1、2 微积分基本定理,微积分的创始人牛顿,微积分的创始人莱布尼茨,欧洲科学家牛顿、莱布尼茨等人冲出了古希腊人“严格证明”的圣殿，以直观推断的思维方式，创立了被恩格斯誉为“人类精神的最高胜利”的微积分学，微积分基本定理正是它的核心！微积分成了现代数学的基础理论和方法之一，使得数学在解决物理科学、工程学、生物科学等领域的强大威力得到了越来越充分的体现，所以说微积分是数学发展史上的一座丰碑，这节课我们对它的核心进行深入的学习.,1.通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义. 2.了解微积分基本定理的推导过程.（重点） 3.能够运用微积分基本定理求简单的定积分.（难
2、点）,探究点1 微积分定理的推导,一个作变速直线运动的物体的路程 则从时刻t=a到t=b，物体走过的路程为s(b)-s(a).,（1）分割： 等分成n个小区间 ; （2）求和：物体从t=a到t=b所走过的路程就是每一个小时间段内所走过路程的累积.,在时间段t0,t1内，物体走过的路程是s(t1)-s(t0); 在时间段t1,t2内，物体走过的路程是s(t2)-s(t1); 在时间段tn-1,tn内，物体走过的路程是s(tn)-s(tn-1); 这样就有：s(b)-s(a)=s(t1)-s(t0)+s(t2)-s(t1)+s(tn)-s(tn-1)=s(tn)-s(t0),（3）近似代替：在ti
3、-1,ti这一小时间段内，我们用这段时间内某一时刻的瞬时速度代替平均速度，例如用ti-1时刻的瞬时速度v（ti-1）表示，就有,当每个时间间隔都趋于0时， 就趋于s(b)-s(a).,用积分表示即为,又因为速度是路程的导数，即 ，从而可得,归纳小结：上式表明，速度函数 在区间a，b 上的定积分等于位移函数 在区间a，b的右端 点处的函数值s(b)与左端点处的函数值s(a)之差,探究点2 微积分基本定理,微积分基本定理 如果连续函数f(x)是函数 F（x）的导函数，即 则有,定理中的式子称为_，通常 称F（x）是f(x)的一个_.,_,牛顿-莱布尼茨公式,原函数,F(b)F(a),归纳小结：微积
4、分基本定理揭示了导数与定积 分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求 定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以代 入公式求出定积分,思考1 定理中与被积函数f(x)相应的原函数F(x)是唯一的吗？ 提示:不唯一.若F(x)满足F(x)=f(x)，则对任意实数c,都有F(x)+c=f(x)(cR)，F(x)+c都是函数f(x)的原函数.,思考2 利用微积分基本定理求定积分的关键一步是什么? 提示:关键一步是找到被积函数f(x)相应的原函数F(x). 思考3 与f(x)相应的原函数有无数多个，它们可表示为F(x)+c，通常情况下只取F(x)，对积分结果有没有影响？ 提示:没有影响.若用F(x
5、)+c代替F(x)， 则 =F(b)+c-F(a)+c=F(b)-F(a).,例1 计算下列定积分：,解 （1）由于x2的导函数是2x，根据微积分基本定理可得 （2）由于 的导函数是x2，根据微积分基本定理可得,（3）由于sinx的导函数是cosx，根据微积分基本定理可得（4）由于 的导函数是 ，根据微积分基本定理可得,【变式练习】,计算下列定积分：,解（1）由于 的导函数是 ，根据微积分基本定理可得,（2）由于sinx的导函数是cosx，根据微积分基本定理可得（3）由于 的导函数是 ，根据微积分基本定理可得,例2. 求定积分,解：定积分 中，被积函数为 查积分表：xa(a-1)的一个原函数是
6、 ,所以 的一个原函数是,由牛顿-莱布尼茨公式，可得,【变式练习】,求定积分,解：定积分 中，查积分表被积函数的一个原函数是 ,由牛顿-莱布尼茨公式，可得,例3.求定积分 ，并解释其意义。,解 在定积分 中，被积函数为cosx. 查积分公式表：cosx的一个原函数是sinx.由牛顿-莱布尼茨公式，可得,由上图可以看出，定积分 的值就是在 区间 内函数y=cosx与x轴围成的平面图形 面积的代数和，其中x轴上方的面积取正值，x轴 下方的面积取负值.,【变式练习】,计算下列定积分，并解释其意义： （1） （2）,解（1）（2）,图中阴影表示其意义 （1）曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值； （2）曲边梯形位于x轴上方的面积等于位于x轴下方的面积时，定积分的值为0,C,1,4.（2012江西高考)计算定积分 =_. 【解析】,回顾本节课你有什么收获？,1.用微积分基本定理求定积分的关键是找被积函数f(x)的原函数F(x).,2.定积分的值可正可负,可为零.,3.用微积分基本定理同样可以求曲边梯形的面积.,进步是从看到自己的落后开始的；高明是从解剖自己的弱点开始的.,
