1、1 离散数学 习题 参考 答案 第一章 命题逻辑 习题一 1、构造公式 (p q) (p q)、 pq 的真值表。 2、构造公式 (p q)与 p q 的真值表。 3、构造公式 p、 p p、 p p 的真值表。 4、构造公式 p (q r)、 (p q) (p r)的真值表。 5、构造公式 p (p r)、 p 的真值表。 6、构造公式 p (p r)、 p 的真值表。 7、构造公式 pq 、 qp 的真值表。 8、构造公式 (pq) (pq) 、 p 的真值表。 9、构造公式 p、 p 的真值表。 10、构造公式 p p、 p p 的真值表 略 习题二 一、分别用等算演算与真值表法，判断下
2、列公式是否存在主析取范式或主合取范式，若有，请写出来。 (1)(pq)(q p) (2)(pq)(q r) (3)(p (q r)(p q r) (4) (qp) p (5)(p q) (p r) (6)(p(p q) r (7)(p q) r (8) (pq) (qr) (9) (p q)q (10) (rp) p q 解： (1) p q p (pq) q (q p) (pq)(q p) 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 存在主析取范式 =成真赋值对应的小项的析取 =m00 m10 m11=(p q) (p q)
3、 (p q) 主析取范式 =成假赋值对应的大项的合取 =M01=p q 等值演算： (pq)(q p) (p q) (p q) (p q) (p q) (p q) (p q) (p (p q) (q (p q) (p p q) (q p q) (1 q) (p q) (p q) 这是大项，故为大项的合取，称为主合取范式 (pq)(q p) (p q) (p) (q) (p 1) ( 1 q) (p (q q) ( (p p) q) (p q) (p q) (p q) (p q) (p q) (p q) (p q) 因为一个公式的值不是真，就是假，因此当我们得到一个公的取值为真的情况时，剩下的组
4、合是取值为假， 因此当得到小项的析取组成的主析取范式后，可以针对剩下的组合写出主合取范式。 如当我们得到 (pq)(q p)的大项之合取 (p q)后，使(p q)为假时 (p,q)的值为 (0,1)，故其标记为 M01，剩余的取值为 (0,0),(1,0),(1,1)，故小项之析取为 m00 m10 m11。 反之，若先得到其小项的析取，也可得到其大项的合取。反正这两者将其所有组合瓜分完毕。 (2)(pq)(q r) p q r p pq (q r) 结果 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0
5、0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 主析取范式 =m000 m001 m011 m111=(p q r) (pq r) (p q r) (p q r) 主合取范式 =M010 M100 M101 M110=(p q r) (p q r) (p q r) (p q r) (3)(p (q r)(p q r) p q r (q r) (p (q r) (p q r) (p (q r) (p q r) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0
6、1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 永真式，所有小项的析取得到其主析取范式 =(p q r) (p q r) (p q r) (p q r)(p q r) (p q r) (p q r) (p q r) 由于没为假的指派，所以没有为假赋值，所对应的大项合取构成的合取，即没有主合取范式。 (p (q r) (p q r)=(p (q r) (p q r)=(pq) (p r) (p q r) = (p q) (p r) p q r=(p q) (p r) p qr=1永真 (4) (qp) p p q p (qp) (qp) 结果 0 0 1 1 0 0
7、0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 没有成真的赋值，从而没有对应的小项，因此没有小项构成的主析取范式 永假式即矛盾式，为假指派对应的大项合取 =(p q) (p q)2 (p q) (p q) 原式 =(q p) p=(q p) p=0 (5) (p q) (p r) p q r (p q) p (p r) (p q) (p r) 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 主析取
