1、四川省成都市 2015 届高三毕业班摸底测试理科数学试卷（解析版）一、选择题1设全集 1，2，3，4，集合 1，3， 4，则 等于（ ）UST()USTA、2，4 B、4 C、 D、1，3，4【答案】A【解析】试题分析：因为全集 1，2，3，4，集合 1，3，故 2，4，于是SUS2，4，选 A()UST考点：集合的概念及基本运算，并集、补集.2已知命题 ，则 为（ ）:,25xpRpA、 B、,x,25xC、 D、0000R【答案】D【解析】试题分析：根据全称命题的否定是特称命题，以及否命题的特征，可知选 D考点：全称命题的否定.3计算 的结果是（ ）664log3l4A、 B、2 C、 D
2、、36log【答案】B【解析】试题分析： ，选 B666664log3l4l9l4l2考点：对数基本运算.4已知实数 x，y 满足 ，则 z4xy 的最大值为（ ）02yA、10 B、8C、2 D、0【答案】B【解析】试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过 A(2，0)点时，z4xy 取得最大值为 8xAy220考点：线性规划.5已知 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列说法正确的是（ ）,abA、若 ，则 B、若 ，则/a/,ab/abC、若 ，则 D、若 ，则,b【答案】C【解析】试题分析：对于 A，当 时，可能有 ，故 A 错误；/,aa对于 B， 时，不能保证 a 与 内
3、任意的直线平行，故 B 错误；/对于 C，垂直于同一平面的两条直线相互平行，故 C 正确；对于 D，当 时，可能有 ，故 D 错误,b考点：空间直线与平面的位置关系，平行的判定.6PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，一般情况下 PM2.5 的浓度越大，大气环境质量越差.右边的茎叶图表示的是成都市区甲乙两个监测站某 10 日内每天的 PM2.5 浓度读数(单位： )，则下列说法正确的是（ ）3/gmA、这 10 日内甲、乙监测站读数的极差相等B、这 10 日内甲、乙监测站读数的中位数中，乙的较大C、这 10 日内乙监测站读数的众数与中位数相等D、这 1
4、0 日内甲、乙监测站读数的平均数相等【答案】C【解析】试题分析：甲的极差是 984355，乙的极差是 943757，两者不相等，A 错误；甲的中位数是 74，乙的中位数是 68，甲的中位数较大，B 错误；7352乙的众数为 68，与中位数相同，C 正确；甲的平均数是(43636572737578818698) 73.410乙的平均数是(37586165686871778294) 68.1，可知 D 错误考点：统计，茎叶图，极差，中位数，众数，平均数.7已知函数 (0)的图象与直线 y2 的两个相邻公共点之间()3sincosfxx的距离等于 ，则 的单调递减区间是（ ）fA、 B、2,63kk
5、Z ,36kkZC、 D、42, 52,12【答案】A【解析】试题分析：因为 最小值为2，可知 y2 与 f(x)两()3sincos2in()6fxxx个相邻公共点之间的距离就是一个周期，于是 ，即 2，即T()2sin()6fx令 ，kZ，解得 x ，选 A3,2k 2,63kkZ考点：三角函数恒等变形，三角函数的图象及周期、最值、单调性.8已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(4x)f(x)，且当 x(1，3时，f(x)，则函数 g(x)f(x)|lgx|的零点个数是（ ）2,(1,cos3xxA、7 B、8 C、9 D、10【答案】D【解析】试题分析：由 f(x)是定义在 R
6、上的偶函数，知 x0 是它的一条对称轴又由 f(4x)f(x)，知 x2 是它的一条对称轴于是函数的周期为(20)24画出 f(x)的草图如图，其中 y|lgx|在(1，)递增且经过(10，1)点10 x0 1y1函数 g(x)的零点，即为 yf(x)与 y|lgx|的交点结合图象可知，它们共有 10 个交点，选 D.考点：函数的奇偶性、周期性，分段函数，函数的零点.9如图，已知椭圆 ，双曲线 (a0，b0)，若以 C1的长轴21:xCy22:1yxCa为直径的圆与 C2的一条渐近线交于 A，B 两点，且 C1与该渐近线的两交点将线段 AB 三等分，则 C2的离心率为（ ）A、5 B、 C、
