于 x轴对 称得 m2， a n 0；又由 B、 C关于 y轴对 称得 n 4， b m 0；进 而求出 a 4， b 2(1)第一步，根据点与点关于 y轴对 称的关系得到 2 ( b) 0， a 4；第二步，求出 a 4， b 2【
24、解 题过 程】(2)第一步，根据点与点关于 x轴对 称的关系得到 2=-b， a+4=0；第二步，求出 a=-4， b=-2.【思路点 拨 】 展开就近 联 想，两个点关于坐 标轴对 称，其坐 标对应 的是一同一反如 (1) A、 B关于 y轴对 称， 说 明 纵 坐 标 相同，横坐 标 相反第三 问实际 上是两个点 (图 形 )关于原点 对 称a 4， b 2a 4， b 2a 4， b 2知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测练习 1. 点 P(2， 3)关于 x轴对 称的点 为 P1， P1关于 y轴对 称的点为 P2 则 P2的坐 标为 ( )A. (2， 3) B. (
25、2， 3) C. ( 2， 3) D. ( 2， 3)活 动 1 巩固基础D【思路点 拨 】 展开就近 联 想，两个点关于坐 标轴对 称，其坐 标对应 的是一同一反步步 为营 ，一 环 扣一 环 ， 结 果自然而然就出来了当然，最好是画 图 ，来得更快此 题实际 上是两个点 (图 形 )关于原点 对 称【解 题过 程】 根据点与点关于 x轴对 称的关系得到 P1(2, 3)；根据点与点关于 y轴对 称的关系得到 P2( 2, 3)探究三 ： 举 例分析知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 2 能力提升例 2. 如下 图 ，四 边 形 ABCD的四个 顶 点的坐 标 分 别
26、为 A( 5,1)， B( 2,1)， C( 2,5)， D( 5,4)，分 别 画出与四 边 形 ABCD关于 y轴 、 x轴对 称的 图 形作四 边 形 ABCD关于 y轴对 称的 图 形， 求四个 对 称点坐 标 ； 描出四个 对 称点； 连 线 作四 边 形 ABCD关于 x轴对 称的 图 形，同上.【解 题过 程】探究三 ： 举 例分析ADBCADBC知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 2 能力提升例 2. 如下 图 ，四 边 形 ABCD的四个 顶 点的坐 标 分 别为 A( 5,1)， B( 2,1)， C( 2,5)， D( 5,4)，分 别 画出与四
27、边 形 ABCD关于 y轴 、 x轴对 称的 图 形【思路点 拨 】坐 标 系中的 对 称作 图 ，按 “求 对 称点坐 标 描点 连线 ”的方式比 较 好，如果采用 课时 1的作 图 方式 则 不 够 精确和 简洁 ADBCADBC探究三 ： 举 例分析知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 2 能力提升练习 2. 如 图 ，四 边 形 ABCD的四个 顶 点的坐 标 分 别为 A( 5,1)，B( 2， 1)， C( 2， 5)， D( 5， 4)(1)画出四 边 形 ABCD关于原点 对 称的 图 形；解： (1) 根据点与点关于原点 对 称的关系得到 对 称点坐 标
28、 ； 描点； 连线 【思路点 拨 】 (1)展开就近 联 想，两个点关于原点 对 称，其坐 标对应 的是双反ADBC探究三 ： 举 例分析知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 2 能力提升练习 2. 如 图 ，四 边 形 ABCD的四个 顶 点的坐 标 分 别为 A( 5,1)，B( 2， 1)， C( 2， 5)， D( 5， 4)(2)画出四 边 形 ABCD关于直 线 l对 称的 图 形【思路点 拨 】 (2)两个点关于与 y轴 平行的直 线对 称， 纵 坐 标 相等，横坐 标 与直 线 横坐 标 之差的 绝对值 相等 .ADBC探究三 ： 举 例分析知 识 回 顾
29、 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 3 自主探究例 3. 如 图 ，梯形 ABCD关于 y轴对 称，点 A的坐 标为 ( 3， 3)，点 B的坐 标为 ( 2， 0)， 试 写出点 C和点 D的坐 标 ，并求出梯形 ABCD的面 积 【解 题过 程】 求出 C、 D坐 标 求 AD、 BC的 长 度 求梯形面 积 解： 点 D与点 A( 3， 3)关于 y轴对 称， 点 D的坐 标为 (3， 3)同理点 C的坐 标为 (2， 0) AD=|3 ( 3)| 6， BC |2 ( 2)| 4， S梯形 (AD+BC)OE2 (6+4)32 15探究三 ： 举 例分析知 识 回 顾 问题
30、探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 3 自主探究【思路点 拨 】平行于 x轴 的两点之 间 的距离等于两点横坐 标 差的 绝对值 ；求 规则图 形的面 积应选 用平行于 x轴 (或 y轴 )的 边为 底 边 ，求面积较 方便例 3. 如 图 ，梯形 ABCD关于 y轴对 称，点 A的坐 标为 ( 3， 3)，点 B的坐 标为 ( 2， 0)， 试 写出点 C和点 D的坐 标 ，并求出梯形 ABCD的面 积 探究三 ： 举 例分析知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 3 自主探究练习 3. 在坐 标 系中描出点 A( 4,5)， B( 5,2)， C( 1, 2)，D(3