8、范式 (p q r) ( p q r) ( p q r) ( p q r)(p q r) (p q r) (p q r) 主合取范式 M100=p q r 原式 =(p q) p) r=(p p) (p q) r=(1 (p q) r=p q r 这就是大项也 剩下的赋值对应的就是小项 (6)(p(p q) r p q r (p q) (p(p q) (p(p q) r 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 永真式，只有小项组成的主析取范式。
9、 没有为假的赋值，所以没有成假赋值对应的大项的合取，即没有主合取范式。 原式 =(p (p q) r=(1 q) r=1 (7)(p q) r p q r (p q) (p q) r 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 主析取范式 =m001 m011 m101 m110 m111= (p q r) ( p q r) ( p q r) (p q r) (p q r) 主合取范式 =M000 M010 M100=(p q r) (p q r) (p q r) (p q) r
10、 =(p q 1) (1 1 r) =(p q (r r) ( (p p) (q q) r) =(p q r) (p q r) (p q r) ( p q r) (p q r) (p q) r =(p r) (q r) =(p 0 r) (0 q r) =(p (q q) r) (p p) q r) =(p q r) (p q r) (p q r) (p q r) =(p q r) (p q r) (p q r) (8) (pq) (qr) p q r (pq) (qr) (pq) (qr) 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0
11、 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 主析取范式 =m000 m001 m011 m111 =(p q r) (p q r) (p q r) (p q r) 主合取范式 =M010 M100 M101 M110= =(p q r) (p q r) (p q r) (p q r) (pq) (qr)=(p q) (q r) =(p q 0) (0 q r) =(p q (r r) ( (p p) q r) =(p q r) (p q r) (p q r) ( p q r) (pq) (qr)=(p q) (q r) =(p q) (p r) (
12、q q) (q r) =(p q 1) (p 1 r) (1 q r) =(p q (r r) (p (q q) r) ( (p p) q r) =(p q r) (p q r) (p q r) (p q r) ( p q r) ( p q r) =(p q r) (p q r) (p q r) ( p q r) (9) (p q)q p q (p q) (p q)q 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 永真式，只有小项的析取构成的主析取范式 =(p q) ( p q) (p q) (p q) 没有为假的指派，所以没有由大项的合取构成的主合取范式 (p q)q =(
13、p q) q =(p q) q =p q q =1 (10) (rp) p q p q r rp (rp) (rp) p q 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 主析取范式 =m110=p q r 主合取范式 =M000 M001 M010 M011 M100 M101 M111 3 = (p q r) (p q r) (p q r) (p q r) ( pq r) ( p q r) ( p q r) (rp) p q =(p r) (p
14、r) p q =(p r) (p r) p q =(p r p q) (p r p q) =(p q r) (rp) p q =(p r) (p r) p q = (p r) (p r) p q = (p r) (p r) p q = (p r) (p r) p) q = (p r) p q = (p (q q) r) (p (q q) (r r) ( (p p) q (r r) =(p q r) (p q r) (p q r) (p q r) (p q r) (p q r) ( p q r) ( p q r) ( p q r) ( p q r) = (p q r) (p q r) (p q
