1、第五章 向量空间,主讲：彭乃霞,教学要求,1、理解向量空间的概念，并清楚线性代数所讨论的问题都是在向量空间的基础上讨论的。,2、清楚向量空间是欧几里得几何空间的推广，能熟练的判定一个向量空间，子空间。,3、能熟练判定一个向量组的线性相关性。,4、会求简单向量空间的基和维数，两个基下的过渡矩阵及坐标变换公式的应用。,5、掌握同构定义及同构同维的关系。,6、会求齐次线性方程组的基础解系及相应的应用。,向量空间的定义，子空间的定义及判别，线性相关性，基，维数，坐标；齐次线性方程组的解空间及应用。 难点：对向量空间、子空间的理解，向量的线性相关性。,重点,5.1.1 定义和例子,复习上学期所学解析几何
2、中向量的加法（,：,与实数,的“数量乘法”（,）：,且关于这个“加法”满足4条（分析并板书），,）及向量,一、定义与性质,关于这个“数量乘法”也满足4条（分析并板书）。,定义5.1.1 令,是一个数域，,中的元素用小写的字母,来表示。令,是一个非空集合，,中的元素用小,如果下列条件被满足，就称,是,一、定义与性质,来表示。,写的希腊字母,上的一个向量空间：,在,中定义了一个加法：对于,中任意两个向量,，有,中唯一确定的向量与它们对应，这个向量,与,的和，并且记做,。,叫做,有一个标量与向量的乘法：对于,中的每一个数,和,中的每一个向量,中唯一确定的向量与它们,对应，这个向量叫做,的积，并且记做
3、,与,向量的加法和标量于向量的乘法满足下列算律：,（1）加法交换律,，有,；,（2）加法结合律,，有,；,（3）存在“零元”，即存在,，使得,；,（4）存在负元，即,，存在,，使得,；,（5）分配律,，都有,；,（6）分配律,，,都有,；,（7）数乘结合律,，,都有,；,（8） “1律”,。,我们把,中的元素叫做向量，,中的元素叫做标量。,我们现在从定义出发,来推导向量空间的一些简单性质.,根据零向量和负向量的定义,可以推出,性质1 在一个向量空间,里，零向量是唯一的；对于,和中每一个向量,，,的负向量由,唯一确定。,定义5.1.2,的差为:,并且记作,。,定义向量,这样一来，在一个向量空间里
4、，加法的逆运算-减法可以实施， 并且有,（1）,.,关于标量与向量的乘法有：,性质2 对于任意向量,和数域,中任意数,，我们有：,(2),，,。,(3),。,(4),或,。,思 考,设,是二元有序实数组所成的集合,。,定义,。,中的加法和数量乘法为：,判断,是不是,上的向量空间。,由此思考定义5.1.1中的8条中的(8)不能少。,例子,例1、对固定,，取,，数域为,，并定义：,，,有：,，,。,则,关于这个加法和数乘构成复数域,上的向量空间。,5.2、子空间,教学目标了解子空间的内涵并会判断一个子空间. 教学重点子空间的定义及其判断. 教学难点子空间的性质及其应用.,5.2、子空间,一、子空间
5、的定义和判定,定理5.2.2 数域,上向量空间,中的一个非空子集是,的一个子空间,有,二、子空间的交与和,例子,5.3 向量的线性相关性(4课时),教学目标理解向量线性相关的定义及性质并能熟练判定一个向量组的线性相关性。 教学重点：向量线性相关的应用。 教学难点：向量线性相关的判断.,5.3 向量的线性相关性,一、定义、定理与性质,定义5.3.3 设 和 是向量空间 的两组个向量组。若每一个向量 都可以由 线性表示；而每一 也可以由向量 线性表示。则称两向量组等价。,定理5.3.2（替换定理）设向量组（2） 线性无关，且每一 均可由向量组：（3） 线性表示，则 .并且必要时可以对（3）式新 编