31、,2)， E(2,5)， 连 接 AB， BC， CD， DE， EA 请 你判断所得 图 形是 轴对 称 图 形 吗 ？如果不是， 请 你 说 明理由；如果是， 请说 出 对 称 轴 ； 求 这 个多 边 形的面 积 【思路点 拨 】 如果 图 形 规则 ，找准求面 积 的要素可求；如果 图形不 规则 ，可以参照坐 标轴 割 补图 形【解 题过 程】 作坐 标 系 描点 判定是否 轴对 称及其 对称 轴 确定面 积 求法 求面 积 探究三 ： 举 例分析知 识 梳理知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测 点（ x， y）关于 x轴对 称的点的坐 标为 （ x， y），即横坐标
32、相等， 纵 坐 标 互 为 相反数；点（ x， y）关于 y轴对 称的点的坐 标为 （ x， y），即横坐 标 互 为 相反数， 纵 坐 标 相等即两个点关于什么 轴对 称， 则对应 坐 标 不 变 ，另一个 变为 相反数 一个点 经历 关于 x轴 、 y轴 两次 轴对 称得到的 对 称点的坐 标规 律是：横坐 标 互 为 相反数， 纵 坐 标 也互 为 相反数我 们称 这 种 对 称 为 两个点 (图 形 )关于原点 对 称 两个点关于平行于坐 标轴 的直 线对 称，最好作 图 分析重 难 点突破知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测 用坐 标 表示点关于坐 标轴对 称的点的坐
33、 标 找 对 称点的坐 标 之 间 的关系，利用方程 (组 )解决 问题13.3.1 等腰三角形第一 课时知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测（ 1）什么是 轴对 称 图 形？ （ 2）三角形是 轴对 称 图 形 吗 ？（ 3）什么 样 的三角形是 轴对 称 图 形？知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 1探究一 ： 探索等腰三角形的性质 重点知 识 回 顾 旧知，回 忆 等腰三角形的概念及腰、底 边、 顶 角、底角画一个等腰三角形，同学 们 在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底 边 、 顶 角和底角知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测
34、活 动 2探究一 ： 探索等腰三角形的性质 重点知 识 整合旧知，探究等腰三角形的概念如 图 所示，把 一 张长 方形的 纸 按 图 中虚 线对 折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的 ABC 有什么特点？上述 过 程中，剪刀剪 过 的两条 边 是相等的，即在 ABC 中， AB=AC，所以 ABC 是等腰三角形 .知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 3探究一 ： 探索等腰三角形的性质 重点知 识 小 组 活 动 ：请 大家把剪出的等腰三角形 ABC沿折痕 对 折，找出其中重合的 线 段和角， 观 察、思考，你能 发现 哪些相等的 线 段和角？等腰三角形的性 质 ：图
35、形 性 质边 角 AB=AC B C知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 4探究一 ： 探索等腰三角形的性质 重点知 识 思考：（ 1）等腰三角形是 轴对 称 图 形 吗 ？ 请 找出它的 对 称 轴（ 2）等腰三角形的两底角有什么关系？（ 3） 顶 角的平分 线 所在的直 线 是等腰三角形的 对 称 轴吗？（ 4）底 边 上的中 线 所在的直 线 是等腰三角形的 对 称 轴吗？底 边 上的高所在的直 线 呢？知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 5探究一 ： 探索等腰三角形的性质 重点知 识 结论 ：等腰三角形的性 质 ：1等腰三角形的两个底角相等
36、（ 简 写成 “等 边对 等角 ”）2等腰三角形的 顶 角平分 线 、底 边 上的中 线 、底 边 上的高互相重合（通常称作 “三 线 合一 ”）知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 6探究一 ： 探索等腰三角形的性质 重点知 识 探索并 证 明等腰三角形的性 质1如 图 ， ABC中， AB AC, 求 证 ： B C.证 明： 作底 边 的中 线 AD AB =AC， BD =CD， AD =AD， ABD ACD（ SSS） B = CD知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 6探究一 ： 探索等腰三角形的性质 重点知 识 试 一 试 ，把上面的
37、已知条件 换 成 AB=AC， BAD CAD或 AB=AC， AD BC证 明 “三 线 合一 ”.探索并 证 明等腰三角形的性 质2如 图 ， ABC中， AB AC, BD=CD.求 证 ： AD BC且 BAD CAD.证 明： 由上 题证 明得 BAD CAD BAD CAD BDA CDA 90o AD BC 等腰 ABC底 边 上的中 线 AD平分 顶 角 BAC并垂直于底 边 BC.知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测探究一 ： 探索等腰三角形的性质 重点知 识 思考：等腰三角形的性 质 可以做什么？1.可以 证 明角相等、 边 相等 .2.可以 证 明垂直 .
