1、 - 1 - 参赛密码 （由组委会填写） 全全 第第 十十 届届 华华 为为 杯杯 全全 国国 研研 究究 生生 数数 学学 建建 模模 竞竞 赛赛 学 校 河海大学 参赛队号 10294006 队员姓名 1.单彬彬 2.胡腾飞 3.付修庆 - 2 - 参赛密码 （由组委会填写） 第第 十十 届届 华华 为为 杯杯 全全 国国 研研 究究 生生 数数 学学 建建 模模 竞竞 赛赛 题 目 空气中 PM2.5 问题研究 摘 要：本文从 PM2.5的相关因素分析、 PM2.5 的分布与演变及应急处理及 PM2.5 的空气含量控制管理三个方面对 PM2.5 进行了相关研究。在相关性分析中， PM2.
2、5的浓度含量与 CO的浓度含量高度相关；与SO2 、 NO2、 PM10 三者 中度相关；与 O3低度相关 。 在 PM2.5 的分布与演变及应急处理中，考虑天气和季节等影响因素，利用灰箱模型和点源模型，建立多元时空模型，分别对 PM2.5 的分布与演变及应急情况进行分析，并给出污染评估。在空气中 PM2.5 的含量控制管理中，考虑到 每年年终平均治理浓度与当年的 PM2.5 浓度有关，及实际的污染排放情况，建立 PM2.5 治理模型，并给出每年的的年终平均治理指标分别为： 135.25、 124.50、 84.27、 59.22、 41.779(单位 3/gm )。 最后根据每年治理指标，采
3、用多元优化模型指定治理计划，使经费投入较为合理，给出五年总投入经费 221.5159 百万元及- 2 - 逐年经费投入分别为： 85.25、 74.5、 35.5072、 17.535、 8.7237（单位 百万元），并进行方案合理性分析。 关键词 ： PM2.5 相关性 扩散 预测评估 治理指标 经费 - 3 - 一、问题的重述 1.1 问题由来 2012 年 2 月 29 日，环境部发布与实施新空气质量监测标准。在新标准中，首次将产生灰霾的主要因素 对人类健康危害极大的细颗粒物 PM2.5 的浓度指标作为空气质量监测指标。由于细颗粒物 PM2.5 进入公众视线的时间较短，在学术界也是新课题
4、，尤其是对细颗粒物 PM2.5 及相关因素的统计数据还很少，对细颗粒物 PM2.5 的客观规律也了解得很不够。但我们不能因此放慢前进的脚步，我们要千方百计的利用现有的数据开展 PM2.5 相关问题的研究。 1.2 问题要求 （ 1）依据附附件中的数据或自行采集的数据进行分析。 （ 2） 定量分析 AQI 中的基本监测指标的相关性。 （ 3） 合理考虑风力、湿度等天气和季节因素的影响 。 （ 4） 突发状况为全地区 PM2.5 浓度最高点处浓度增至 2 倍，持续 2 小时。 （ 4） 治理指标达到最终年终平均浓度统计指标 335 /gm 。 （ 5） 治理计划既能达到减排指标，又能使经费投入较为
5、合理。 1.3 问题的提出 （ 1）利用或建立适当模型，对 AQI中 的 6个基本监测指标的相关与独立性进行定量分析，尤其是对其中 PM2.5（含量）与其它 5项分指标及其对应的污染物（含量）之间的相关性进行分析。 （ 2）描述该地区内 PM2.5 的时空分布及其规律，并结合环保部新修订的环境空气质量标准分区进行污染评估。 （ 3） 建立能刻画该地区 PM2.5 的发生和演变规律的数学模型，并利用该地区的数据进行定量与定性分析。 （ 4） 建立针对突发情况的污染扩散预测和评估的方法，并利用模型针对突发状况进行预测评估，给出重度污染和可能安全区域。 （ 5） 采用适当方法检验模 型和方法的合理性
6、，并根据已有成果探索 PM2.5 的成因、演变等一般性规律。 （ 6）给出合理的治理计划，即给出每年年终平均治理指标。 （ 7）给出五年投入总经费和逐年投入预算计划，并讨论该方案的合理性。 二、问题的假设 1、 武汉市年 PM2.5 治理当年的年排放量为 360 /gm ，在治理过程中每年减少排放量 310 /gm ，考虑到排放量不能取幅值，在此只是一个简单的简化 。 2、 在治理过程中，每年治理的平均浓度与当年的浓度呈正比。 3、 将每年 的排放量放到年初计算。 4、在突发情况时， 假设浓度增大的监测点是一个连续的点源。 5、 在突发情况时， 假设这个点源是一个地面连续点源 。 - 4 -
