1、等差数列导引:若干个数排成一列,称为数列。数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。例如:等差数列:3、6、9、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。计算等差数列的相关公式:通项公式:第几项=首项+(项数-1)公差项数公式:项数=(末项-首项)公差+1求和公式:总和=(首项+末项)项数2在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。例题1 有一个数列:4、7、10、13、25,这个数列共有
2、多少项练习:1、有一个数列:2,6,10,14,106,这个数列共有多少项?。2、有一个数列:5,8,11,92,95,98,这个数列共有多少项?3、在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?例题2 有一等差数列:2,7,12,17,这个等差数列的第100项是多少?练习:1、求1,5,9,13,这个等差数列的第3O项。2、求等差数列2,5,8,11,的第100项。3、 一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少?例题3 计算2+4+6+8+1990的和。练习:1、 计算1+2+3+4+53+54+55的和。2、计算5+10+15+20+ +190+1
3、95+200的和。3、计算100+99+98+61+60的和例题4 计算(1+3+5+l99l)-(2+4+6+1990)练习:1、计算(1+3+5+7+2003)-(2+4+6+8+2002)2、计算(2+4+6+100)-(1+3+5+99)3、计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。例题5 已知一列数:2,5,8,11,14,80,求80是这列数中第几个数。练习:1、 有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,求第12个数是多少。2、有一列数是这样排列的:2,11,20,29,38,47,56,求785是第几个数。3
4、、在等差数列6,13,20,27,中,从左到右数第几个数是1994?例题6小王看一本书第一天看了20页,以后每天都比前一天多看2页,第30天看了78页正好看完。这本书共有多少页?练习:1、文丽学英语单词,第一天学会了3个,以后每天都比前一天多学会1个,最后一天学会了21个。文丽在这些天中共学会了多少个英语单词?2、李师傅做一批零件,第一天做了25 个,以后每天都比前一天多做2个,第20天做了63个正好做完。这批零件共有多少个?例题7 建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。练习:1、一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有70根。一共有多少根圆木
5、?2、用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形,按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒?3、用相同的小立方体摆成如图所示的形状,如果共摆成10层,那么最下面有多少个小立方体?例题8 有50把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?练习:1、有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次?2、有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了?3、一辆公共汽车有66个座位,空车出发后,第一站上一位乘客,第二站
6、上两位乘客,第三站上三位乘客,依次类推,第几站后,车上坐满乘客?例题9 四(1)班45位同学举行一次同学联欢会,同学们在一起一一握手,且每两个人只能握一次手,同学们共握了多少次手?练习:1、学校进行书法大赛,每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有16人参加比赛,一共要进行多少场比赛?2、在一次元旦晚会上,一共有48位同学和5位老师,每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少次手?3、一次朋友聚会,大家见面时总共握手28次。如果参加聚会的人和其余的每个人只握手一次,问参加聚会的共有多少人?作业(一)1. 把一堆苹果分给 8 个朋友,要使每个人都能拿到苹果,而且每个人拿到苹果个数
7、都不同的话,这堆苹果至少应该有几个?2. 图中是一个堆放铅笔的 形架,如果最上面一层放 60 支铅笔.问一共有多少支铅笔?V3. 全部两位数的和是多少?4.下面的算式是按一定规律排列的,那么第 100 个算式的得数是多少?4+3,5+6,6+9,7+12,5. 若干人围成 8 圈,一圈套一圈,从外向内各圈人数依次少 4 人.如果共有 304 人,最外圈有几人?6. 在 1100 这一百个自然数中所有不能被 11 整除的奇数的和是多少?7. 在 2949,2950,2951,2997,2998 这五十个自然数中,所有偶数之和比所有奇数之和多多少?8. 求一切除以 4 后余 1 的两位数的和?9.