38、知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测探究 二： 利用等腰三角形的性 质 解决 问题 重点、 难 点知 识 解： AB AC,BD BC AD, ABC= C BDC, A ABD（等 边对 等角），设 A x， 则 BDC A+ ABD 2x，从而 ABC C BDC 2x.例 1 如 图 ，在 ABC中， AB=AC，点 D在 AC上，且 BD=BC=AD，求： ABC各角的度数知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测探究 二： 利用等腰三角形的性 质 解决 问题 重点、 难 点知 识 知 识 梳理知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测（ 1）有两条
39、 边 相等的三角形叫做等腰三角形 .（ 2）等腰三角形的两个底角相等（即 “等 边对 等角 ”）；等腰三角形 顶 角平分 线 、底 边 上的中 线 、底 边 上的高互相重合（即等腰三角形的三 线 合一） .（ 3）等腰三角形是 轴对 称 图 形，它的 对 称 轴 是底 边 上中线 （ 顶 角平分 线 、底 边 上的高）所在的直 线 .重 难 点 归纳知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测证 明 边 角相等的方法 ：（ 1）全等三角形（ 2）等 边对 等角 .（ 3）等腰三角形的三 线 合一 .证 明垂直的方法：（ 1）垂直的定 义 .（ 2）等腰三角形的三 线 合一 .思路点 拨
40、知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测（ 1） 求有关等腰三角形的 问题 ，作 顶 角平分 线 、底 边上的中 线 、底 边 上的高是常用 辅 助 线 .（ 2） 在求等腰三角形的底角、 顶 角度数 时 常要注意分类讨论 .（ 3） 在求等腰三角形的底、腰 长 度 时 要注意符合三角形的关系定理 .（ 4） 等腰三角形 “三 线 合一 ”性 质 很灵活，要注意多 练习 多体会 .13.3.1 等腰三角形第二 课时知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测（ 1）如 图 ， AB=AC = ( )（ 2）如 图 ， AB=AC， AD BC BAD= (等腰三角形 顶 角
41、平分 线 与底 边 上的高重合 )BD= (等腰三角形底 边 上的中线 与底 边 上的高重合 ) B C 等 边对 等角 CADCD知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测 AB=AC， BD=CD BAD= (等腰三角形 顶 角平分 线 与底 边 上的中 线 重合 )AD (等腰三角形底 边 上的高与底 边 上的中 线 重合 ) AB=AC， AD平分 BAC BD= (等腰三角形底 边 上的中线 与 顶 角平分 线 重合 )AD (等腰三角形底 边 上的高与顶 角平分 线 重合 )CADBCCDBC知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 1探究一 ： 等腰三
42、角形判定定理的 证 明思 考我 们 知道，如果一个三角形有两条 边 相等，那么它 们 所 对 的角相等 .相等你能 证 明你的猜想 吗 ？反 过 来，如果有两角相等，那么它 们 所 对 的 边有什么关系？知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 1探究一 ： 等腰三角形判定定理的 证 明D证 明已知：在 ABC中， B= C.求 证 ： AB=AC.ADAAS全等三角形的 对应边 相等 知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 2探究一 ： 等腰三角形判定定理的 证 明反思提 炼等腰三角形的判定定理： 如果一个三角形有两个角相等，那么 这 两个角所 对 的
