1、111.1 1. 第 1课时 平方根一、选择题12017酒泉改编 4的平方根是( )A16 B2 C2 D162下列各数中，没有平方根的数是( )链 接 听 课 例 2归 纳 总 结A1 B. 0 C(3) 2 D| |143平方根是 的数是( )16A. B. C. D13 112 136 1364下列说法中正确的是( )A9 的平方根是 3 B3 是 9的平方根C a没有平方根 D a2的平方根是 a5如果 3x6 与 2y6 都只有一个平方根，那么 x， y必须满足的条件是( )A x y B x y0C x y1 D x2， y3二、填空题61.96 的平方根是_7如果 x29，那么
2、x_8若 3 m有平方根，则 m的取值范围是_92017河南洛阳孟津期中若 2x2 的平方根为2，则 x_10若 a是(4) 2的平方根， b的一个平方根是2，则式子 a b的值为_211已知( a2) 2| b8|0，则 的平方根是_ab三、解答题12求下列各数的平方根：(1)81； (2)1.44； (3)0.0064；(4) ； (5)1 ； (6)(16) 2.100169 242513求下列各式中的 x的值：(1)x249; (2)( x1) 281.314已知一个正数的两个平方根分别是 3a2 和 a14，求这个数.分类讨论若 a是 16的一个平方根， b是 81的一个平方根，且
3、ab0，求 a b的值4详解详析【课时作业】课堂达标1解析 C 根据平方根的定义，求数 a的平方根，也就是求一个数 x，使得x2a.(2) 24，4 的平方根是2.故选 C.2 A3解析 C 因为( )2 ，所以平方根是 的数是 .故选 C.16 136 16 1364. 解析 B 因为(3) 2 9，所以 9的平方根是3，故选项 A错误；因为 329，所以 3是 9的平方根，故选项 B正确；因为当 a0 时，a0，此时a 有平方根，故选项 C错误；因为当 a0 时，a 2的平方根是a，故选项 D错误故选 B.5 D 6.1.4 7.3 8.m393 解析 由平方根的概念，得 2x24，解得
4、x3.108 或 0 解析 a4，b(2) 24，ab448 或 ab440.1112解析 (a2) 2|b8|0，而(a2) 20，|b8|0，a2，b8， . 的平方根是 ，ab 28 14 14 12 的平方根是 .ab 1212(1)9 (2)1.2 (3)0.08 (4) (5) (6)161013 7513解：(1)x7.(2)将 x1 看成一个整体，则 x1 是 81的平方根，所以 x19，所以 x8 或x10.514解：一个正数的两个平方根分别是 3a2 和 a14，(3a2)(a14)0，解得 a4，a1441410.10 2100，这个数是 100.素养提升解析 首先根据平
5、方根的定义求出 a，b 的值，再由 ab0，可知 a，b 异号，由此即可求出 ab 的值解：根据已知得 a216，b 281，a4，b9，而 ab0，a，b 异号，a4，b9 或 a4，b9.当 a4，b9 时，ab5；当 a4，b9 时，ab5.综上可得，ab 的值是5 或 5.111.1 平方根与立方根1平方根第 1 课时 平方根知|识|目|标1结合实例和平方的意义，通过思考、讨论，掌握平方根的概念，会求一些非负数的平方根2在理解平方根概念的基础上，通过找一些数的平方根，观察原数及其平方根的特点，猜想归纳出平方根的性质并会用其解决问题目标一 会求一些非负数的平方根例 1 教材例 1 针对训
6、练 求下列各数的平方根：(1)49；(2)0.36；(3) ；(4)1 ；(5)4 3.2564 79【归纳总结】求平方根的方法及“三注意”：求一个非负数 a 的平方根，就是把平方后等于 a 的数找出来，从而求出 a 的所有平方根2注意：求带分数的平方根时，应先将带分数化为假分数；含有乘方运算的数应先求出它的结果，再求其平方根；正数的平方根有两个，不要漏写负的平方根目标二 会利用平方根的性质解决问题例 2 教材补充例题 下列各数中，没有平方根的是( )A8 2 B|0|C(1.5) 2 D( )116【归纳总结】判断一个数有无平方根的“两步法”：一化：如果所给的数含有乘方、绝对值、多重括号，那
7、么要先将所给的数化简；二判断：正数和零都有平方根，负数没有平方根例 3 教材补充例题 若一个正数的两个平方根分别是 2a1 和a2，则a_，这个正数是_【归纳总结】正数的平方根有两个且它们互为相反数，运用互为相反数的两个数的和为 0 的性质即可解答, 知识点一 平方根的概念定义：如果一个数的_等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根，即如果 x2a，那么 x 叫做 a 的平方根注意 定义中的 a 一定是正数或 0，也就是非负数知识点二 平方根的性质1一个正数有_个平方根，它们互为_；20 的平方根是_；3负数_平方根3下列说法正确吗？若不正确，请说明理由(1)平方根一定小于被开方数；(2)对于任