15、r) (p q r) ( p q r) (p q r) (p q r) =M000 M001 M010 M011 M100 M101 M111 二、应用题 1、某次课间休息时， 1位同学作为主持人与另外 3位同学进行猜数游戏，主持人说这个数是 30、 50、 70中的某一个，你们三位同学各猜一次，然后主持人分析每人猜数的结果，从而最终确定是哪个数。 同学 1说：这个数是 30，不是 50 同学 2说：这个数是 50，不是 70 同学 3说：这个数既不是 30，也不是 50 主持人听后说道：你们 3人中，有一人全对，有二人对了一半，请问到底是哪个数。 解：令 S表示 “这个数是 30”， W表示
16、 “这个数是 50”， Q表示 “这个数是 70” 同学 1的话： S W 同学 2的话： W Q 同学 3的话： S W 对于每个人来说，只有二个选择：全对、对一半，对一半又分成：第一句对第二句错、第一句错第二句对，因此每个同学的对错情况为： 、 、 ，因此 3个人共有 3*3*3=27种可能的情况，其中有些情况不符合 “有一人全对，有二人对了一半 ”而剔除。 我们按 “、 、 ”顺序，构造 “类真值表 ”来分析其组合情况 同学 1 同学 2 同学 3 命题公式 分析 不必写 不可能全对 不必写 不可能有 2个对 不必写 不可能有 2个对 不必写 不可能有 2个对 S W W Q S W=0
17、 真值为 0不对 S W W Q S W=0 真值为 0不对 不必写 不可能有 2个对 S W W Q S W=0 真值为 0不对 S W W Q S W= S W Q 可能对的，是 30 不是 50，不是 70 S W W Q S W=0 不可能 S W W Q S W=0 不可能 S W W Q S W=0 不可能 S W W Q S W=0 不可能 S, W,W, Q,S,W=0 不可能 S, W,W, Q,S, W=0 不可能 S, W,W,Q, S, W=0 不可能 S， W， W， Q， S， W= 3个数都不是，不可能 答案是：是 30，不是 50，不是 70 同学 1说：这个数
18、是 30，不是 50 全对 同学 2说：这个数是 50，不是 70 第一句错第二句对 同学 3说：这个数既不是 30，也不是 50 第一句错第二句对 2、设计一个如下的电路图：它有三个输入 p1、 p2、 p3，当其中有 2个及以上的值为 1时输出的结果为 1，其他情况下输出 0。请给出其真值表，同时针对此真值表给出主析取范式、主合取范式，并给出其最简单的表达式。 答：与课堂例题一样 在真实的教材将其换成了如下习题 2、设计一个如下的电路图：它有三个输入 p1、 p2、 p3，当其中任意二个的值为 0 时输出的结果为 1，其他情况下输出0。请给出其真值表，同时针对此真值表给出主析取范式、主合取
19、范式，并给出其最简单的表达式。 p1 p2 p3 表达式的值 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 其主析取范式 =m000 m001 m010 m100 =(p1 p2 p3) (p1 p2 p3) (p1 p2 p3) (p1 p2 p3) =(p1 p2) (p3 p3) ( (p1 p2) (p1 p2)p3) =(p1 p2) (p1 p2) (p1 p2) p3) 其主合取范式 =M011 M101 M110 M111 =(p1 p2 p3) (p p2 p3) (p1 p2 p3) (pq
20、p2 p3) =(p1 p2) (p1 p2) p3) (p1 p2) 3、某年级要从 1班、 2班、 3班、 4班、 5班中选出一名才子主持元旦晚会，每班最多一人，也可能没有，这些人满足如下条件，请确定最终选择哪些班级的学生： 4 (1)如果 1班有人选中，则 2班有人选中。 (2)若 5班有人选上则 1班与 2班 均有 人选上。 (3)5班与 4班必有一班有被选中。 (4)3班与 4班同时有人选上或同时没人选上。 解：用 One 表示 1 班选了人， Two 表示 2 班选了人， Three表示 3班选了人， Four表示 4班选了人， Five表示 5班选了人。 则这 4个条件依次为 O
21、neTwo ， Five(One Two)， Four Five， ThreeFour 满足这 4个条件，即这 4个条件的值均为真即为 1，所以其合取为 1 (OneTwo) (Five(One Two) (Four Five) (ThreeFour)=1 ， 将以上合取范式转换为主析取范式，因此双条件应转换为析取式的合取式 原式 = (One Two) (Five (One Two) (Four Five) (Three Four) (Three Four) =(One Two) (Five (One Two) (Four Five) (Three Four) (Three Four) =(