43、边 也相等（ 简 写成 “等角 对 等 边 ”）注意 ： （ 1） 要弄清判定定理的条件和 结论 ，不要与性 质定理混淆（ 2）不能 说 “一个三角形两底角相等，那么两腰 边长 相等 ”，因 为还 未判定它是一个等腰三角形（ 3）判定定理得到的 结论 是三角形是等腰三角形，性 质 定理是已知三角形是等腰三角形，得到边 和角关系 .知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 1探究 二： 文字命 题 的 证 明方法 重点、 难 点知 识 例 1 求 证 ：如果三角形一个外角的平分 线 平行于三角形的一 边 ，那么 这 个三角形是等腰三角形【思路点 拨 】这 个 题 是文字叙述的
44、证 明 题 ，我 们 首先根据 题意画出相 应 的几何 图 形，再按 图 形写出已知（条件 转 化 为 已知）、求 证 （ 结论转 化 为 求 证 ），最后再 证 明 . 要 证 AB AC，可先 证 B= C.知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 1探究 二： 文字命 题 的 证 明方法 重点、 难 点知 识 证 明： AD BC， 1 B（两直 线 平行，同位角相等 ） 2 C（两直 线 平行，内 错 角相等）， 而已知 1 2， B C . AB AC（等角 对 等 边 ） .例 1 求 证 ：如果三角形一个外角的平分 线 平行于三角形的一 边 ，那么 这 个三角形
45、是等腰三角形已知： CAE是 ABC的外角， 1= 2， AD BC（如 图）求 证 ： AB=AC知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 2探究 二： 文字命 题 的 证 明方法 重点、 难 点知 识 集思广益， 归纳 反思证 明文字命 题 的一般步 骤 ： 分清命 题 的条件和 结论 ； 根据 题 意画出正确 图 形； 结 合 图 形写出 “已知 ”、 “求 证 ”； 分析 题 意，探索 证题 思路； 依据思路写出 证 明 过 程 .知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测活 动 2探究 二： 文字命 题 的 证 明方法 重点、 难 点知 识 练习 求 证
46、：如果三角形一条 边 上的中 线 等于 这 条边 的一半，那么 这 个三角形是直角三 角形证 明： CD是 边 AB上的中 线 ， 点 D是 AB的中点 即 AD BD CD= AB， AD CD， BD CD 1 A， 2 B已知： CD是 ABC边 AB上的中 线 ，且 CD= AB.求 证 ： ABC是直角三角形 .知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测探究 三： 等腰三角形的尺 规 作 图例 2 已知等腰三角形底 边长为 a，底 边 上的高 为 h，求作 这 个等腰三角形 . 作法 ：1. 作 线 段 AB=a；2. 作 线 段 AB的垂直平分 线 MN，与 AB相交于点
47、 D；3. 在 MN上取一点 C,使 DC=h；4. 连 接 AC、 BC; DCA BMN则 ABC就是所求作的等腰三角形知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测探究 三： 等腰三角形的尺 规 作 图练习 ： 如 图 ，已知 线 段 c，求作等腰直角三角形，使其斜边 等于 线 段 c（保留作 图 痕迹，不必写作法）作法：1.作 射 线 AM；2.在 AM上截取 AB=c；3.作 AB的垂直平分 线 交 AB于 N； 4.以 N为圆 心， AN为 半径作半 圆 交AB的垂直平分 线 于 C；5.连 接 AC、 BC,得到的三角形 ABC就是等腰直角三角形即 ABC为 所求 .知 识
48、 梳理知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测（ 1）等腰三角形的判定方法有两种：一是使用定 义 （有两 边 相等的三角形是等腰三角形）；二是使用判定定理（等角 对 等 边 ）（ 2）文字命 题 的 证 明步 骤 .（ 3）等腰三角形中的尺 规 作 图 .重 难 点 归纳知 识 回 顾 问题 探究 课 堂小 结 随堂 检测（ 1） 记 清等腰三角形的性 质 和判定的 联 系和区 别 ；（ 2）运用 “等 边对 等角 ”或 “等角 对 等 边 ”时 ，要注意是在同一个三角形中使用 .（ 3） 证 明两条 线 段相等，常用的方法是 证 明两条 线段所在的三角形全等；若两条 线 段在同一个三角形中，常用 “等角 对 等 边 ”来 证 明
