1、习题 2-2一打入基地内的木桩如图所示，杆轴单位长度的摩擦力 f=kx*2，试做木桩的后力图。解：由题意可得： 3302110,/()/()llNfdxFkFldx有习题 2-3 石砌桥墩的墩身高 ，其横截面面尺寸如图所示。荷载 ，mkNF10材料的密度 ，试求墩身底部横截面上的压应力。3/5.2kg解：墩身底面的轴力为： 2-3 图gAlFGN)( )(942.3108.5210)4.32102 kN墩身底面积： )(49( 2m因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。 MPakamkNA3.071.314.9230习题 2-7 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。2-7
2、图解：取长度为 截离体（微元体） 。则微元体的伸长量为： dx，)()(EAFlll xAdEFx00)()(， ，lxr12 21212lrlr，2212)( udlA dxludxld2)( 11，dulx12 )()( 22121udlulxA因此， )()()()( 202100 EFlxFEl lll ll dxldludl 0121021 )()( 22)( 111 dldEFl121)(l 214EFl习题 2-10 受轴向拉力 F 作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性常数为 ，试,E求 C 与 D 两点间的距离改变量 。CD解： EAF/式中， ，故：aaA4)()(22
3、EaF4， 4，EFaaCD125)(432315)()(24323 a EFaCD403.1421)()( 习题 2-11 图示结构中， AB 为水平放置的刚性杆，杆 1，2，3 材料相同，其弹性模量，已知 ， ， ， 。试求GPaE210ml12210mA50AkNF20C 点的水平位移和铅垂位移。2-11 图解：（1）求各杆的轴力以 AB 杆为研究对象，其受力图如图所示。因为 AB 平衡，所以， ，0X045cos3N3受力图 变形协调图由对称性可知， ，0CH )(1025021 kNFN（2）求 C 点的水平位移与铅垂位移。 A 点的铅垂位移： mmEAl 476./221B 点的铅
4、垂位移： Nll .01/20222 1、2、3 杆的变形协（谐）调的情况如图所示。由 1、2、3 杆的变形协（谐）调条件，并且考虑到 AB 为刚性杆，可以得到C 点的水平位移： )(476.05tan1mloBHACHC 点的铅垂位移： )(476.01ml习题 2-12 图示实心圆杆 AB 和 AC 在 A 点以铰相连接，在 A 点作用有铅垂向下的力。已知杆 AB 和 AC 的直径分别为 和 ，钢的弹性模量kNF35d12md152。试求 A 点在铅垂方向的位移。GPaE210解：（1）求 AB、AC 杆的轴力以节点 A 为研究对象，其受力图如图所示。 由平衡条件得出：0X045sin30
5、sinoABoCN(a)A2：Y3coscosABC(b)703AN(a) (b)联立解得：；kAB1.8kNAC621.52（2）由变形能原理求 A 点的铅垂方向的位移212ElNlF)(212AllA式中， ；)(145sin/10mlo )(1603sin/802 mlo；23.32A 22754.A故： )(36.1)710561087(52习题 2-13 图示 A 和 B 两点之间原有水平方向的一根直径 的钢丝，在钢丝的中md1点 C 加一竖向荷载 F。已知钢丝产生的线应变为 ，其材料的弹性模量035.，GPaE210钢丝的自重不计。试求： （1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉
6、，在断裂前可认为符合胡克定律） ；（2）钢丝在 C 点下降的距离 ；（3）荷载 F 的值。解：（1）求钢丝横截面上的应力)(7350.21MPaE（2）求钢丝在 C 点下降的距离。其中，AC 和 BC 各 。)(21mlANl m5.396507.103coso834).ar()(.7tnmo（3）求荷载 F 的值以 C 结点为研究对象，由其平稀衡条件可得：0Y0si2PaNnAP )(239.678.4si1.35702 N习题 2-15水平刚性杆 AB 由三根 BC,BD 和 ED 支撑，如图，在杆的 A 端承受铅垂荷载F=20KN,三根钢杆的横截面积分别为 A1=12 平方毫米，A2=6
7、 平方毫米，A,3=9 平方毫米，杆的弹性模量 E=210Gpa，求：（1） 端点 A 的水平和铅垂位移。（2） 应用功能原理求端点 A 的铅垂位移。解：（1）303233110312311 171962,/()/(/)cos45in060,0.53.8724llNNNfdxFklkdxlFFKKNFlEAll 有由 胡 克 定 理 ，x2y21.4730ll 从 而 得 ， ， （ ）（2） y12y+0.VFAlFl（ ）习题 2-17 简单桁架及其受力如图所示，水平杆 BC 的长度 保持不变，斜杆 AB 的长度l可随夹角 的变化而改变。两杆由同一种材料制造，且材料的许用拉应力和许用压应力
