1、第12卷第2期(2007) 甘音高，午孑拒 V0112 No2(2007)球坐标距离公式、球心角公式及其应用彭康青 李迎祥(陇南师范高等专科学校，甘肃成县742500)(甘肃省文县城关中学，甘肃文县746400)摘 要：推出球坐标下两点的距离公式和球心角公式并给出它们的几点应用。关键词：球坐标；空间直角坐标；地理坐标(经度、纬度)；球心解公式中图分类号：01751 文献标识码：A 文章编号：10089020(2007)02一083一01众所周知，空间直角坐标系下两点M。(x，y，z。)与M2(x2，动的距离是：(1)L=、(】【2一x。)+(y：一y，)“+(z2一z1)_；点P的直角坐标(x
2、，y，z)与点P的球坐标(1，织0)之间的关系【-姓f x=1cos 0 cos巧(2) y=cos e sin移 (显然：x+y+z产r)(参照图1)I z=Y sin 0其中：ro，一导o，一宵p叮T；(p称为经度，o称为纬度)，因此：二 上f xl=rlcosOlcospl f x2=功cos02cos谚2yl=即0se。sin口l，=即ososin如代人(1)并化简可得【zl_rlsinol I z产r2sin02(3)L=、rlr222(xlx+yly寸zlz0(4)L=、rl+rf一2rIr如oselcos0筘os(妒口1)+sinolsinod(4)就是球坐标下的两点距离公式，简
3、称“球坐标距离公式”。图1设耐。与耐：所夹的角为书，I耐。b“I耐：l_r(参照图2)，对oM。M：使用余弦定理得：L=、寻面叠甄i石万；分别与(3)和(4)对比，可得0h图2例1北京在东经11640(设地球半径R=6370千米)cos击：!兰望!生垒r1 r2cos书=cosOlcos02cos(02一01)+sinOlsin02；巾：黜c。s!生型垒警Ilj2耷=arccos【coselcose种螗谚1)+sinolsinod(7)是向量分析中常用的两向量夹角公式。(8)可看作球坐标下起点在坐标原点的两向量夹角公式，简称为“球心角公式”。，北纬399。；昆明在东经1024。，北纬251。；
4、求从北京到昆明的球面距离(大圆劣弧弧长)。解：在用本文所选的球坐标计算地理问题时需注意：东经和北纬的度数为正，西经和南纬的度数为负。本题中，可取0。=399。，口。=1164。；0 F251。，巧F1024。代入球心角公式(8)得：巾=arccos【cos 0 1cO 2cos盼口1)+sin 0 isiIl 0司一arccos09462=O3298弧度，S=R书=6370O32982101千米答：北京到昆明的球面距离约为2101千米。参考文献：1】杨大淳解析几何北京师范大学出版社，1987收稿日期：20070120作者简介：彭康青(1968一)，女，甘肃康县人，陇南师范高等专科学校数学系副教
5、授。责任编辑：蒲向明83J、，、，5678，L，L，L，Ll聃万方数据球坐标距离公式、球心角公式及其应用作者： 彭康青， 李迎祥作者单位： 彭康青(陇南师范高等专科学校,甘肃成县,742500)， 李迎祥(甘肃省文县城关中学,甘肃文县,746400)刊名： 甘肃高师学报英文刊名： JOURNAL OF GANSU NORMAL COLLEGES年，卷(期)： 2007，12(2)引用次数： 0次参考文献(1条)1.杨大淳 解析几何 1987相似文献(3条)1.期刊论文 吕建涛.Lu Jiantao GPS控制网坐标系的设置及对导线精度的影响 -金属矿山2008(1)GPS测量得到的是WGS-8
6、4地心空间直角坐标,在工程施工中通常使用地方独立坐标系,WGS-84坐标与大地坐标和独立坐标可采用叶雪安两椭球坐标转换原理及平面或空间转换模型进行转换,但在某控制网工程测量中应用南方GPS软件进行数据处理,发现导线精度较差,对此,对GPS网两种坐标系下的二维基线平差结果进行了对比,对导线的平差结果进行了分析,得出使用GPS建立独立控制网应当使数据处理时的坐标系与后续使用常规手段加密控制网坐标系相一致.2.期刊论文 彭玉忠 中学数学几种新增坐标系的构造及其应用 -湘潭师范学院学报（自然科学版）2009,31(1)鉴于新课程高中数学增加了空间直角坐标系、极坐标系和球坐标系,就这几个坐标系的构造方法
7、、点与坐标的对应关系分别进行了阐述,并对如下问题归纳出一般结果:利用空间向量解决立体几何中的线、面关系、空间角和空间距离的计算;利用极坐标表达直线、圆、圆锥曲线等平面曲线的方程;构建地理坐标系并得到球坐标系与地理坐标系两种坐标的换算关系.3.学位论文 申传明 建立独立坐标系的几种方法探讨 2007无论我国在用的大地坐标系还是将来采用新的大地坐标系，其本质上是地球椭球参数发生了变化。而将椭球面上的参心或地心大地坐标，运用一定的数学法则可以变换成平面上的平面直角坐标。我国1952年开始正式将高斯投影作为国家大地测量和地形图的基本投影，采用高斯克吕格平面直角坐标系。该坐标系用x表示纵轴，y表示横轴。
