1、第一节 逆序数与对换,第二节 行列式的定义,第六节 拉普拉斯定理,第三节 行列式的性质,第四节 行列式的计算,第五节 克莱姆法则,第一章 n 阶行列式,1 逆序数与对换,定义 1 由1，2，,n组成的一个有序数组称为一个n 级全排列（简称排列）。,定义2 在一个排列中，如果两个数(称为数对)的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称这两个数构成一个逆序(反序)。一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。,排列j1, j2, jn的逆序数，一般记为 ( j1 , j2 ， ， jn ),上一页,下一页,返回,定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。,例
2、 计算以下各排列的逆序数，并指出它们的奇偶性. (1) 42531，（2） 135（2n-1）246(2n).,解（1） 对于所给排列，,4排在首位，逆序个数为0；,2的前面有一个比它大的数，逆序个数为1；,5的前面有0个比它大的数，逆序个数为0；,3的前面有两个比它大的数，逆序个数为2；,1的前面有四个比它大的数，逆序个数为4.,把这些数加起来，即 0+1+0+2+4=7,故排列42531的逆序个数为7，即(42531)=7， 因而是奇排.,返回,上一页,下一页,(2) 同理可得： 135(2n-1)246(2n)=0+(n-1)+(n-2)+2+1=,所给排列当n=4k或4k+1时为偶排列
3、，当n=4k+2或4k+3时为奇排列.,排列12的逆序数为,0.,排列215479683的逆序数为,11.,排列135(2n-1)(2n)(2n-2)42的逆序数是,n(n-1).,排列231的 逆序数为,2.,练习,返回,上一页,下一页,定义4 一个排列中，将某两个数对调，其余的数不动，这种对排列的变换叫对换，将相邻两数对换，叫做相邻对换（邻换）。,定理1 一个排列中的任意两数对换，排列改变奇偶性。,我们把排列231中的3与1对换，得到排列213，这两个排列的奇偶性是相反的，事实上对一般的排列也是如此。,设排列为,证 先证相邻对换的情形.,对换 与 排列变为,显然 这些数的逆序数经过对换并不
4、改变，,仅 与 两数的逆序数改变：,当 时，经对换后， 是逆序，,新排列的逆序数增加1；,新排列的逆序数减少1；,当 时， 不是逆序，,返回,上一页,下一页,下证一般对换的情形.,设排列为,对换 与 ，,先把 往后连续作m次相邻对换，排列变为,再把 往前连续作 m+1 次相邻对换，排列变为,它是经过 2m+1 次相邻对换而成，,从而实现了 与 的对换，,所以两个排列的奇偶性相反.,排列也就改变了 2m+1 次奇偶性，,定义5 设有n2个数aij（i，j1，2，, n）， 排成正方阵形式,在不同行、不同列中取n个数作乘积 ，并乘以符号 （其中J为列标排列j1, j2,jn的逆序数），记为 ，这样
5、的乘积有 项。,返回,上一页,下一页,2 行列式的定义,它们的和,，称为n阶行列式。,记Dn,为行列式第i行第j列的元素,称为n阶行列式的展开式或行列式的值。,返回,上一页,下一页,说明：,1) 等式右边的每一项都是n个元素的乘积，这n个元素均位于不同的行和不同的列。,2) 各项的正负号与列标排列有关，偶排列为正，奇排列为负。,3) 因为1,2,n的排列有n!个，故等式右边共有n!项。,返回,上一页,下一页,例 计算4阶行列式,解： 根据定义，D是4！24项的代数和，但每一个乘积项 中，只要有一个元素为0，乘积就等于0，所以只需计算展开式中不明显为0 的项。,行列式展开式中不为0的项只可能是a
6、11a22a33a44，而列标排列1234的逆序数为0，即此项符号为正，因此行列式Da11a22a33a44 .,返回,上一页,下一页,注：可扩充到n阶的情形。,例：n阶行列式,Dn,Dn,返回,上一页,下一页,例 证明,上面的行列式中，未写出的元素都是0。,证: 因为行列式的值为,而排列j1j2jn只能是n(n1)21的排列，,故逆序数,返回,上一页,下一页,所以行列式的值为,返回,上一页,下一页,例 设,证明D=D1D2.,返回,上一页,下一页,证 记,其中 dij=aij (i, j= 1, 2,，k)；dk+I ,k+j=bij (i, j= 1, 2,，n)； dk+i, j =ci
7、j (i= 1, 2,，n; j= 1, 2,，k).di,k+j=0 (i= 1, 2,，k; j= 1, 2,，n).,返回,上一页,下一页,R是排列 的逆序数，,可见 均不可大于k值，否则该项为0，,故 只能在1，2，k中选取，,从而 只能在 k+1, k+2, , k+n 中选取，,考察D的一般项,于是D中不为0的项可以记作,这里,R也就是排列 的逆序数，,以P，Q分别表示排列 与 的逆序数，,则有R=P+Q，于是,主对角线以上的元素全为零（即ij时元素aij0）的行列式称为下三角行列式，它等于主对角线上各元素的乘积。,行列式中，从左上角到右下角的直线称为主对角线。,主对角线以下的元素