8、意数 a，a 2都有两个平方根4详解详析【目标突破】例 1 解：(1)7.(2)0.6.(3) .58(4) .(5)8.43例 2 A例 3 1 9【总结反思】小结 知识点一 平方知识点二 1.两 相反数 2.0 3.没有反思 (1)(2)均不正确理由如下：(1)对于任意非负数 a，当 a1 时，a 的正的平方根小于 a；当 a1 时，a 的正的平方根等于 a；当 0a1 时，a 的正的平方根大于 a.(2)如果 a0，a 20，它的平方根只有一个，为 0.1111 1.第 1 课时 平方根(建议用时：10 分钟) 1下列各数没有平方根的是( )A0 B|2| C4 D52下列说法正确的是(
9、 )A1 的平方根是1B任何一个非负数都有平方根C如果一个数有平方根，那么这个数的平方根一定有两个D4 的平方根是 23因为 72_，(7) 2_，所以_的平方根是7.4若某个数只有一个平方根，则这个数只能是_5已知一个正数的两个平方根分别是 x 和 x6，则这个数是_6求下列各数的平方根(1)100； (2) ； (3)2.89.4252详解详析1C 2.B 3.49 49 49 4.059 6.(1)10 (2) (3)1.7251第 2 课时 算术平方根知|识|目|标1经过学习，理解算术平方根的概念，能求出一个非负数的算术平方根2在理解算术平方根与平方根概念的基础上，会进行开平方运算3通
10、过自学阅读，理解开平方的意义，会用科学计算器求一个非负数的算术平方根目标一 会求一个非负数的算术平方根例 1 教材补充例题 求下列各数的平方根和算术平方根：(1)16； (2) ； (3)2 ； (4)0.09. 2536 14【归纳总结】平方根与算术平方根的区别与联系：平方根 算术平方根表示 a(a0)的平方根是 a a(a0)的算术平方根是 a区别 正数的平方根有两个，它们互为相反 数 正数的算术平方根是一个正数联系 (1)被开方数都是非负数，负数没有平方根和算术平方根；(2)正数 a 的正的平方根就是 a 的算术平方根，正数 a 的算术平方根是 a 的一个2平方根；(3)0 的平方根与算
11、术平方根都是 0目标二 会进行开平方运算 例 2 教材补充例题 求下列各式的值：(1) ； (2) ； (3) ；62514 0.01(4) ； (5) .（ 2） 2 32 42【归纳总结】1开平方是一种运算，它与平方互为逆运算，是求一个非负数的平方根的过程2平方与开平方的关系可以这样来理解：平方运算是已知底数 a，求它的平方的值，即求 a2等于多少；已知一个数平方的结果 m(m0)，求底数即为开平方，即求 为多少m目标三 会用科学计算器求一个非负数的算术平方根3例 3 教材例 3 针对训练在计算器上依次键入 显示结果为_，若要 4225求结果精确到 0.01，则 _4.225【归纳总结】用
12、计算器求一个数的平方根的“两注意”：(1)注意计算时的按键顺序；(2)不同型号的计算器按键顺序可能有所不同, 知识点一 算术平方根的概念定义：正数 a 的_平方根，叫做 a 的算术平方根，记作 ，读作“根号 a”，aa称为_特别地，0 的算术平方根是 0，通常记作 0.0解读 当 a0 时， 表示 a 的_，它是一个非负数， 表示 a 的算a a术平方根的相反数， 表示 a 的_a知识点二 开平方定义：求一个非负数的_的运算，叫做开平方知识点三 计算器的使用使用计算器可以求出任何非负数的算术平方根，然后根据平方根与算术平方根的关系，可以写出其平方根使用计算器(课本上的型号)求一个非负数的算术平
13、方根的一般步骤：先按开机键，然后按“ ”键，再输入被开方数，最后按“ ”键读数(即直接按书写顺序按键) 求 的算术平方根16解：因为4 的平方等于 16，故 的算术平方根是 4.16请指出以上解答过程错在哪里，并写出正确的解答过程4详解详析【目标突破】例 1 解：(1)因为(4) 216，所以 16 的平方根是 4，算术平方根是16 4.16(2)因为 ，所以 的平方根是 ，算术平方根是 .(56)2 2536 2536 2536 56 2536 56(3)将 2 转化为 ，因为 ，所以 2 的平方根是 ，算术平方根是14 94 (32)2 94 14 94 32 .94 32(4)因为(0.
