分享
分享赚钱 收藏 举报 版权申诉 / 38

类型1+简单微分方程及其应用.ppt

  • 上传人:hwpkd79526
  • 文档编号:9995756
  • 上传时间:2019-09-26
  • 格式:PPT
  • 页数:38
  • 大小:1,015.50KB
  • 配套讲稿:

    如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。

    特殊限制:

    部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。

    关 键  词:
    1+简单微分方程及其应用.ppt
    资源描述:

    1、文 科 数 学,1 简单微分方程及其应用,第六章 应用举例,2 线性规划简介,3 关于对策论的话题,4 库存与生产批量的最优控制,文 科 数 学,用数学方法解决实际问题的能力包括:.将实际问题归结为一个数学问题(数学建模);.选择合适的数学方法加以求解;.对所得结果用适当的方法进行验证;.将结果应用于实际问题(对某些现象加以解释、作出预测、用于设计等)。,文 科 数 学,1 简单微分方程及其应用,一、微分方程的基本概念,二、可分离变量的微分方程,三、齐次方程,四、牛顿冷却定律与破案问题,五、马尔萨斯人口模型及其修正,六、放射性碳的蜕变与考古问题,文 科 数 学,微积分研究的对象是函数,但许多实

    2、际问题中,往往不能直接找到反映某个变化过程的函数关系, 而可根据问题的性质和所给条件,列出一个含有未知函数导数的关系式,这就是微分方程。在中学数学中:前两个方程中只含未知量 x 的代数运算,称为代数方程;后一个方程中含未知量 x 的超越运算,称为超越方程。这些方程的共同点是:未知量 x 均为数值。,一、微分方程的基本概念,文 科 数 学,在大学数学中:此处 y 作为未知量已不是数值,而是另一变量 x 的函数,因此称为函数方程。但二者又有区别,后一个方程含有未知函数的导数或微分运算,称为微分方程。,含有未知函数及其导数或微分的方程称为微分方程。,常微分方程,偏微分方程,方程中仅含一个自变量,分类

    3、,方程中所含自变量多于一个,文 科 数 学,方程含有未知函数的一阶导数,两边对 x 积分再由条件得 C = 1,因此所求曲线方程为,一条曲线通过点(1, 2),在该曲线上任意点处,解:设所求曲线方程为 y = y(x),则有如下关系式,(C为任意常数),的切线斜率为 2x, 求该曲线的方程。,文 科 数 学,方程含有未知函数的二阶导数,两边对 x 积分两边对 x 再次积分,列车在直路上以 20m/s 的速度行驶, 制动时获得加速度 a = -0.4m/s2, 求制动后列车的运动规律。,解:设列车在制动后 t 秒行驶了s 米,即求 s = s(t),(C1, C2为任意常数),文 科 数 学,再

    4、由条件得 C120, C20,因此所求运动规律为,方程中所含未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶。n 阶常微分方程的一般形式,(隐式),(显式),文 科 数 学,将函数及其导数或微分代入微分方程,能使其成为恒等式,这样的函数称为该微分方程的解,其图形称为积分曲线。,通解,特解,解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同,分类,不含任意常数的解,例1,通解:,特解:,例2,文 科 数 学,确定通解中任意常数的条件称为微分方程的定解条件。n 阶微分方程的初始条件(或初值条件)初值问题:求微分方程满足初始条件的特解这样一个问题。,例1,通解:,特解:,例2,文 科 数 学,已知曲线上点 P(x,

    5、 y) 处的法线与 x 轴交点为,解:如图所示,点 P(x, y) 处的法线方程为,令 Y = 0,得 Q 点的横坐标为,即,Q,且线段 PQ 被 y 轴平分,求所满足的微分方程。,文 科 数 学,二、可分离变量的微分方程,形如或的一阶微分方程称为变量可分离方程。若 f 和 g 均是连续函数,且 g(y)0,则方程可写成变量分离的形式,文 科 数 学,将方程两边分别对 y, x 积分令则称为方程的隐式通解或通积分。这种通过分离变量来求解微分方程的方法称为分离变量法。,文 科 数 学,求微分方程,的通解。,解:分离变量得,,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,说明:在求解过程中每一步不