8、全为0（即ij时元素aij0）的行列式称为上三角行列式，它等于主对角线上各元素的乘积。,行列式中，除对角线上的元素以外，其他元素全为零（即ij时元素aij0）的行列式称为对角行列式，它等于对角线上元素的乘积。,返回,上一页,下一页,定理2 n阶行列式的项可以写成,其中S与T分别是n级排列p1p2pn与q1q2qn的逆序数。,返回,上一页,下一页,证明：,将 重排，使其行标成为自然,逆序数之和不改变奇偶性。,3 行列式的性质,把行列式,称为行列式D的转置行列式。,返回,上一页,下一页,的行换成同序数的列,性质1 行列式与它的转置行列式相等 。,返回,上一页,下一页,按行列式定义,性质2 互换行列
9、式的两行（列），行列式反号。,证,交换第p、q两列，得行列式,返回,上一页,下一页,与 只经过一次对换,返回,上一页,下一页,所以对于D中任一项，D1中必定有一项与它的符号相反而绝对值相等，又D与D1的项数相同。,推论 若行列式有两行（列）元素对应相等，则行列式为零。,交换行列式i，j两行记作r（i，j），交换行列式i，j两列，记作c（i，j）。,证：由条件有 DD,故可得 D0,返回,上一页,下一页,性质3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式。,性质4 行列式中若有两行(列)元素对应成比例，则此行列式为零。,返回,上一页,下一页,性质5 若行列式的某行（列
10、）的元素都是两个数之和，例如,则行列式D等于下列两个行列式之和：,返回,上一页,下一页,性质6 把行列式某一行（列）的元素乘以数k，加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。,以数k乘以第i行(列)上的元素加到第j行(列)对应元素上，记作r（ji（k）， c（ji（k），有,返回,上一页,下一页,总结：三种行列式变换,1 互换两行或两列,2 第i行或第j列乘上非零数k,3 行列式第i行或第i列乘上数k加到第j行或第j列对应元素上,返回,上一页,下一页,例 计算四阶行列式,解,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,例 计算四阶行列式,解,返回,上一页,下一页,例：,返回,上一页,下一
11、页,返回,上一页,下一页,例：计算行列式,返回,上一页,下一页,解：,返回,上一页,下一页,例：,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,按照性质，此行列式可表为 个3阶行列式的和。,分三类： 若三行为数等于1 , 若两行为数则行列式为对角形行列式等于 , 若一行为数则行列式字母列对应成比例等于0 。,返回,上一页,下一页,例：,返回,上一页,下一页,4 行列式的计算,定义6 在n阶行列式中，划去元素aij所在的第i行与第j列中的元素，剩下的(n-1)2 个元素按其原来的排法构成一个n1阶行列式叫做元素aij的余子式，记为Mij .,Aij叫做元素aij的代数余子式。,Aij与行列式中第i
12、行、第j列的元素无关。,返回,上一页,下一页,引理 在n阶行列式D中，如果第i行元素除aij外全部为零，那么这个行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即DaijAij,证 先证i1，j1的情形,返回,上一页,下一页,对一般情形，只要适当交换D的行与列的位置，即可得到结论。,返回,上一页,下一页,定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,例 计算行列式,解 由定理3 知,注：运用定理3可适当减轻行列式的运算。,返回,上一页,下一页,例 计算行列式,解：由定理3知,返回,上一页,下一页,例 计算行列式 (加边法),
13、解 当x0 或y0时，显然D0，现假设x0，且y0，由引理知,返回,上一页,下一页,例 证明范德蒙(Vander monde)行列式,当n2时,证明：用数学归纳法。,假设对n1阶成立，现证对n阶也成立。,返回,上一页,下一页,故结论成立。,返回,上一页,下一页,例 利用范德蒙行列式求解,解：,返回,上一页,下一页,推论 行列式D 中任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即,证,返回,上一页,下一页,当ij, 因为Ajk 与行列式中的第j 行的元素无关，将式中ajk换成aik(k=1,2,n),可得,同理可证,返回,上一页,下一页,代数余子式的重要性质（行列式按