8、相等。要求两杆内的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求：（1）两杆的夹角；（2）两杆横截面面积的比值。解：（1）求轴力取节点 B 为研究对象，由其平衡条件得：0YsinFNABi0XcosBCABN2-17cotsinFC（2）求工作应力sinABABFNBCBCcot（3）求杆系的总重量。 是重力密度（简称重度，单位： ） 。)(BABllVW 3/mkN)cos(llBCAB1l（4）代入题设条件求两杆的夹角条件： ，sinABABFNsinFAB， cotBCBC cotBC条件： 的总重量为最小。W)cos1(BABl )cos1(BCABl)tinFl )sincoi(
9、lcosi12Fl2sinco1l从 的表达式可知， 是 角的一元函数。当 的一阶导数等于零时， 取得WWW最小值。 02sin2cos)1(ics22 ld0o3sin2 cs2，1cos3.，o4709).ar(2 45.o（5）求两杆横截面面积的比值，sinFABcotABCcos1tsicotiFBCA因为： ， ，12332312，coscos所以： 3BCA习题 2-18 一桁架如图所示。各杆都由两个等边角钢组成。已知材料的许用应力，试选择 AC 和 CD 的角MPa170钢型号。解：（1）求支座反力由对称性可知，)(20kNRBA（2）求 AC 杆和 CD 杆的轴力以 A 节点为
10、研究对象，由其平衡条件得：2-180YcosACNR)(67.35/2inkN以 C 节点为研究对象，由其平衡条件得：0XcosACDN)(3.295/430kN（3）由强度条件确定 AC、CD 杆的角钢型号AC 杆：222569.18.156/17036 cmmNAC 选用 2 （面积 ） 。827cCD 杆：222 5.148.15/17093 cmmNACD选用 2 （面积 ） 。6529.7.c习题 2-19 一结构受力如图所示，杆件 AB、CD、EF、GH 都由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力 ，材料的弹性模MPa170量 ，杆 AC 及 EG 可视为刚性的。试GPaE210选
11、择各杆的角钢型号，并分别求点 D、C、A 处的铅垂位移 、 、 。DCA解：（1）求各杆的轴力)(2403.kNNAB680CDFM2-1902.15.30GHN)(74)4(1kNY03617EFN)(8kN（2）由强度条件确定 AC、CD 杆的角钢型号AB 杆：2221.4765.14/1704 cmmAB 选用 2 （面积 ） 。569024.12.7cmCD 杆：22259.39.3/17mNACD选用 2 （面积 ） 。5402781cmEF 杆：22241.0.094/1786 cmNAEF选用 2 （面积 ） 。54028mGH 杆：22235.1059.103/17 cmNAG
12、H选用 2 （面积 ） 。54028.6.m（3）求点 D、C、A 处的铅垂位移 、 、DCA)(7.2694.1203ElNlAB )(0.786mllCD)(5.1210EAlNlF)(47.874mllGHEG 杆的变形协调图如图所示。 38.1GHEFDl.47.1580.)(mD)(45.2907.5.mlCDC)(7.2mlAB习题 2-21 （1）刚性梁 AB 用两根钢杆 AC、BD 悬挂着，其受力如图所示。已知钢杆AC 和 BD 的直径分别为 和 ，钢的许用应力 ，弹性md251d182 MPa170模量 。试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形 、 及 A、B 两点的GPaE20
13、 AClD竖向位移 、 。AB解：（1）校核钢杆的强度 求轴力)(67.105.43kNNAC3B 计算工作应力2514.2067mACMPa8.1352-2128.3NNBD07. 因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力 170MPa，即 ；AC，所以 AC 及 BD 杆的强度足够，不会发生破坏。BD（2）计算 、AClBD)(618.25.4902167mENlA)(.3.llBD（3）计算 A、B 两点的竖向位移 、AB，)(618.mlC)(560.1mlD习题 3-2 实心圆轴的直径 ，长 ，其两端所受外力偶矩 ，md10l1mkNMe14材料的切变模量 。试求：GPa8（1）最大切
14、应力及两端面间的相对转角；（2）图示截面上 A、B、C 三点处切应力的数值及方向；（3）C 点处的切应变。解：（1）计算最大切应力及两端面间的相对转角。peWMTmax式中， 。 3-2)(196340145.361 33 md故： MPamNpe 2.7903max，式中， 。pGIlT )(9817460145.21 444dI 故： op radmmNIl 02.)(25.1098746/1084229 （2）求图示截面上 A、B、C 三点处切应力的数值及方向， 由横截面上切应力分布规律可知：MPaA3.7ax， A、B 、C 三点的切应力方向如图所BC6.502151示。（3）计算 C