    6、一定是同解变形,因此可能增、减解!,( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ),文 科 数 学,求解初值问题,解:显然 y = 0 是方程的解,但不满足初始条件。 当 y0 时,分离变量得,两边积分得,两边取指数得,再由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,练习,文 科 数 学,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比,并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,求降落伞下落速度与时间的函数关系。解:根据牛顿第二运动定律列出方程初始条件为对方程分离变量,然后积分得,文 科 数 学,得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解,说明:,跳伞后阶段接近于等速运动

    7、。,文 科 数 学,三、齐次方程,形如的一阶微分方程称为齐次方程。例如,文 科 数 学,齐次方程的求解方法令 则 y = ux,从而代入原方程得分离变量两边积分,得积分后再用 代替 u,便得原方程的通解。,文 科 数 学,求解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,从而,故原方程的通解为,( C 为任意常数 ),说明:当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解。,文 科 数 学,求解微分方程,解:,则有,分离变量,两边积分得,代回原变量得通解,即,(C 为任意常数),说明:显然 x = 0,y = 0,y = x 也是原方程的解,但在求解过程中丢失了。在通解中允许 C = 0,则

    8、包含了x = 0 及 y = x 两解,但解 y = 0 仍未包含在内。,外加特解:,练习,文 科 数 学,在制造探照灯反射镜面时,要求点光源的光线平行反射出去,以保证探照灯有良好的方向性,试求反射镜面的形状。解:设光源在坐标原点,取 x 轴平行于光线反射方向,则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成。,有OMA = OAM = ,,过曲线上任意点 M(x, y) 作切线 MT,由光的反射定律:入射角 = 反射角,从而AO = OM,而 AO,于是得微分方程:,文 科 数 学,利用曲线的对称性,不妨设 y 0,,积分得,故有,得,(抛物线),故反射镜面为旋转抛物面!,于是方程化为,(齐次方程),文

    9、 科 数 学,顶到底的距离为 h ,则将,这时旋转曲面方程为,说明:若已知反射镜面的底面直径为 d,,代入通解表达式得,反射镜面为旋转抛物面,文 科 数 学,四、牛顿冷却定律与破案问题,牛顿冷却定律温度为 T 的物体在温度为 T0 ( T0 T ) 的环境中, 冷却的速度与温差 TT0 成正比。用微分方程可表示为等式右端的负号是由于温度 T(t) 随时间 t 的增加而减少,故 dT/dt 0。下面用该定律考虑刑事案件的侦破问题。,文 科 数 学,刑事案件的侦破问题某市发生一起凶杀案,法医于晚 8:20 赶到凶手现场,测得尸体温度为 32.6oC;1小时后,当尸体被抬走时又测得尸体温度为 31.

    10、4oC,室温在几小时内均保持在 21.1oC。警方经周密调查分析,发现张某是此案的主要嫌疑人,但张某声称自己无罪,并有证人说:“下午张某一直在办公室,5 点钟时打了一个电话后离开办公室”。从办公室到凶手现场步行需 5 分钟,问张某能否被排除在嫌疑人之外?解:人体体温受大脑神经中枢调节,死后体温调节功能消失,尸体温度只受外界环境温度的影响。,文 科 数 学,数学建模设时刻 t 时尸体的温度为 T(t),若尸体温度的下降服从牛顿冷却定律,则由 T021.1oC 知令晚 8:20 为 t0 时刻,则求解微分方程由于 T 21.1,故 T21.1 0,分离变量两边积分,文 科 数 学,即由 T(0)3

    11、2.6,T(1)31.4 可求得所以应用假设死者死亡时体温正常,为 37oC,令上式中的 T37,可求出 t-2.95(小时),即2小时57分。 从而推知死者的死亡时间大约在下午5点23分,因此张某不能排除在嫌疑人之外!,文 科 数 学,五、马尔萨斯人口模型及其修正,英国人口学家马尔萨斯(Malthus:17661834)根据百余年的人口统计资料,于1798年提出了人口指数增长模型。基本假设:单位时间内人口的增长量与当时的人口总数成正比。记 t 时刻时人口总数为 x(t),设单位时间内人口的增长量与当时的人口总数之比为 r,r 是与时间无关的常数,根据马尔萨斯假设,文 科 数 学,令t 0,得