14、行（列）展开公式）:,返回,上一页,下一页,例 计算n阶行列式,解法一,返回,上一页,下一页,例 计算n阶行列式,解法二(递推法) 由行列式Dn可知,将Dn按第1列展开,返回,上一页,下一页,这个式子对任何n(n2) 都成立,故有,返回,上一页,下一页,例 利用递推公式法计算,解：按第一行展开,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,例 求方程 的根，其中,解 由观察可知 是一个根，,要求其他根需展开这个行列式，,因为 时，行列式第1、2列成比例，,所以,将第1列乘-1加到2，3，4列；,再将变换后的第2列加到第4列，即得,返回,上一页,下一页,所以方程 有两个根：0与-1.,返回,上一页
15、,下一页,习 题,1.设排列 的逆序数为k，问 的逆序数为多少？,解：,返回,上一页,下一页,2.,提示：,返回,上一页,下一页,3.,解：,返回,上一页,下一页,4.,解：不等于零的元素个数,所以行列式的值为零。,5. 计算行列式,返回,上一页,下一页,解：首先考虑n1阶范德蒙行列式,返回,上一页,下一页,二者应相等，故,例 用化三角形的方法求下面行列式,返回,上一页,下一页,例 用行列式分解的方法求行列式,返回,上一页,下一页,解：此行列式可表为 个n阶行列式之和,练习,返回,上一页,下一页,例 用递推法求行列式,解：由引理将行列式降阶展开,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,练习
16、,返回,上一页,下一页,5 克莱姆法则,的系数行列式不等于零,即,那么,方程组有唯一解,其中Dj(j=1,2,n)是把系数行列式D中的第j列元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式.,返回,上一页,下一页,证明 (1) 方程组简写为,把方程组的唯一解代入第i个方程, 左端为,返回,上一页,下一页,所以,(2)用D中第j列元素的代数余子式A1j ,A2j ,Anj依次乘方程组的n个方程,再把它们相加,得,当D不等于零时,方程组有唯一解.,返回,上一页,下一页,例 解线性方程组,解,返回,上一页,下一页,于是方程组有解 x1=3 , x2=-4 , x3=-1 , x4=1,返回,上一页,
17、下一页,克莱姆法则亦可叙述为,定理4 如果线性方程组的系数行列式D0,则方程组一定有解,且解是唯一的。,当方程组右边的常数项全部为零时,方程组变为齐次线性方程组.,它总有解 x1=0,x2=0,xn=0, 称为齐次线性方程组的零解。,返回,上一页,下一页,定理 4* 如果线性方程组无解，或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零（D =0）。,定理 5 如果齐次线性方程组有非零解, 则齐次线性方程组的系数行列式必为零。,定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零, 则齐次线性方程组没有非零解。,返回,上一页,下一页,若一组不全为零的数，它是齐次方程组的解，则称它为齐次线性方程组的非零解。,例
18、 若齐次线性方程组,有非零解，则t应满足什么条件？,解 由定理5, 要方程组有非零解，其系数行列式必为零.,返回,上一页,下一页,解 方程组的系数行列式为,返回,上一页,下一页,若方程组有非零解,则它的系数行列式D=0,从而有 =2, =5, 或 =8。容易验证, 当 =2, =5, 或 =8时,齐次线性方程组有非零解.,返回,上一页,下一页,的充分必要条件.,其中,解 我们把平面方程写成,于是4个平面交于一点，即 的齐次线性方程组,有惟一的一组非零解,返回,上一页,下一页,根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于0，即4个平面相交于一点的充分必要条件为,返回,上一页,下一页,
19、6 拉普拉斯定理,个元素按原来的次序所排成的k阶行列式M，称,定义 7 在n阶行列式D中任意取定k行k列,由剩下的元素按原来的次序所排列的（n - k）阶,行列式N，称为M的余子式. 设M所在的行的序号,（ ），则由这k行、k列交叉点上的,为D的一个k阶子式. 划去子式M所在的行和列，,为M的代数余子式.,返回,上一页,下一页,定理 4(laplace展开定理) 在n阶行列式D中任,成的所有k阶子式分别与其代数余子式的乘积之和等,于行列式D.,例 计算6阶行列式,解 由于第3，4两行只有1个2阶子式非零,因此将D按3,4,两行展开, 得,返回,上一页,下一页,将上式右端的4阶行列式再按第2，3两行展开，得,注： 本题虽然也可以利用按一行(列)展开法则来计 算，但利用Laplace展开定理显然更为简便。,返回,上一页,下一页,