15、 点处的切应变343 106.1057.1086. MPaG习题 3-3 空心钢轴的外径 ，内径 。已知间距为 的两横mDmdml7.2截面的相对扭转角 ，材料的切变模量 。试求：o.GPa8（1）轴内的最大切应力；（2）当轴以 的速度旋转时，轴所传递的功率。in/80r解；（1）计算轴内的最大切应力。)(920387)5.1(01459.32)1(3 4444 mDIp )(18407)5.(10459.316)(16 3343 mDWp 式中， 。d/，pGIlTmmNl 270920387/81/459.3814mN.560)(6.kMPaWTp 518.418475.33max （2）
16、当轴以 的速度旋转时，轴所传递的功率in/0r)(56.80599mkNNMTkke )(74.1./80563. Wk 习题 3-5 图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力 F 均为0.2kN，已知轴材料的许用切应力 ，MPa40试求：（1）AB 轴的直径；（2）绞车所能吊起的最大重量。解：（1）计算 AB 轴的直径AB 轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶矩相等：)(08.42.mkNMee 右左16右主 动 轮扭矩图如图所示。 3-5由 AB 轴的强度条件得：3maxdWepe右右 mNMde 7.21/40159.861633 右（2）计算绞车所能吊起的最大重量
17、主动轮与从动轮之间的啮合力相等：，35.0.从 动 轮主 动 轮 eeM )(28.016.2035mkNe 从 动 轮由卷扬机转筒的平衡条件得：，从 动 轮eP2. 8P)(1.5./习题 3-6 已知钻探机钻杆（参看题 3-2 图）的外径 ，内径 ，功率mD60md0，转速 ，钻杆入土深度 ，钻杆材料的kW35.7min/180rl4，许用切应力 。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，GMPa80MPa4试求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度 ；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）两端截面的相对扭转角。解：（1）求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度 m)(390.185.7
18、49.5.9kNnNMke 设钻杆轴为 轴，则： ， ， xxMel)/(0975.43. mklme（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核作钻杆扭矩图。xxxT0975.43.)(40,； 0)()(mkNMe扭矩图如图所示。强度校核， peWmax式中， )(21958)60(11459.36)1(6 34343 mDp MPaNMpe 7.295803max因为 ， ，即 ，所以轴的强度足够，Pa761.ax40max不会发生破坏。（3）计算两端截面的相对扭转角 40)(pGIdxT式中， )(65872)0(161459.32)1(32 4444 mD 400 122640 /089.9
19、7.|)(| xmkNxdIIdxTpp 05.8)(1.ra习题 3-8 直径 的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶 ，而在md0 mkNMe6圆杆表面上的 A 点将移动到 A1 点，如图所示。已知 ，圆杆材料的弹性As31模量 ，试求泊松比 （提示：各向同性材料的三个弹性常数 E、G、 间存GPaE21 在如下关系： 。)(E解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩：。设 两截面之间的相对对转角mkNMTe61,O为 ，则 ， ， 2dssdsGIlTP2式 中， )(61359201459.331 444 mp 3-8GPaMamNsIdlTGp 487.1372.81436159250024由
20、得：)1(E9.7.G习题 3-10 长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者的材料相同，受力情况也一样。实心轴直径为 d；空心轴的外径为 D，内径为 d0，且。试求当空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力（ ） ，8.0Dd max扭矩 T 相等时的重量比和刚度比。解：（1）求空心圆轴的最大切应力，并求 D。pWmax式中， ，故： )1(643D.27)8.0(343max, T空3-101.273T（1）求实心圆轴的最大切应力，式中， ，故：pWmax 316dp163max, dT实， ，163Td975.27)(3TdD92.D（3）求空心圆轴与实心圆轴的重