6、号，使得用 代替 后所得到 的向量组：（4） 与（3）等价。,证明： 时，因 线性无关，故 ，则存在一组不全为零的数 使得 = 。不妨设 ，则 可由 线性表示。则 （3）等价。,现假设 并且定理对于（2）中含有 个向量的情形成立。看(2)中含 个向量的情形。由于 线性无关，所以由命题3知， 也线性无关。于是根据归纳法的假设， ，并且可以认为，用 代替（3）中前 个向量，得到 一个与（3）等价的向量组：（5）,由于 可以由（3）线性表示，所以由命6.3.2， 它也可以由与（3）等价的向量组（5）线性表 示。因此有 （6）如果所有的 都等于零，那么（6）式变为,这就是说， 可以由 线性表示，矛盾。
7、因此至少有一个 。这就证明了 ，从而 。适当的对编号，不妨假定 ，于是,这就是说， 可以由向量组（4）线性表示。而向量组（5）除 外，其余每一个向量都在向量组（4）中出现，因此它们都可以由（4）线性表示。这样，（5）的每一个向量都可以由（4）线性表示，另一方面，（4）中除 外，其余每一个向量都在向量组（5）中出现，因此它们都可以由（5）线性表示。而由等式（6）可知， 也可以由（5）线性表示。,因此，（4）的每一个向量都可以由（5）线性表示。这就证明了（4）与（5）等价，而由归纳假设知，（5）与（3）等价，所以（4）与（3）等价。 推论5.3.3 两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量。,
8、设 是向量空间的一组不全为零的向量。那么我们可以从中选出这样一个线性无关的部分向量组 ，使得 首先线性无关，而再添加原向量组的任何一个向量就线性相关。于是向量组 中每一个向量都可以由线性表示。,如果满足：,则称其为原向量组的一个极大线性部分组（简称极大无关组）,推论5.3.4 等价的向量组的极大无关组含有相同个数 的向量。特别，一个向量组的任意两个极大无关组含 有相同个数的向量。,二、例子,例1、判断向量组,5.4基与维数,教学目标了解向量空间的基和维数的定义，会求简单向量空间的基和维数。 教学重点掌握基和维数有关概念及性质。 教学难点向量空间的基和维数的应用。,5.4基与维数,一、定义、定理
9、与性质,仍是 的一个线性组合。因此，的一切线性组合作成 的一个子空间。这个子空间叫做由 所生成的子空间，并且用符号 表示。向量 叫做这个子空间的一组生成元 。,设 是向量组 的一个极大无关组。则 中的任意一个向量都可以由 线性表示。另一方面， 的任意一个线性组合自然是 中的向量。因此我们有定理5.4.1 设 向量空间 的一组不全为零的向量，而 是,的一个极大无关组。那么根据这个定理，如果子空间 不等于零空间，那么它总可以由一组线性无关的生成元生成。一个向量空间 本身也可能由其中某 个向量生成。因此有：,一个向量空间如果有基的话，当然一般不会只 有一个基。根据基的定义，一个向量空间的任 意两个基
10、是彼此等价的。于是可得：一个向量 空间的任意两个基所含向量的个数是相等的。 即：,零空间的维数定义为0。,如果一个向量空间不能由有限个向量生成，那么它自然也不能由有限个线性无关的向量生成。在这一情形，就说这个向量空间是无限维的。 基的重要意义主要在于：,证明略。（板书）,由替换定理，我们可以得出以下结论：,证明略。（板书）,定理5.4.4 设 是 维向量空间 中一组线性无关的向量。那么总可以添加 个向量 ， 使得 作成 的一个基。特别， 维向量空间 中任意 个线性无关的向量都可以取作基。,证明： 是 维向量 空间中的一个基，那么每一 都可以由线性表示。又因为 线性无关，所以由替换定理，适当对
11、编号，可以用 替换前个基向量 ，得到一个与 等价的向量组 ，且这 个向量线性无关，从而向量组,是 的一个基。取 ，则定理被证明。将定理5.4.4应用到向量空间的有限维子空间上，我们得到：定理5.4.5 设 和 都是数域 上向量空间 的有限维子空间。那么 也是有限维的，并且。,同时是,=0。,因为 ， 线性无关。所以 都等于零。于是： + =0。又因为 线性无关，所以 都等于零。这样：是 + 的一个基。,所以,=,=,当 时，可 设，且 和 的基分别为： ；可证： ， 线性无关，从而它组成 + 的一个基。所以= 。,(),(),证明（反证法）,（1）,（2）,二、例子,5.5 坐标,教学目标了解