14、3) 20.09，所以 0.09 的平方根是 0.3，算术平方根是0.09 0.3.0.09例 2 解析 第(1)(2)(3)小题主要在于理解“是求平方根还是算术平方根” ，第(4)(5)小题除了分清各式所表示的意义外，还要注意运算顺序解：(1)25 2625， 25.625(2) ， .(12)2 14 14 12(3)(0.1) 20.01， 0.1.0.01(4)(2) 22 24， 2.（ 2） 2(5)3 24 2255 2， 5.32 42例 3 2.055480479 2.06 【总结反思】小结 知识点一 正的 被开方数 算术平方根 平方根知识点二 平方根5反思 此题误将求 的算
15、术平方根看成求 16 的算术平方根因为 4，故此题实16 16际是求 4 的算术平方根，因为 4 的算术平方根是 2，故 的算术平方根为 2.161111 1.第 2课时 算术平方根(建议用时：10 分钟) 125 的算术平方根是( )A5 B5 C5 D252下列说法正确的是( )A2 的平方根是1B(1) 2的平方根是1C平方根等于本身的数是 0和 1D. 的算术平方根是925 353因为(5) 225，所以 25的平方根是_，25 的算术平方根是_4若一个数的算术平方根是 3，则这个数是_5. 的平方根为_646求下列各式的值：(1) ； (2) ； (3) ；9 81125(4) ；
16、(5) ； (6) .0.25214 222详解详析1A 2.D 3.5 5 4.9 5. 86(1)3 (2)9 (3) (4)0.515(5) (6)232111.1 2.立方根 一、选择题12016长春朝阳期中8 的立方根是( )A2 B2 C2 D 322一个数的立方根是它本身，则这个数是( )A0 B1，0C1，1 D1，1 或 03下列说法中正确的是( )A一个数的立方根有两个，它们互为相反数B负数没有立方根C如果一个数有立方根，那么它一定有平方根D若 a是 b的立方根，则 ab04. 的立方根为( )64A4 B4 C4 D25已知甲、乙两个正方体，甲的体积是乙的 8倍，则甲的棱
17、长是乙的( )A8 倍 B2 倍 C512 倍 D.126若 ，则 a的值为( )3a378A. B C D78 78 78 3435127如图 K31，数轴上点 A表示的数可能是( )图 K312A4 的算术平方根 B4 的立方根C8 的算术平方根 D9 的立方根二、填空题8(1)2017安徽 27的立方根是_；(2) 的平方根是_3649若 3x16 的立方根是 4，则 2x4 的平方根为_三、解答题10求下列各数的立方根：(1)512； (2)0.027； (3) .2712511用计算器求下列各式的值：(1) (精确到 0.01)；31230(2) (精确到 0.001)；3 217(
18、3) (精确到 0.01)341323链 接 听 课 例 3归 纳 总 结12求下列各式中 x的值：(1)x30.0010； (2)2( x1) 3128.13将半径为 12 cm的铁球熔化，重新铸造出 8个半径相同的小铁球，不计损耗，小铁球的半径是多少厘米？(球的体积公式为 V R3，其中 R为球的半径)43规律探究题(1)完成下面的表格.x 0.000008 0.008 8 8000 80000003x由此你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律(2)根据你发现的规律填空：用计算器算得 1.442，则 _， _33 3 0.003 3300041. 解析 B (2) 38，根据立方根的定义，
19、得8 的立方根是 2，3 8故选 B.2 D3解析 D 因为任意数均有立方根，并且只有一个，而负数没有平方根，所以选项A， B， C都是错误的4 D 5. B 6. B7解析 C 点 A表示的数在 2与 3之间且更接近 3，故点 A表示的数可能是 8的算术平方根8答案 (1)3 (2)2解析 由于 3327，所以 27的立方根是 3.9答案 6解析 4 364，64 的立方根是 4.3x16 的立方根是 4，3x1664，x16.当 x16 时，2x436.36 的平方根是6，2x4 的平方根是6.10(1)8 (2)0.3 (3)3511解：(1) 10.71.31230(2) 6.009.