    12、到如下的马尔萨斯人口模型这是变量可分离方程,易求得此初值问题的解为这表明人口数量将随时间呈现指数形式增长。人们曾就地球过去的人口总数来检验该公式,结果表明它相当准确地反映了17001961年期间的人口总数;但当 t+时,则有 x(t)+,这与客观事实显然不符!,文 科 数 学,马尔萨斯人口模型的修正早在1838年,荷兰数学生物学家弗胡斯特(Verhulst)就指出,导致上述不符合现实情况的根本原因在于:马尔萨斯人口模型未能考虑“密度制约”因素,即在资源给定的一个环境中,人数越多,每个人所获得的资源就越少,这将抑制生育率、增加死亡率, 因此,单位时间内人口的增长量与当时的人口总数之比不是一个常数

    13、,而是 r 乘一个密度制约因子, 该因子应随 x 的增大而减小,可设为 (1x/k),其中 k 为环境容纳量,它反映了资源的丰沛程度。,文 科 数 学,弗胡斯特人口模型这也是变量可分离方程。由于 x(1x/k) 0,故分离变量两边积分从而得其通解,文 科 数 学,再由 x(0)x0 知因此该初值问题的解为这表明:当 t时,x(t)k,即人口总数最终稳定为环境容纳量 k。,文 科 数 学,六、放射性碳的蜕变与考古问题,考古、地质等方面的专家常用14C(碳14,为碳12的同位素)测定法(简称碳定年代法)去估计文物或化石的年代。根据:宇宙射线不断轰击大气层,使之产生中子,中子与氮气作用生成具有放射性

    14、的14C,后者又可氧化成二氧化碳,二氧化碳被植物所吸收,而动物又以植物为食物,于是放射性14C 就被带到各种动植物体内。由于14C 具有放射性,因此它在不断蜕变。,文 科 数 学,六、放射性碳的蜕变与考古问题,活着的生物通过新陈代谢不断摄取14C,使体内14C 与空气中的14C 具有相同的百分比含量。生物死后,停止摄取14C,因而尸体内的14C 由于不断蜕变而减少。碳定年代法正是依据14C 蜕变减少量的变化情况来判定生物的死亡时间。根据原子物理学理论:14C 在 t 时刻的蜕变速度与该时刻的14C 含量成正比。设时刻 t(年)时生物体中14C 的存量为 x(t),则,文 科 数 学,又设生物死

    15、亡时间为 t0,其时14C 含量为 x0,即易求得初值问题的解为记14C 的半衰期为 T,则有 ,代入特解有 kln2/T,故从中解出死亡生物体内14C 的存量与死亡时间的关系为,文 科 数 学,由于 x0, x 不易测量,因此常用以下办法求 t: 公式两边对 x 求导所以代入 t 的表达式有,文 科 数 学,用上面的公式测定长沙市马王堆一号墓的年代。该墓于1972年8月出土,当时测得出土木碳标本中14C 的平均原子蜕变速度为29.78次/分钟,人在死亡前体内所含14C 的平均原子蜕变速度与新砍伐木材烧成的木碳中14C 的平均原子蜕变速度相同,为38.37次/分钟,又知14C 的半衰期 T5568年。故将 及 T 代入公式有从而估算出马王堆一号墓大约是两千多年前的汉墓.,

    展开阅读全文
    提示  道客多多所有资源均是用户自行上传分享,仅供网友学习交流,未经上传用户书面授权,请勿作他用。
    关于本文
    本文标题:1+简单微分方程及其应用.ppt
    链接地址:https://www.docduoduo.com/p-9995756.html
    关于我们 - 网站声明 - 网站地图 - 资源地图 - 友情链接 - 网站客服 - 联系我们

    道客多多用户QQ群:832276834  微博官方号:道客多多官方   知乎号:道客多多

    Copyright© 2025 道客多多 docduoduo.com 网站版权所有世界地图

    经营许可证编号:粤ICP备2021046453号    营业执照商标

    1.png 2.png 3.png 4.png 5.png 6.png 7.png 8.png 9.png 10.png



    收起
    展开