7、三、符号说明 PIAQI 污染物项目 P的空气质量分指数； PC 污染物项目 P的质量浓度值； HiBP 文献 2中表 1中与 PC 相近的污染物浓度限值的最高值； LoBP 文献 2中表 1中与 PC 相近的污染物浓度限值的最低值； HiIAQI 文献 2中表 1中与 HiBP 对应的空气质量分指数； LoIAQI 文献 2中表 1中与 LoBP 对应的空气质量分指数； i : 气体污染物沿 i方向上的湍流系数 iu : 气体沿 i方向上的速度 Q： 污染源强度 i ： 气体沿 i方向的扩散系数 iixs、 第 i 年 PM2.5 综合治理和年终平均治理指标 四、问题的分析 4.1 对问题
8、1的分析 鉴于西安市环境监测数据系列的不完整性，可能不能全面、客观的反映该地区的环境质量时空分布状况，于是我们从武汉环保中心网站下载相关环境监测数据（部分监测数据见附件 1），并根据这些数据进行相关性及独立性定量分析。 监测数据中给出的都是各监测指标的分指数，首先需要对数据进行处理，将各指标的分指数转换成浓度，然后再进行 PM2.5与其他指标的相关性分析。 4.2 对问题 2的分析 描述武汉地区 PM2.5 的时空分布即给出武汉地区 PM2.5 在时间和空间上的分布，一个时刻上该地区 PM2.5 存在一个空间分布特征，一个空间上该地区PM2.5 存在一个时间分布特征，在此，我们将时间简化成四个
9、季节，分别给出四个季节该地区 PM2.5 的空间分布特征图，然后根据分布图及季节描述其时空规律，最后按环保部新修订的环境空气质量标准进行分区污染评估。 4.3 对问题 3的分析 问题 3 是在问题 1 和问题 2 完成的基础上提出的一个刻画该地区 PM2.5 的发生和演变规律的数学模型。通常，刻画 PM2.5 发生和演变的数学模型包括灰- 5 - 箱模型及基于扩散理论和质量守恒的已知污染源和考虑其它影响因素的数学表达式模型。考虑本地区情况，污染源类型包括很多，如固定源、流动源、无组织排放源等，而且污染源的个数不单一、位置不确定、排放量不易监测，因此仅仅进行点源简单的简化叠加或面源和点源简单的简
10、化叠加不够准确。基于上述情况，我们考虑采用灰箱模型并考虑多个影响因素，建立多元时空模型，分层次利用该地区的数据进行定量和定性的分析。 4.4 对问题 4的分析 灰箱模型只能针对已发生的类似情况进行预测，因此针对突发状况，即某监测点的 PM2.5 浓度突然增至数倍，我们可以将此突发情况简化成已知边界条件的点源扩散模型，将 PM2.5 监测点浓度最高点作为点源，突发状况发生前各监测点的浓度作为初始条件，并考虑当天的天气影响因素。最后按环保部新修订的环境空气质量标准给出重度污染和可能安全区域。 4.5 对问题 5的分析 首先 阐述了 第 3 问 中建立的 PM2.5 发生演变模拟预测模型 相对于多数
11、 现有的 大气污染 预报模型 所做出的 改进 ：考虑了 大气中各种污染物发生化学反应的可能性以及 量化 并在模型中考虑了 风向因子 。 通过 武汉 各个 监测点的实测值与模型预测值对比， 说明 了 该模型 的 合理性。 最后通过对 天气数据 的 统计分析，证明了 大风天气和 降水天气均对 PM2.5 具有 明显的 稀释 效果 ， 且前者 效果较后者显著。 4.6 对问题 6、问题 7的分析 问题 6主要是给出符合实际情况的 PM2.5治理模型及污染源控制减排模型，然后结合两个模型求解达到追中治理指标需要每年的年终平均治理指标。 问题 7是在问题 6求解基础上的单目标优化问题。 五、模型的建立与
12、求解 5.1 问题 1的分析与求解 5.1.1 数据处理及相关性定量分析 由于监测数据给的是分指标，所以我们需要利用公式（ 5.1） 对数据进行处理，将分指标转换成浓度，然后利用 SPSS软件对各个监测点的 PM2.5 浓度与其他 5项分指标对应的污染物的浓度进行相关性分析。 00()H i LP P L o LH i L oI A Q P I A Q PI A Q I C B P I A Q PB P B P (5.1) 式中： PIAQI 污染物项目 P的空气质量分指数； PC 污染物项目 P的质量浓度值； HiBP 文献 2中表 1中与 PC 相近的污染物浓度限值的最高值； LoBP 文