20、3 217(3) 16.05.3413212解：(1)由已知，得 x30.001，x 0.1.3 0.0015(2)两边同除以 2，得(x1) 364.4 364，x14，x5.13解析 根据铁球熔化前后的体积相等列式求解解：设小铁球的半径是 r cm，则 r38 123，43 43解得 r6.答：小铁球的半径是 6 cm.素养提升解：(1)表内从左到右依次填：0.02，0.2，2，20，200；规律：被开方数的小数点每向右或向左移动三位，其立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位(2)0.1442 14.4212.立方根知|识|目|标1通过解决由正方体的体积求棱长的问题，了解立方根及相关概念
21、；知道立方与开立方互为逆运算，会求一个数的立方根2经历利用概念求一个数的立方根的过程，会用立方运算求立方根，掌握立方根的性质，会用该性质进行计算求值3通过实际训练，会用计算器求任意一个数的立方根4通过对实际问题的分析，会用立方根解决生活中的问题目标一 会求一个数的立方根例 1 教材例 4 针对训练 求下列各数的立方根：(1) ； (2)0.216；127(3)125; (4)819.2【归纳总结】求立方根的“三注意”：(1)平方根的根指数 2 可以省略，但立方根的根指数 3 不能省略；(2)任何数都有立方根，并且只有一个立方根；(3)求一个带分数的立方根时，必须先把带分数化成假分数目标二 会用
22、立方根的性质进行计算求值例 2 教材补充例题求下列各式的值：(1) ； (2) .321027 3 0.064【归纳总结】有关立方根的重要性质： ；( )3 a； a.3 a 3a 3a 3a3目标三 会利用计算器求一个数的立方根例 3 教材补充例题利用计算器求下列各式的值：(1) (精确到 0.0001)；3 0.547(2) (精确到 0.01)332840【归纳总结】用计算器求立方根的“两注意”：(1)用计算器求负数的立方根时不要忘记负号；(2)不同的计算器按键顺序有可能不同目标四 会用立方根解决实际生活中的问题例 4 教材补充例题一个正方体盒子的棱长为 6 cm，现在要做一个体积比原来
23、正方体的体积大 127 cm3的新正方体盒子，求新盒子的棱长3【归纳总结】立方根与正方体：因为正方体的体积 V 和棱长 a 的关系为 V a3，因此棱长 a 是体积 V 的立方根考查立方根的应用时多以正方体或长方体为问题背景, 知识点一 立方根的概念及其性质定义：如果一个数的_等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根，即如果 x3a，那么 x 叫做 a 的立方根数 a 的立方根，记作 ，读作“三次根号 a”其中，a 是3a_，3 是_性质：一个正数有_立方根，0 的立方根是 0，一个负数有_立方根点拨 (1)定义中的 a 可以是正数、0 或负数(2)根据立方根的定义，可以利用立方运算检验或求一个
24、数的立方根知识点二 开立方定义：求一个数的_的运算，叫做开立方知识点三 计算器的使用使用计算器可以求出任何数的立方根，只需直接按书写顺序按键( 是键 的第二3 功能，启用第二功能，需先按 键)即可若被开方数为负数， “”号的输入可以按SHIFT，也可以按 .（ ） 求 的立方根3 27解： 的立方根是3.3 27以上解答正确吗？若不正确，请指出错误，并给出正确答案45详解详析【目标突破】例 1 解：(1) ，(13)3 127 的立方根是 ，即 .127 13 3127 13(2)(0.6) 30.216，0.216 的立方根是0.6，即 0.6.3 0.216(3)(5) 3125，125
25、的立方根是5，即 5.3125(4)8199 3，819 的立方根是 9，即 9.3819例 2 解析 (1)要求一个数的立方根，利用立方根的概念即可求出(2)对于求被开方数是负数的立方根问题，可运用关系式 ，将求负数的立方根转化为求正数的3a 3 a立方根，再取其相反数解：(1) .321027 36427 43(2) 0.4.3 0.064 30.064例 3 解：(1) 0.8178.3 0.547(2) 32.02.332840例 4 解析 利用正方体的体积公式 Va 3建立等量关系解：设新盒子的棱长是 x cm.根据题意，得x36 3127，整理，得 x3343，6x 7.3343即