21、量比512.09.360)(.)8.01()25.0)( 222220 ddlW实空（4）求空心圆轴与实心圆轴的刚度比，4445.)8.1(3DDIp 空 441.32dIp实 9190.)(90.025. 444 ddGIp实空习题 3-11 全长为 ，两端面直径分别为 的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩l 21,eM，如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。解：如图所示，取微元体 ，则其两端面之间的扭转角为：dxPeGIdx式中， 4321plxr122121dxlrl 12ldd4124)(uxl，dlu12dl12故： lelelelpelpe udGMduluGMdxIxGMId 04
22、1212040400 )(33 lelele dxldludlud 03121203120412 )()(3)(3 = 3213212131212 )()(3 GMddGlMdGlMeee习题 3-12 已知实心圆轴的转速 ，传递的功率 ，轴材料的许min/0rkWp0用切应力 ，切变模量 。若要求在 2m 长度的相对扭转角不超过Pa60Pa8，试求该轴的直径。o1解： 1pePGIlMlT式中， ； 。故：)(504.135499mkNnNke 4321dIp，GlIep180Glde8324 mmNlMde 29.1/801.3205442642 取 。md3.1习题 3-16 一端固定的
23、圆截面杆 AB，承受集度为 的均布外m力偶作用，如图所示。试求杆内积蓄的应变能。已矩材料的切变模量为 G。解： GdxxIdxTVp 42422 163)( 3-16pl IlmdldlmxGd621616 3243242024 习题 3-18 一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力 F 如图，簧丝直径 ，材料的md10许用切应力 ，切变模量为 G，弹簧的有效圈数为 。试求：MPa5 n（1）弹簧的许可切应力；（2）证明弹簧的伸长 。)(1621214Rdn解：（1）求弹簧的许可应力用截面法，以以簧杆的任意截面取出上面部分为截离体。由平衡条件可知，在簧杆横截面上：剪力 扭矩FQRT最大扭矩： 2ma
24、x，)41(614232322ax“ax RdFdFWAp NmRdF .957)104(106/5.3)41(6223 因为 ，所以上式中小括号里的第二项，即由/0/DQ 所产生的剪应力可以忽略不计。此时 NNRdF 25.981106/5.3)41(6 23223 （2）证明弹簧的伸长 )(1621214RGdFn外力功： ， W2pIdTU dnRGIFRIFGIdRFUnpnpnp 32012120320 )() 1244Ip，UW124RGInFp)(62 21214124dRIp 习题 3-19 图示矩形截面钢杆承受一对外力偶 。已知材料的切变模量mkNMe3，试求：GPa80（1
25、） 杆内最大切应力的大小、位置和方向；（2） 横截面短边中点处的切应力；（3） 杆的单位长度扭转角。解：（1）求杆内最大切应力的大小、位置和方向， ， ， 由表得 ， ，长边中点处的切应力，在上面，由外指向里（2）计算横截面短边中点处的切应力MPa短边中点处的切应力，在前面由上往上（3）求单位长度的转角单位长度的转角习题 3-23 图示为薄壁杆的的两种不同形状的横截面，其壁厚及管壁中线的周长均相同。两杆的长度和材料也相同，当在两端承受相同的一对扭转外力偶矩时，试求：（1） 最大切应力之比；（2） 相对扭转角之比。解：（1）求最大切应力之比开口： teIM开 口max,303021rrIt依题意
26、： ，故：a42330304arrIt 23max,MIMeete开 口闭口： ，20ax, aAee闭 口 23432max, ae闭 口开 口（3） 求相对扭转角之比开口： ， 3303021rrIt 3 4GaMITetet开 口闭口： 342020 4GaMGAsTseee闭 口23 44aMGaee闭 口开 口4-1 试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩a（5）=h（4） 0010 02220 02341214, 3RABSSqFaMqaqaFqab（5）=f（4）4-2 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图a（5）=a（4）b（5）=b（4）f（5）=f（4）4-
27、3 试利用载荷集度，剪力和弯矩间的微分关系做下列各梁的弯矩图和剪力 e 和 f 题）（e） （f） （h）4-4 试做下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。4-4 （b） 4-5 （b）4-5根据弯矩、剪力与荷载集度之间的关系指出下列玩具和剪力图的错误之处，并改正。4-6已知简支梁的剪力图如图所示，试做梁的弯矩图和荷载图，梁上五集中力偶作用。4-6（a） 4-7（a）4-7根据图示梁的弯矩图做出剪力图和荷载图。4-8 用叠加法做梁的弯矩图。4-8（b） 4-8（c）4-9选择合适的方法，做弯矩图和剪力图。4-9（b） 4-9（c）4-104-14长度 l=2m 的均匀圆木，欲锯做 Fa=0.6m 的一段，为使锯口处两端面开裂最小，硬是锯口处弯矩为零，现将圆木放在两只锯木架上，一只锯木架放在圆木一段，试求另一只锯木架应放位置。x=0.4615m4-184-19M=30KN4-214-234-254-28