22、One Five) (One (One Two) (Two Five)(Two (One Two) (Four Five) (Three Four) (Three Four) =(One Five) (Two Five) (Two One) (FourFive) (Three Four) (Three Four) =(One Five Four) ( Two Five Four) (TwoOne Four) (Two One Five) (Three Four) (Three Four) =(One Five Four Three) (One Five Four) (Two Five Four
23、 Three) (Two Five Four) (Two One Four Three) (Two One Four) (Two One Five Three) (Two One Five Four) (Three Four) =(One Five Four Three) ( Two Five Four Three) (Two One Four Three) (Two One Five Three Four) (Two One Five Four Three) = (One Three Four Five) ( Two Three Four Five) (One Two Three Four)
24、 (One Two Three Four Five) (One Two Three Four Five) 一班 二班 三班 四班 五班 条件 1 条件 2 条件 3 条件 4 方案一 无 不限 有 有 无 满足 满足 满足 满足 方案二 不限 有 有 有 无 满足 满足 满足 满足 方案三 有 有 有 有 不限 满足 满足 满足 满足 方案四 有 有 无 无 有 满足 满足 满足 满足 方案五 有 有 有 有 有 满足 满足 满足 满足 (1)如果 1班有人选中，则 2班有人选中。 (2)若 5班有人选上则 1班与 2班 均有 人选上。 (3)5班与 4班必有一班有被选中。 (4)3班与 4班
25、同时有人选上或同时没人选上。 按照某位帅哥的质疑，经仔细思考，应该将其转换为主析取范式，所以最终结果为： = (One 1 Three Four Five) (1 Two Three Four Five) (One Two Three Four 1) (One Two Three Four Five) (One Two Three Four Five) = (One Two Three Four Five) (One Two Three Four Five) (One Two Three Four Five) (One Two Three Four Five) (One Two Three F
26、our Five) (One Two Three Four Five) (One Two Three Four Five) (One Two Three Four Five) =(One Two Three Four Five) (One Two Three Four Five) (One Two Three Four Five) (One Two Three Four Five) (One Two Three Four Five) 一班 二班 三班 四班 五班 条件 1 条件 2 条件 3 条件 4 方案一 无 无 有 有 无 满足 满足 满足 满足 方案二 无 有 有 有 无 满足 满足
27、满足 满足 方案三 有 有 有 有 无 满足 满足 满足 满足 方案四 有 有 有 有 有 满足 满足 满足 满足 方案五 有 有 无 无 有 满足 满足 满足 满足 (1)如果 1班有人选中，则 2班有人选中。 (2)若 5班有人选上则 1班与 2班 均有 人选上。 (3)5班与 4班必有一班有被选中。 (4)3班与 4班同时有人选上或同时没人选上。 4、某公司要从 A、 B、 C、 D、 E选派一些人去参观世博会，必须满足如下条件： (1)若 A去则 B肯定不能去； (2)若 A与 C只能去一个； (3)C与 D两人同去或同不去； (4)若 B去则 C肯定去 (5)若 E去则 B， C，