13、献 2中表 1中与 PC 相近的污染物浓度限值的最低值； - 6 - HiIAQI 文献 2中表 1中与 HiBP 对应的空气质量分指数； LoIAQI 文献 2中表 1 中与 LoBP 对应的空气质量分指数 ； 5.1.2 各指标 相关系数及结果分析 利用 SPSS计算的 PM2.5与其它 5项污染物的相关系数见表 5.1。 表 5.1 PM2.5与其他污染物 Pearson相关系数 SO2 NO2 PM10 CO O3 汉口花桥 Pearson 相关性 0.697 0.694 0.842 0.820 -0.426 显著性（双侧） 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
14、沌口新区 Pearson 相关性 0.689 0.712 0.754 0.845 -0.300 显著性（双侧） 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 汉阳月湖 Pearson 相关性 0.637 0.693 0.739 0.673 -0.336 显著性（双侧） 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 武昌紫阳 Pearson 相关性 0.709 0.752 0.703 0.875 -0.356 显著性（双侧） 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 东湖梨园 Pearson 相关性 0.552 0.733 0.781 0.828 -
15、0.269 显著性（双侧） 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 青山钢花 Pearson 相关性 0.595 0.718 0.772 0.861 -0.298 显著性（双侧） 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 汉口江滩 Pearson 相关性 0.722 0.599 0.730 0.865 -0.358 显著性 （双侧） 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 东湖高新 Pearson 相关性 0.691 0.685 0.756 0.803 -0.329 显著性（双侧） 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0
16、00 吴家山 Pearson 相关性 0.683 0.718 0.847 0.837 -0.357 显著性（双侧） 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 沉湖七壕 Pearson 相关性 0.664 0.667 0.701 0.605 -0.244 显著性（双侧） 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 均值 Pearson 相关性 0.664 0.697 0.762 0.801 -0.327 显著性（双侧） 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 相关系数 XY取值在 -1到 1之 间 ， XY = 0时，称 X,Y不相关 ； |
