1、山东省实验中学 2015 届高三第一次（9 月）诊断性考试数学（文）试题第 I 卷（共 50 分）一、选择题（本题包括 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.每小题只有一个选项符合题意）1.设 i 是虚数单位，复数 是纯虚数，则实数2aiaA. B.2 C. D. 2122.已知集合 ，则下列结论正确的是,AyxRBxA. B. C. D. 33AAB3.已知函数 ，则“ 是奇函数”是“cos0,f Rfx”的2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知等比数列 的前三项依次为na1,4,naa则A. B. C. D. 342n342n15.右
2、图给出的是计算 的值的一个框图，其中菱形判断横应1160填入的条件是A. B. 10iiC. D. 6.函数 的零点所在的区间为21logfxxA. B. C. D. 0,1,3,47.某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针（不包括三角形边界及圆的边界） ，则针扎到阴影区域（不包括边界）的概率为A. B. 334C. D. 以上全错8.已知双曲线 的离心率为 2，若抛物线21:0,xyCab的焦点到双曲线 的渐近线的距离为 2，则抛物线 的方程为2:0xp1C2CA. B. C. D. 283y263xy28xy16xy9.已知 O 是三角形 ABC 所在平面内一定点，动点 P 满
3、足 (OAur) ，则 P 点轨迹一定通过三角形 ABC 的sinsiABCurr0A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心10.已知函数 对任意 ，都有 的图像关于fxR60,1fxfyfx对称，且 则1,024,01fA.0 B. C. D.8第 II 卷（非选择题，共 100 分）二、填空题（本题包括 5 小题，共 25 分）11.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为 m）则该几何体的体积为_ 3m12.已知函数 若函数 的图象在点 处的切34fxaRyfx1,Pf线的倾斜角为 _4， 则13.观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照
4、此规律，第 n 个等式为_.14.若点 P 在直线 上，过点 P 的直线 与曲线 只有一1:30lxy2l2:516Cxy个公共点 M，则 的最小值为 _.15.已知 满足约束条件 若目标函数 的最大值为xy、 1,2xy0,zaxby7，则 的最小值为_.34ab三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.（本小题满分 12 分）已知向量 ，sin,co,cos,3s0axbxrr函数 的最小正周期为 .32fxabr（I）求函数 的单调增区间；f（II）如果ABC 的三边 所对的角分别为 A、B、C，且满足c、 、的值.223bcabcfA，
5、 求17.（本小题满分 12 分）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校 A，B，C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）(I) 求 x、y;(II)若从高校 B、 C 抽取的人中选 2 人作专题发言，求这 2 人都自高校 C 的概率。18.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥中 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，Q 为 AD 的中点.60ADo（I）若 PA=PD，求证：平面 平面 PAD；PB（II）若平面 平面 ABCD，且，点 M 在线段 PC 上，且2PPM=2MC，求三棱锥 P-QBM 的体积.19.（本小题满分 12 分）设数列 为等
6、差数列，且 ；数列 的前 n 项和na35,9ab为 .,2nnSb且（I）求数列 ， 的通项公式；a（II）若 为数列 的前 n 项和，求 .nncNTb， cnT20.（本小题满分 13 分）已知椭圆 ，过焦点垂直于长轴的弦长2:10xyCab为 1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.（I）求椭圆的方程；（II）过点 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，交直线 于点 E，,0Q 4x判断 是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由.ABEurru， 21.（本小题满分 14 分）已知函数 .21ln2,fxaxaR（I）当 时，求函数 图象在点 处的切线方程；1af,f（II）当 时，
7、讨论函数 的单调性；0afx（III）是否存在实数 ，对任意的 恒成立？211212,0,fxfxa且 有若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，说明理由.山东省实验中学 2012 级第一次诊断性考试（II）由 ,322bcacb,322bca又由 8 分Aos在 中， 9 分BC6 12 分32sin2sinf 17.解：（I）由题意可得， ，所以 4 分5436218yx13.xy，（II）记从高校 B 抽取的 2 人为 ，从高校 C 抽取的 3 人为 ，则从高校12b， 123c， ，B， C 抽取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有共 10 种8 分11121321223 3(
8、)()()bcc， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，设选中的 2 人都自高校 C 的事件为 X，则 X 包含的基本事件有 ， ，12()c， 13()c，共 3 种10 分()c，所以 .10(XP故选中的 2 人都自高校 C 的概率为 12 分.103（II） 平面 平面 ,平面 平面 ,PADBCPADADBCPQ平面 ， 平面 , ,又 ,Q, 平面 ,又 ，BQM2-12 分3321PQBMPV19. 解(1)数列 为等差数列,所以 又因为na,2)(135ad2 分12,1,53naa BACDPQ由 nnnbSb2,得n=1 时， 1,11时，2)
9、2(1nnnn b所以 4 分1b为公比的等比数列2为 首 项 ，是 以n6 分1nb20. （1）由条件得 ，所以方程4 分21ba214xy（2）易知直线 l 斜率存在，令 120:(),),(),(4)lykABEy由 5 分222()(14)8408164ykxkxk6 分212128,x由1212()(1)(,)(,)xAQBxyxyy 即得 7 分12x由11102020(4)()(4,)(4,)xAEBxyxyy 即得8 分12x将121212122()4()5()84xxx 代入12128,kkx有13 分22222 2408408310()()kkxx 当 a2，即 aa 时，f(x )0；2f(x1)ax 1成立，21()fxf令 g(x)f(x) ax x22aln x 2x，12则函数 g(x)在(0，)上单调递增，g(x)x 20，2ax即 2ax22x(x 1) 21 在(0，) 上恒成立a ，故存在这样的实数 a 满足题意，12其范围为 .14 分( ， 12