12、向量在基下的坐标的定义，会求向量在不同基下的坐标之间的关系。 教学重点掌握过渡矩阵与坐标之间的关系。 教学难点向量在不同基下的坐标之间的关系是由过渡矩阵实现的。,一、定义、定理与性质,那么,于是就有：,定理5.5.1,设,的坐标。,过渡矩阵。,则(1)式可写为：,(2),；,(3),其中,另一方面，,(4),把(2)代入(4)，得：,(5),故得：,定理55.2,由等式（6）给出。,二、例子,5.6 向量空间的同构,教学目标掌握同构定义及同构同维的关系。 重点同构定义、性质及其应用 难点同构同维的关系,5.6 向量空间的同构,一、定义、定理与性质,是说它们是同构的，确切地说，我们给出以下,证明
13、：、略。（板书）,直接由定义1，利用数学归纳法即得。,证明略。（板书）。,二、例子,教学目标掌握矩阵的行、列空间与矩阵的秩的关系，会求齐次线性方程组的基础解系及相应的应用。 教学重点掌握矩阵的行、列空间与矩阵的秩的关系，会求齐次线性方程组的基础解系及应用。 教学难点齐次线性方程组的基础解系及应用。,5.7矩阵的秩，齐次线性方程组 的解空间,设,一、定义、定理与性质,首先我们看一下矩阵的几何意义。,证：我们只证明（1），因为（2）的证明完,的线性组合，但,可逆，,所以,。这就是说,的每一个行向量,也都是,的行向量,的,线性,组合，从而得出向量组,与,等价，所以它们生成,的同一个子空间。,(1),
14、行的元素都是零，,右端乘积中后,而前,行就是,的前,行，由,于,可逆，所以它的行,向量线性无关因而它的前,行也线性无关，于,是,的行空间的维数等于,，由引理6.7.1，,的,行空间的维数等于,，,另一方面，将等式（）,左,乘以,得,由此看出，,的列空间的维数等于,，从而,的列空间的维数也等于,，这就是:,定理5.7.2 一个矩阵的行空间的维数等于列空 间的维数。等于这个矩阵的秩。,利用上面的结论，现在我们来讨论线性方程组:,由(2)得:,如果(2)有解，那么,可以由,线性表示。因而,合，即,，故,可以由,线性表示，所以方程组(2)有解，这样，我们就得 到线性方程组有解的另一个判别法：,(3),
15、令,是这个方程组的系数矩阵，那么(3)可以写成,向量作成,的一个子空间，这个子空间就是该齐,次线性方程组的解空间。,与这个矩阵相当的齐次线性方程组是,（4）,（0，0，1），我们得（4）的,个解向量,这 个解向量显然线性无关，另一方面，设是（4）的任意一个解，代入 （4）得于是,因此，(4)的每一个解向量都可以由这 个解向量 线性表示，则构成(4) 的解空间的一个基，重新排列每一解向量 中坐 标的秩序，就得到齐次线性方程组(3)的解空间的 一个基，于是我们有定理5.7.3 数域上一个 个未知量的齐次线性 方程组的一切解作成 上的一个子空间，如果所 给的方程组的系数矩阵的秩是 ，那么解空间的 维
16、数等于 。 齐次线性方程组的解空间的一个基叫做这个方 程组的一个基础解系。,是数域 上任意一个线性方程组， 是一个 矩阵，把（5）的常数项都换成零，就得到一个齐次线性方程组,(5),(6),齐次方程组（6）叫做方程组（5）的导出齐次方程组。 定理5.7.4 如果线性方程组(5)有解，那么(5)的一个解与导出齐次方程组(6)的一个解的和是(5)的一个解，(5)的任意解都可以写成(5)的一个固定的解与(6)的一解的和。证：设 是(5)的一个解， 是(6)的一个解，则,所以 是(5)的一个解. 设 是(5)的任意一个解，那么故是 (6)的一个解，从而 。二、例子 例1、求齐次线性方程组,的一个基础解系。,