8、点的高斯克吕格平面直角坐标是通过高斯克吕格投影计算得到的。另外，我国大地测量法和有关测量规范中明确规定，国家大地测量控制网依高斯投影方法按3带或6带进行分带和计算方法，并把观测成果归算到参考椭球面上。这样规定，不但符合高斯投影的分带原则和计算方法，与国际惯例相一致，而且也便于大地测量成果的统一、使用和互算。对于国家大地测量控制网来说，按上述规定建立和采用坐标系具有实用、普遍及深远的意义。但由于我国国土辽阔，地势复杂，我国的大地坐标系统又存在诸多缺点，因此，在我国，对于大部分城市和地区布设城市测量控制网大部分都采用任意带的独立高斯投影平面直角坐标系，归算测量结果的参考面也是根据需要选定的。对于工
9、程测量，其中包括城市测量或线路测量，既有测制大比例尺图的任务，又有满足各种工程建设和市政建设施工放样工作的要求。如何根据这些目的和要求合适地选择投影面和投影带亦即如何经济、合理地确立工程平面控制网的坐标系，目前尚无统一的规定和明确的条文。近年来，独立坐标系统的建立和大地坐标系的转换越来越引起测绘界的关注。54与80的转换、WGS84与他们之间的转换、54、80和WGS84与独立坐标系的转换等等。如何建立适合城市建设和线路工程的独立坐标系是我们测绘工作者需要解决的实际问题。独立坐标系在工程测量中的应用越来越广泛，其主要目的是为了满足投影变形小于2.5cm/km的要求。因此必须采取平移中央经线、变
10、换投影面或二者兼顾的方法来建立独立坐标系。投影面的变换问题是建立独立坐标系的关键问题，它包括独立坐标系投影面的选择和投影面变换后产生的新参考椭球参数的确定问题。本文就对以上关键问题进行了研究，采用椭球平移法、椭球膨胀法以及扩大变形法三种方法来建立新的参考随球，通过一系列的坐标转换计算对这三种方法进行了探讨，找出最合适线路测绘工程的方法。在变换过程中涉及到的独立坐标系投影面的选择在Excel中完成；空间直角坐标系与大地坐标系的转换、球面坐标与平面坐标的转换、大地坐标间的转换用fx-4800编程来计算。全文各部分的主要内容安排如下：第一章为绪论部分。主要介绍地球坐标参照系的研究现状、发展趋势及存在
11、的问题，阐述了选题的意义、来源和本文的主要研究内容；第二章对地球椭球面上的坐标进行论述。介绍了地球椭球和地球坐标参照系、椭球面上的几种曲率半径的一些基本概念和椭球面上常用坐的标系及其相互关系。第三章对平面坐标进行论述。介绍我国采用的投影方法高斯投影及独立坐标系建立的原则和思路。阐述了工程测量中投影面的选择问题和采用的直角坐标系。第四章为本文的重点，探讨建立独立坐标系的几种方法。首先介绍用Excel选取投影面的步骤；其次用fx-4800p编程实现相应坐标的转换；然后介绍椭球平移法、椭球膨胀法、扩大变形法三种方法的基本思想，并进行一系列的计算；最后对这三种方法进行了比较。第五章对全文的研究工作进行
12、了总结，得出了相应的结论，对今后的发展进行了展望。第一章为概论，主要叙述本论文要探讨的问题；第二、三章是理论部分为第四章的研究和探讨打下了基础；第四章以前面的理论为基础结合具体的测区进行探讨分析，将理论与实际进行结合。最后得出以下结论：1.应用电子表格进行独立坐标系中央子午线和高程投影面的选择快捷、方便，一目了然，具有很强的实用价值，这种方法在连环计算时值得推广，比程序计算效率还高。各种曲率半径、椭球参数均可在其中进行；2.fx-4800P是一种计算功能较强的计算工具，适用性广、携带方便，在踏勘、检查、设计中有一定的实用价值。文中编的两种坐标转换程序计算快、精度高、易于读，比较实用，这种编程的
13、思路对其他程序的编制也有借鉴作用；3.独立坐标系所采用的新参考椭球可用三种方法椭球平移法、椭球膨胀法和扩大变形法来确定。三种方法均可达到预期的目的；4.三种方法中椭球膨胀法更为方便。通过大量计算可得其新参考椭球的长半轴a1=a+Hn(Hn为投影高程面的大地高)，扁率1=A-B/A，其中A=N+HnB=(1-)2N+Hn。此种方法最大的优点就是投影前的经纬度与膨胀前的经纬度十分相近，在实际中可以忽略不计，使计算简化，便于操作；5.扩大变形法的新参考椭球的长半轴a1=a+Hn1-(2-2)sin2B，扁率不变。这种方法的缺点就是投影前的经纬度与扩大前的经纬度发生了较大变化，计算不便；6.三种直接方法所得出的指定高程面上的平面坐标，在坐标间的相对关系上是基本一致的，均较好的消除了投影变形，与实地测的值是一致的，有利于工程的使用；7.对参考文献1中关于椭球膨胀法新椭球长半轴a1=N+Hn/1-e2sin2B的公式进行了分析和比对，认为此式应修正为a1=a+Hn；8.本文的结论在实际工作中有利于提高生产效率，特别对战线较长的线路测量意义更大。这体现了工程硕士的本质要求。本文链接：http:/