26、新盒子的棱长是 7 cm.【总结反思】小结 知识点一 立方 被开方数 根指数 一个正的 一个负的知识点二 立方根 反思 不正确误认为求 的立方根是求27 的立方根正解：3 27 3，3 的立方根是 .3 27 331111 2.立方根(建议用时：10 分钟) 1(1)因为(_) 38，所以 8 的立方根是_，用数学式子表示为_；(2)因为(_) 364，所以64 的立方根是_，用数学式子表示为_；(3)0 的立方根是_2下列说法正确的是( )A1 的平方根是1 B1 的倒数是1C1 的立方根是 1 D1 没有立方根3(1) _；(2) _30.34333384体积为 10 m3的正方体的棱长为
27、_ m.5若一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是_6求下列各式中的 x 的值：(1)x30.001; (2)x 3 ； (3)x 35 3.1000272详解详析1(1)2 2 2 (2)4 4 438 3 64(3)02C 3.(1)0.7 (2) 4. 5.032 3106(1)0.1 (2) (3)51031112 第 1课时 实数的相关概念(建议用时：10 分钟) 1下列实数中，是无理数的是( )A. B. C0 D33132. 是( )52A分数 B有理数 C无理数 D整数3计算下列各数的相反数、倒数、绝对值(1) 的相反数是_，倒数是_，绝对值是_；81(2) 的相反数是_，
28、倒数是_，绝对值是_3 274在 ， ， ，0， ， 3 ，3.1415，0.2020020002(每相邻两个 2之间依次8 43 82 17多一个 0)，1.4142 各数中，无理数有_个5把下列各数的序号填在相应的大括号里 ，0.1010010001(每相邻两个 1之间依次多一个 0)，370，6，1.08，0.33， ，10%.3正数集合： ；分数集合： ；非负整数集合： ；无理数集合： 2详解详析1A 2.C 3.(1)9 9 (2)3 319 1343 5. 1第 2 课时 实数与数轴 一、选择题12016江西下列四个数中，最大的一个数是( )A2 B. C0 D2322017河南南
29、阳唐河期末如图 K51，在数轴上表示实数 的点可能是( )15图 K51A点 P B点 QC点 M D点 N3下列说法中，正确的是( )A数轴上的点表示的都是有理数B无理数不能比较大小C无理数没有倒数及相反数D实数与数轴上的点是一一对应的4化简|3| 的结果是( )A3 B3C23 D32252017重庆估计 1 的值应在( )10A3 和 4 之间 B4 和 5 之间C5 和 6 之间 D6 和 7 之间6若 a3， b， c ，则 a， b， c 的大小关系为( )3A a11 12 737 713. 或6 614答案 a315答案 3.416 10217 32 218解：(1)原式631
30、2.(2)原式5(2 )(3)52 36 .2 2 219解：由于 4 5，所以 6 27.19 19又由于 7，所以 2 .51 19 5120解：3 4，m3，n 3，13 13mn3( 3)6 .13 1321解：a，b 互为相反数，ab0.c，d 互为倒数，cd1.|m|4，m4.当 m4 时，2a(cd) 20182b3m201 20183411213；当 m4 时，2a(cd) 20182b3m201 20183(4)11211.8综上所述，2a(cd) 20182b3m 的值为13 或 11.22解：因为 0a1，设 a ，164得 ， ，所以 .a18 3a 14 a3a23
31、解： (n 为正整数)的整数部分是 n.n2 n理由如下：n 为正整数，n 2n 2n.又n 2nn(n1)(n1) 2，n 2n 2n(n1) 2，即 n n1，n2 n 的整数部分为 n.n2 n1第 2 课时 实数与数轴知|识|目|标1通过拼图、观察、思考、讨论，发现无理数 能表示在数轴上，知道实数与数轴上2的点一一对应2通过自学阅读，理解实数的大小比较法则与有理数的大小比较法则相同，会比较实数的大小3类比有理数的运算法则，理解实数的运算法则，通过思考、练习，能准确进行实数的运算目标一 了解实数与数轴的关系例 1 教材补充例题 如图 1121，一只蚂蚁从点 A 沿数轴向右直爬 2 个单位