7、D、17547【答案】C【解析】试题分析：由已知，|OA|a 1设 OA 所在渐近线的方程为 ykx(k0)，于是 A 点坐标可表示为 A(x0，kx 0)(x00)于是 ，即 A( )，进而 AB 的一个三分点坐标为(201kx22,k)22,3该点在椭圆 C1上，有 ，即 ，得 k22219()1()k219()k即 2，于是 ，所以离心率 ，选 Cba25cab5cea考点：圆的方程，椭圆的性质，双曲线的性质，双曲线的渐近线，直线与圆锥曲线的位置关系，双曲线的离心率.二、填空题10已知 ， ，则 _.(0,)24cos5sin()【答案】 35【解析】试题分析：因为 是锐角所以 sin(
8、)sin 22341cos15考点：同角三角函数关系，诱导公式.11当 时，函数 的最小值是_.1xyx【答案】3【解析】试题分析：因为 ，x，111()2()3yxx当且仅当 ，且 x1，即 x2 时等号成立，故函数 y 的最小值为 3.考点：均值不等式求最值.12如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积是_【答案】2812 2【解析】试题分析：这是一个侧放的直三棱柱，底面是等腰直角三角形，侧棱长为 6故表面积为 2( 22)(222 )62812 .12 2考点：三视图，几何体的表面积.13运行如图所示的程序框图，则输出的运算结果是_【答案】 45【解析】试题分析：因为 21()ii第
9、一次进入循环，运算后 S ，i142第二次进入循环，运算后 S ，i243第三次进入循环，运算后 S ，i341第四次进入循环，运算后 S ，i44 跳出循环125输出 S .1142345考点：算法，框图，数列求和，裂项法.14已知直线 与曲线 恰有两个不同的交点，记 k 的所有可能取值构成集()ykxyx合 A；P(x，y)是椭圆 上一动点， 与点 P 关于直线 yx1 对称，记21691(,)y的所有可能取值构成集合 B，若随机的从集合 A，B 中分别抽出一个元素 ，则14y 2,的概率是_12【答案】 34【解析】试题分析：由 ，当 x0 时，显然 k0，两边平方得1()4xk，即26
10、xk22()16kxx由题意，该方程有两个不相等的正实数根即 即 结合 k0 解得 k(0，1)，即 A(0，1)2210()46kk21k对于椭圆 ，由于原点关于 yx1 的对称点为(1，1)219yx所以，椭圆关于 yx1 的对称椭圆为 ，22)69x在改椭圆上，可知 y114，41(,)Px于是 1，1，即 B1，1 4y【方法一】由 ，分别以 为横坐标和纵坐标，12,AB12,可知点( )构成一个面积为 2 的矩形2,其中满足 的是图中阴影部分，面积为132所以，满足 的概率是234120 111【方法二】当 时，此事件发生的概率为 ，此时必有12,0A1212当 时，此事件发生的概率
11、为 ，此时 与 概率相等，各占 ，12,(0, 121121于是此时满足 的概率为 .1214以上两事件互斥，且1，0与(0，1的区间长度相等，故满足 的概率为 .12314考点：直线与曲线的交点，轴对称图形，坐标的取值范围，几何概型.三、解答题15已知等差数列 的前 n 项和为 ，且anS*273,49,aSnN(1)求数列 的通项公式；n(2)设 ，求数列 的前 n 项和 Tn.1()2abb【答案】(1) ;(2)n12nT【解析】试题分析：(1)根据等差数列的性质以及 可以求出首项和公差，进而*273,49,aSnN求得数列 的通项公式；（2）结合（1）可得 是一个等比数列，利用等比数