28、D肯定有一人陪同。 证明：是否存在满足以上条件的人选？若存在则请给出全部方案。 解：这句知表示为： (AB) (A C) (A C) (CD) (BC) (E(B C D) 满足 5个条件，则每个条件的值为真，故其合取为真，将其转换为主析取范式，则可以判断是否有可能的方案。 (AB) (A C) (A C) (CD) (BC) (E(B C D) =(A B) (A C) (A C) (C D) (C D) (E B C D) =(A C) (A C B) (A C B) (C D) (C D) (E B C D) =(A C D) (A B C D ) (A B C D) (E B C D)
29、 =(A C D E ) (A C D B) (A C D) (A B C D E ) (A B C D E) (A B C D) =(A B C D E ) (A B C D E) (A B C D) (A B C D) (A C DE ) (A C D) =(A B C D E ) 5 (A B C D E) (A B C D E) (A B C D E) (A B C D E ) (A B C D E) (A B C D E) (A B C D E) (A B C D E) (A B C D E) (A B C D E) (A B C D E) =(A B C D E ) (A B C
30、D E) (A B C D E) (A B C D E ) (A B C D E) 条件 1 条件 2 条件 3 条件 4 条件 5 (A B C D E) A去 B不 C不 D不 E不 满足 满足 满足 满足 满足 (A B C D E) A不 B不 C去 D去 E不 满足 满足 满足 满足 满足 (A B C D E) A不 B不 C去 D去 E去 满足 满足 满足 满足 满足 (A B C D E) A不 B去 C去 D去 E不去 满足 满足 满足 满足 满足 (A B C D E) A不 B去 C去 D去 E去 满足 满足 满足 满足 满足 习题三 1、利用定义 1.6.1，并利用等值
31、演算或真值表，证明如下各推理式，要注明每步的理由。 1、 (AB) B A (1) B为真 前提条件 (2) AB 为真 前提条件 (3) BA 为真因为 BA AB 为真 (4) A为真 (BA) B A假言推理 2、 (A B) B A (1) B为真 前提条件 (2) (A B)为真前提条件 (3) BA 为真因为 BA A B为真 (4)A为真 (BA) B A假言推理 3、 (AB) (BC) (AC) (1) (AB) 为真 前提条件 (2)(AB) (BA) 为真因 (AB) (AB) (BA) (3) (AB) 为真 由 (2)及合取的定义 (4) (BA) 为真 由 (2)及
32、合取的定义 (5) (BC) 为真 前提条件 (6)(BC) (CB) 为真因 (BC) (BC) (CB) (7) (BC) 为真 由 (6)及合取的定义 (8) (CB) 为真 由 (6)及合取的定义 (9) (CA) 为真 由 (8)(4)及传递律 (10) (AC) 为真 由 (3)(7)及传递律 (11) (AC) 为真 由 (9)(10)及双条件的定义 (4) (AB) ( AB) B (AB) ( AB)B (A B) ( A B ) B (A B) (A B ) B (A B) (A B ) B (A A ) B) B (1 B) B B B 1 故为永真式 (AB) ( AB
33、) B 2、采用定义 1.6.2方法证明如下推理式，并注明每步理由，可采用 CP规则、反证法。 1、 p q， q r， rs ， ps (1) p (2) p q (3) q (1)(2) 的定义，或 (1)(2)分离原则 (4) q r (5) r (4)(5) 的定义，或 (4)(5)分离原则 (6) rs (7) s (5)(6)分离原则 2、 p(qr) ， q(rs) (p q) s (1) (p q) 附加条件 (2) p (1)与 的定义附加条件 (3) q (2)与 的定义附加条件 (4) p(qr) (5) qr (2)与 (4)分离原则 (6) r (3)与 (5)分离原
34、则 (7) q(rs) (8) rs (3)与 (7)分离原则 (9) s (6)与 (8)分离原则 3、 p(qr) ， p， q r s (1) p为真前提条件 (2) p(qr) 为真前提条件 (3) (qr) 为真 (1)(2)假言推理 (4)q为真 前提条件 (5)r为真 (4)(3)假言推理 (6)r s为真 (5)与析取的定义 4、 pq ， (p r) ， rp (1) (p r)为真前提条件 (2) p r为真 (1)与德摩律 (3)rp 为真 与 (2)等值 (4) r为真前提条件 (5) p为真 (4)(3)假言推理 反证法 (1) p为真反证法即假设结论为真 (2)p为