32、到达点 B，再直爬向点 C 停止，已知点 A 表示 ，点 C 表示 2，则 BC_2图 1121【归纳总结】实数与数轴上的点的对应性：(1)实数与数轴上的点一一对应， “一一对应”是指每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数2(2)若在数轴上点 A， B 表示的数分别是 a， b(其中 b a)，则点 A， B 之间的距离是b a.目标二 会比较实数的大小例 2 教材例 1 针对训练 试比较 1 与 的大小5 2【归纳总结】比较实数大小的常用方法：方法 适用范围数轴比较法 多个实数比较大小绝对值比较法 两个负数比较大小平方比较法 两个带根号的无理数比较大小
33、差值比较法相减后结果较简单的两个实数比较大小目标三 能进行实数的运算例 3 教材例 2 针对训练 计算：2 .(精确到 0.01)312 5 34.7【归纳总结】(1)实数的运算需注意正确的运算顺序(2)实数的运算中需先取近似值(近似值的精确度要比结果要求的精确度多一位)，再计3算, 知识点一 实数与数轴实数与数轴上的点_知识点二 实数的大小比较1有理数的大小比较法则在实数范围内同样适用2详见例 2归纳总结除此之外，还有商值比较法、倒数比较法等比较大小时，需灵活运用知识点三 实数的运算有理数的运算法则和运算律同样适用于实数，包括运算顺序点拨 实数有加、减、乘、除、乘方、开方等运算，混合运算的顺
34、序是先_，再乘除，最后加减同级运算按照_的顺序进行，有括号的要_反计算：(2) 21 .(12)3 3 8 9解：原式2 21 231841 23182 .18(1)找错：从第_步开始出现错误；(2)纠错：45详解详析【目标突破】例 1 答案 2解析 设点 B 表示的数是 m.由题意，得 m2 ，2m2 ，即点 B 所表示的数为 2 .2 2BC2(2 ) .2 2例 2 解： 11.2361， 1.4142，5 2123611.4142， 1 .5 2例 3 解：原式21.732 2.2361.6752.20.12【总结反思】小结 知识点一 一一对应知识点三 乘方、开方 从左到右 先算括号里
35、面的反思 (1)(2)原式41 239 .18 781112 第 2 课时 实数与数轴(建议用时：10 分钟) 1与数轴上的点一一对应的数是( )A分数 B有理数C无理数 D实数2下列各数中，比2 小的是( )A. B0 C. D 3 3 63如图 51，数轴上点 N 表示的数可能是( )图 51A. B. C. D.2 3 5 104比较大小： _ ， _ .2 5 5 35若 a b，且 a，b 是两个连续的整数，则 ab_66计算下列各式：(1) 2.34 ；(精确到 0.1) (2)| | 2|.52 2 22详解详析1D 2.D 3.C 4 5.8 6.(1)0.3 (2)21数的开
36、方本章总结提升 问题 1 平方根的概念及性质什么是平方根？平方根有哪些性质？如何求一个非负数的平方根？平方与开平方有什么关系？例 1 下列说法中正确的是( )A4 没有平方根，也没有立方根B1 的立方根是1C(2) 2有立方根没有平方根D3 是 9 的平方根例 2 若 2a3 和 a12 是 m 的平方根，求 m 的值2【归纳总结】图 11T1问题 2 算术平方根的概念及性质什么是算术平方根？算术平方根与平方根有哪些区别和联系？如何求一个非负数的算术平方根？例 3 的算术平方根是( )116A. B14 14C. D12 12【归纳总结】 正数 a 的正的平方根就是 a 的算术平方根，正数 a
37、 的算术平方根是 a 的一个平方根一个非负数的算术平方根只有一个问题 3 立方根的概念及其性质什么是立方根？立方根有哪些性质？如何求一个数的立方根？立方与开立方有什么关系？例 4 已知 a3 的立方根是 2，3 a b1 的平方根是6，则 a2 b 的算术平方根是多少？3问题 4 无理数的概念及实数的分类什么叫做无理数？无理数和有理数的区别是什么？实数由哪些数组成？例 5 在 ，0.101001000100001(每相邻两个 1 之间依次多一个 0)， ，( )3 25 38 52，5. 1 ， ， ，0.01010101这 8 个数中，无理数有( )2 7 2 144A3 个 B4 个 C5