12、列求和na b公式可以求得 Tn.试题解析：(1)设公差为 d，则 3 分1376492ad解得： 12ad *1()1()nnN所以数列 的通项公式为 ; 6 分a*21()na(2)由(1)得 , 9 分1()(2nnb . 12 分11*()2()()nnqTN考点：等差数列，等比数列，通项公式，前 n 项和公式.16在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知向量 ，(,)mabc，且(,)nabc0mn(1)求角 B 的大小；(2)求函数 的值域.()si)6fx【答案】(1) ；(2)31(,2【解析】试题分析：(1)由已知，利用向量的数量积，结合余弦定理可得角
13、B 的大小；(2)利用 B 的大小，得到 的取值范围，进而可求得函数 f(x)的值域.6A试题解析：(1)由 ，得0mn22acba根据余弦定理，有 4 分1cosB又因为 ，所以 ； 6 分(,)2B3(2)由(1)得 2(0,)AC 8 分5(,)6 1sin,2函数 的值域为 . 12 分()si)6fxA1(,2考点：平面向量的数量积，余弦定理，三角函数的值域.17某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况，对该地区内所有高二学生采用随机抽样的方法，得到一个容量为 200 的样本.统计数据如下：认为作业多 认为作业不多 总数喜欢电脑游戏 72 名 36 名 108 名不喜欢电脑游戏
14、32 名 60 名 92 名(1)已知该地区共有高二学生 42500 名，根据该样本估计总体，其中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有多少名？(2)在 A，B，C，D，E，F 六名学生中，仅有 A，B 两名学生认为作业多.如果从这六名学生中随机抽取两名，求至少有一名学生认为作业多的概率.【答案】(1)7650 名；(2) 35【解析】试题分析：(1)利用样本估计总体，可求得喜欢电脑游戏并认为作业不多的人数；(2)用列举法，并利用古典概型即可求得至少有一名学生认为作业多的概率试题解析：(1) (名) 5 分364250750(2)【方法一】从这六名学生中随机抽取两名的基本事件有：A，B，A，C，A，
15、D，A，E，A，F，B，C，B，D，B，E，B，F，C，D，C，E，C，F，D，E，D，F，E，F共 15 个 7 分其中至少有一个学生认为作业多的事件有A，B，A，C，A，D，A，E，A，F，B，C，B，D，B，E，B，F共 9 个 9 分 9315P即至少有一名学生认为作业多的概率为 . 12 分35【方法二】6 名学生中随机抽取 2 名的选法有 种， 7 分261C其中至少有一名学生认为作业多的选法有 9 种， 9 分24 9315P即至少有一名学生认为作业多的概率为 . 12 分35【方法三】6 名学生中随机抽取 2 名的选法有 种， 7 分261C其中没有人认为作业多的选法有 种 9
16、 分4 69315P即至少有一名学生认为作业多的概率为 . 12 分35考点：统计，随机抽样，用样本估计总体，古典概型.18如图，已知 的直径 AB3，点 C 为 上异于 A，B 的一点， 平面 ABC，且OAOVCVC2，点 M 为线段 VB 的中点.(1)求证： 平面 VAC；BC(2)若 AC1，求二面角 MVAC 的余弦值.【答案】(1)见解析；(2) 1【解析】试题分析：(1)证明直线与平面垂直的关键是证明该直线与平面内两条相交直线都垂直；(2)求二面角可以利用几何法，先找出二面角的平面角，也可以利用空间坐标系，找出平面的法向量求解.试题解析：(1) 平面 ， 平面VCABCAB 2 分B点 C 为 上一点，且 AB 为直径OA 4 分又 平面 VAC，,VVA 平面 VAC； 6 分B(2)由(1)得， ,CCB分别以 CA，CB，CV 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 Cxyz 如图所示. 7 分则 A(1，0，0)，V(0，0，2)，B(0，2 ，0)2设平面 VAC 的法向量为 8 分(0,2)mCB(1， ， ， ，2)， (1，2 ，0)VAA设平面 VAM 的法向量为 n(x，y，z)由 ，得0nB02xz取 ，得 x4，z2y