35、真 否定的否定为真 (3)(p r)为真前提条件 (4)p r为真 (3)与德摩律 (5) pr 为真与 (4)等值 (6) r为真 (2)(5)假言推理 (7)r为真 前提条件 显然 (6)(7)矛盾，故假设错了，即 “p为真 ”错了，所以p为真 5、 pq p(p q) (1)p为真 附加前提 (2) pq 为真前提条件 (3)q为真 (1)(2)假言推理 (4) (p q)为真 (1)(3)及合取的性质 6、 qp ， qs ， st ， tr,r p q (1) tr 为真 前提条件 (2) (tr) (rt) 为真与 (1)等值 (3) (rt) 为真 (2)及合取的定义 (4)r为
36、真 前提条件 (5)t为真 (3)(4)假言推理 6 (6) st 为真 前提条件 (7) (st) (ts) 为真与 (6)等值 (8) (ts) 为真 (7)及合取的定义 (9)s为真 (5)(8)与假言推理 (10) qs 为真 前提条件 (11) (qs) (sq) 为真与 (10)等值 (12) (sq) 为真 (11)与合取的定义 (13)q为真 (9)(12)与假言推理 (14) qp 为真 前提条件 (15)p为真 (13)(14)假言推理 (16)p q为真 (13)(15)及合取的定义 7、 pr ， qs ， p q r s (1) p q为真 前提条件 (2)p为真 (
37、1)与合取的性质 (3)q为真 (1)与合取的性制 (4) pr 为真 前提条件 (5)r为真 (2)(4)假言推理 (6) qs 为真 前提条件 (7)s为真 (3)(6)及假言推理 (8) r s为真 (5)(7)及合取的性质 8、 p r， q s， p qt r s (1)t为真 附件前提 (2) p q为真前提条件 (3)p为真 (2)与合取的定义 (4)q为真 (2)与合取的定义 (5) p r为真前提条件 (6)pr 为真与 (5)等值 (7)r为真 (6)(3)与假言推理 (8) q s为真前提条件 (9) qs 为真与 (8)等值 (10)s为真 (9)(4)与假言推理 (1
38、1) r s为真 (7)(10)与合取的性质 9、 p (qr) ， sp ， q sr (1)s为真 附加前提 (2) sp 为真前提条件 (3)p为真 (1)(2)假言推理 (4) p (qr) 为真前提条件 (5) (qr) 为真 (3)(4)假言推理 (6)q为真 前提条件 (7)r为真 (5)(6)假言推理 10、 (p q) (r s)， (s t) u pu (1)p为真 附加前提 (2)p q为真 (1)及析取的性质 (3) (p q) (r s)为真前提条件 (4) (r s)为真 (2)(3)与假言推理 (5)s为真 (4)与合取的定义 (6) (s t)为真 (5)与析取
39、的定义 (7) (s t) u 为真前提条件 (8)u为真 (6)(7)假言推理 11、 pq ， r q， r s p 反证法 (1) p为真 结论的否定 (2)p为真 (1)的否定之否定 (3) pq 为真前提条件 (4) q为真 (2)(3)假言推理 (5) r q为真 前提条件 (6) qr 为真与 (5)等值 (7) r为真 (4)(6)假言推理 (8) r s为真 前提条件 (9) r为真 (8)及合取的定义 故 (7)(9)矛盾，从而假设 “p为真 ”是错的，只能 “p为假 ”，所以 p为真 12、 p q， pr ， qs r s 结论为 r srs ，所以上式等价于证明 p
40、q， pr ， qs rs (1) r为真附加条件 (2) pr 为真前提条件 (3) rp 为真与 (2)等值 (4) p为真 (1)(3)假言推理 (5) p q为真前提条件 (6) pq 为真与 (5)等值 (7)q为真 (4)(6)与假言推理 (8) qs 为真前提条件 (9)s为真 (7)(8)与假言推理 3、将下面各段话用命题逻辑公式表示，并构造其自然逻辑的证明过程。 (1)只要 A曾到过受害者的房间，并且 11点以前没有离开， A就是谋杀嫌犯。 A曾到过受害者房间。如果 A在 11点前离开，看门人会看见他。看门人没看见他。所以 A是谋杀嫌犯。 解： P1表示 “A曾到过受害者的房间 ” P2表示 “A人 11点以前离开 ” P3表示 “A是谋杀嫌犯 ” P4表示 “看门人看见 A” 则以上语句表示： (P1 P2)P3 ， P1， P2P4 ， P4P3 (1) P4为真 前提条件 (2) P2P4 为真 前提条件 (3) P4P2 为真与 (2)等值 (4) P2为真 (1)(3)进行假言推理 (5)P1为真 前提条件 (6) (P1 P2)为真 (4)(5)与合取的定义 (7) (P1 P2)P3 为真前提条件