38、 个 D6 个问题 5 实数与数轴实 数 与 数 轴 上 的 点 有 什 么 关 系 ？例 6 如图 11T2，数轴上点 A 表示的数是 ，点 B 与点 A 关于原点对称，设点 B 所2表示的数为 x，求| x | x 的值2 2图 11T2问题 6 实数的大小比较及运算数的概念是怎样从正整数逐步发展到实数的？随着数的不断扩充，数的运算有什么发展？加法和乘法的运算律始终保持不变吗？如何比较两个实数的大小呢？例 7 (1)化简( )| |的结果为多少？5 7 5 74(2)比较 与 0.5 的大小关系5 12【归纳总结】 实数的大小比较有以下三种常见方法：(1)作差法；(2)作商法；(3)取近似
39、值法, 平方根的运算典例分析有关平方根的运算是本章的重点内容，也是本章的难点，有些同学感到不容易理解为了帮助大家更好地掌握有关平方根的运算，本文从问题的类型、解题技巧和需要注意的方面举例说明，供大家学习时参考一、平方根定义的应用例 1 若正数 m 的两个平方根分别是 2a3 和 a12，求 m 的值解析 根据“一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数”来解解： 因为一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，所以(2 a3)( a12)0，解得 a3，故 2a32339， a123129，从而 m(9) 281.点评 利用平方根的定义解题要深刻理解一个正数的两个平方根互为相反数，列方5程求解二、
40、算术平方根性质的应用例 2 已知 a 满足|2018 a| a，求 a2018 2的值a 2019解析 一个非负数 a 的算术平方根为 (a0)，在这里 a0， 0，即被开方数与a a算术平方根均应为非负数由题意可知 有意义，所以 a20190，这样就可以求a 2019出 a 的取值范围解：因为 a20190，所以 a2019.因为|2018 a| a，a 2019所以 a2018 a，a 2019所以 2018，a 2019所以 a20192018 2，所以 a2018 22019.点评 要挖掘题中被开方数为非负数这一隐含条件，从而确定字母的取值范围或取值三、利用平方根解方程例 3 已知(
41、x y)2445，求 x y 的值解析 将 x y 看作一个整体，则( x y)249，那么 x y 为 49 的平方根，再由平方根的概念求解解：因为( x y)2445，所以( x y)249.又因为(7) 249，所以 x y7 或 x y7.点评 将 x y 看作一个整体，并理解 x y 为 49 的平方根四、平方根的估算例 4 已知 9 和 9 的小数部分分别为 x， y，求 3x2 y 的值7 7解析 因为 2 3，所以 的整数部分为 2，小数部分为 2，故 9 的整数7 7 7 7部分为 11，其小数部分为 x9 11 2，9 的整数部分为 6，其小数部分为7 7 76y9 63
42、，将 x， y 的值代入 3x2 y 中求值即可7 7解：依题意，得 x9 11 2， y9 63 ，所以7 7 7 73x2 y3( 2)2(3 )3 662 .7 7 7 7 7点评 先估算带根号的数的整数部分，根据它的整数部分，推出其小数部分，再根据它参与的算式确定算式结果的整数部分和小数部分7详解详析【整合提升】例 1 解析 D 40，它有平方根；9 的平方根是 3 和3，故3 是 9 的平方根例 2 解：由 2a3 和 a12 是 m 的平方根，可得 2a3 和 a12 相等或互为相反数(1)当 2a3a12 时， 解得 a9，所以 2a318321，所以 m(21)2441.(2)
43、当(2a3)(a12)0 时，解得 a5，所以 2a31037，所以 m7 249.综上可知，m 的值为 441 或 49.例 3 解析 C ， 的算术平方根是 ， 的算术平方根是 .故选 C.116 14 14 12 116 12例 4 解：a3 的立方根是 2，a38，解得 a5.3ab1 的平方根是6，3ab136，解得 b22，a2b522249.49 的算术平方根是7，a2b 的算术平方根是 7.例 5 A例 6 解析 本题是一道与数轴有关的数形结合问题，要求|x | x 的值，需要2 2先求 x 的值，由已知并结合数轴能够容易得到 x ，2解：因为点 A 表示的数是 ，且点 B 与点 A 关于原点对称，所以点 B 表示的数是2 ，即 x ，2 2所以|x | x| | ( )02 2.2 2 2 2 2 2例 7 解：(1)原式 ( ) 2 .5 7 7 5 5 7 7 5 7(2) 0.5.5 12