8、 一个剧场设置了 20 排座位,第一排有 38 个座位,往后每一排都比前一排多 2 个座位.这个剧场一共设置了多少个座位?10. 小明和小刚赛跑,限定时间为 10 秒,谁跑的距离长谁胜.小刚第一秒跑了 1 米,以后每秒都比前面一秒多跑 0.1 米;小明从始至终每秒都跑 1.5 米.问两人谁能取胜?11. 若干个同样的盒子排成一排,小明把 50 多个同样的棋子分装在盒中,其中只有一个盒子没有装棋子.然后他外出了,小光从每个有棋子的盒子里各拿了一个棋子放在空盒内,再把盒子重新排列了一下.小明回来仔细查看了一番,没有发现有人动过这些盒子和棋子.问共有多少个盒子?12. 小刚计算从 1 开始若干个连续
9、自然数的和,结果误把 1 当成 10 来算,得错误结果恰为100.你能帮助小刚纠正错误吗?小刚算的是哪些自然数的和?13. 有 10 只盒子,44 只乒乓球,能不能把 44 只乒乓球放到盒子中去,使各盒子里的乒乓球数不相等?14. 一个正三角形 ,每边长 1 米,在每边上从顶点开始每隔 2 厘米取一点,然后从这些ABC点出发作两条直线,分别和其他两边平行(如图).这些平行线相截在三角形 中得到许多ABC边长为 2 厘米的正三角形.求边长为 2 厘米的正三角形的个数.作业(二)1. 求 193+187+181+103 的值.2. 某市举行数学竞赛,比赛前规定,前 15 名可以获奖,比赛结果第一名
10、 1 人;第二名并列 2人;第三名并列 3 人;第十五名并列 15 人.用最简便方法计算出得奖的一共有多少人?3. 全部三位数的和是多少?4. 在 1949,1950,1951,1997,1998 这五十个自然数中,所有偶数之和比所有奇数之和多多少?5. 某剧院有 25 排座位,后一排比前一排多两个座位,最后一排有 70 个座位.这个剧院一共有多少个座位?6. 小明从一月一日开始写大字,第一天写了 4 个,以后每天比前一天多写相同数量的大字,结果全月共写 589 个大字,小明每天比前一天多写几个大字?7. 九个连续偶数的和比其中最小的数多 232,这九个数中最大的数是多少?8. 39 个连续奇
11、数的和是 1989,其中最大的一个奇数是多少?9. 在 1200 这二百个数中能被 9 整除的数的和是多少?10. 在 1100 这一百个自然数中所有不能被 9 整除的奇数的和是多少?11.若干人围成 8 圈,一圈套一圈,从外向内各圈人数依次少 4 人.如果最内圈有 32 人,共有多少?12. 有一列数:1,1993,1992,1,1991,1990,1,从第三个数起,每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差,求从第一个起到 1993 个数这 1993 个数之和.13. 学校进行乒乓球选拔赛,每个参赛选手都要和其他所有选手赛一场,一共进行了 78 场比赛,有多少人参加了选拔赛?14. 跳棋棋盘
12、上一共有多少个棋孔? 拓展:1、如图 1-1 所示的表中有 55 个数,那么它们的和加上多少才等于 1994?1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 612 8 14 20 26 32 38 44 50 56 623 9 15 21 27 33 39 45 51 57 634 10 16 22 28 34 40 46 52 58 645 11 17 23 29 35 41 47 53 59 65图 1-12、计算:1000+999-998-997+996+995-994-993+108+107-106-105+104+193-102-101。 3、计算:(1+3+5+1989)
13、-(2+4+6+1988)。 4、利用公式 ll+22+nnn(n+1)(2n+1)6计算:1515+1616+2121。 5、计算:2020-1919+1818-1717+22-11。 6、计算:33335555+644442222。 7、计算:199319931993-199319921992-19931992。 8、两个十位数 1111111111 与 9999999999 的乘积中有几个数字是奇数? 9、我们把相差为 2 的两个奇数称为连续奇数。已知自然数 1111155555 是两个连续奇数的乘积,那么这两个奇数的和是多少? 10、求和:l2+23+34+910。 11、计算:11+
14、212+3123+41234+512345+6123456+71234567+812345678。12、在两个数之间写上一个,用所连成的字串表示用前面的数除以后面的数所得的余数,例如: 135=3,62=0试计算:(200049)9 13、羊和狼在一起时,狼要吃掉羊。所以关于羊及狼,我们规定一种运算,用表示:羊羊=羊;羊狼=狼;狼羊=狼;狼狼=狼。以上运算的意思是:羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼,所以我们规定另一种运算,用符号表示:羊羊=羊;羊狼=羊;狼羊=羊;狼狼=狼。这个运算的意思是:羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但由于羊能战胜狼,当狼与羊在一起时,它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊和狼,可以用上面规定的运算作混合运算。混合运算的法则是从左到右,括号内先算,运算结果或是羊,或是狼。求下式的结果: 羊(狼羊)羊(狼狼)。 14、对于自然数 1,2,3,100 中的每一个数,把它非零数字相乘,得到 100 个乘积(例如 23,积为 23=6;如果一个数仅有一个非零数字,那么这个数就算作积,例如与100 相应的积为 1)。问:这 100 个乘积之和为多少? 15、从 1 到 1989 这些自然数中的所有数字之和是多少?