17、 XY| = 1时，称 X,Y完全相关，此时， X,Y之间具有线性函数关系； | XY| 0.8时称为高度相关， 当 | XY| 降雪 降雨。 为更好地 验证本结论， 本节 将对上述气象要素进行相关统计分析 ， 其中 因武汉 毗邻长江，冬季降雪并非典型天气 ， 因此将降雪与降雨合并为降水。 不同天气状况下各监测点 PM2.5 平均浓度见表 4。 表 4. 不同 天气状况下各监测 点 PM2.5 平均浓度 单位g/m3 监测点 降水天气 非降水天气 降水稀释率 风力 3 级 微风 大风稀释率 汉口花桥 71.8 90.3 20.4% 47.2 88.5 46.6% 沌口新区 89.1 106.6
18、 16.5% 62.4 105.3 40.7% 汉阳月湖 84.4 102.3 17.5% 60.2 100.6 40.1% 武昌紫阳 91.1 107.4 15.1% 60.7 106.8 43.2% 东湖梨园 88.0 105.2 16.4% 61.1 103.9 41.2% 青山钢花 110.4 130.6 15.4% 79.3 129.1 38.5% 汉口江滩 88.8 107.7 17.6% 60.2 106.2 43.3% 东湖高新 95.7 110.2 13.2% 66.3 110.0 39.8% 吴家山 72.1 91.2 20.9% 50.1 88.9 43.7% 沉湖七壕
19、84.3 94.7 10.9% 59.5 95.0 37.3% 由表 4 可知，降水天气、 大风天气下， 各监测点 PM2.5 均会 得到明显 稀释，且 大风稀释率均值为 41.4%，显著 大于降水稀释率 均值 ， 16.4%。 5.6 问题 6 的求解 5.6.1 模型建立及求解 在治理过程中，当浓度变小时，要使每年的治理指标一样，则需要花费更多的金钱和时间，即治理难度随着 PM2.5浓度的降低而增大，因此我们假定每年治理的平均浓度 atC 与当年的浓度 tC 呈正比。另外我们考虑每年的污染源排放- 17 - 量 pC ，在治理期间不仅要治理，还要控制排放量，每年逐次减少排放量 jC 。我们
20、假设 武汉市年 PM2.5 治理当年的年排放量为 360 /gm ，在治理过程中每年减少排放量 310 /gm ，我们需要注意的是排放量最终不能为负值，因此，此处的污染减排方式只是一个简单的假设，需要提出一个更好更符合实际情况的减排模式 。 由以上建设建立数学模型如下： t tdC aC bt cdt 该以此分线性微分方程的通解为： 2( 1 ) e at ta c b a t daC 将初始条件 30 280 /C g m ，边界条件 35 35 /C g m 及 360 /pC g m 和310 /jC g m 带入上式求解得第 t年的年中平均浓度表达式为： 0 . 6 9 8 0 . 6
21、 9 8 0 . 6 9 81 0 . 2 6 2 6 ( 2 3 . 4 5 1 9 9 . 6 7 8 1 . 3 9 6C )=t t t te e e t 利用上述表达式 计算该地区 PM2.5 的 年初 、 年末 及 年均治理 指标，结果见表5.5。 表 5.5 年终平均治理指标 单位 g/m3 年初含量 年末含量 年均治理量 340.00 204.75 135.25 254.75 130.26 124.50 170.26 85.99 84.27 115.99 56.77 59.22 76.77 35.00 41.77 5.7 问题 7 的求解 5.7.1 模型建立及求解 在 五年治
22、理中，假设每年的综合治理的费用分别为 x1、 x2、 x3、 x4、 x5，则相对应的每年由综合治理减少的 PM2.5 的浓度为 x1、 x2、 x3、 x4、 x5，则剩下的需要治理的 PM2.5 浓度须由专项治理来解决，由问题 6 知每年需要治理的PM2.5 的浓度为 135.25、 124.50、 84.27、 59.22、 41.77g/m3，用每年需要治理的浓度减去综合治理的就是专项治理的。我们建立治理费用 L 目标函数： Min. 55 2110 .0 0 5 ( )i i iiiL x s x 约束条件为： 0 iixs 式中： iixs、 分别表示第 i 年 PM2.5 综合治
23、理和年终平均治 理指标 - 18 - 经过单目标优化问题求解 模型 单目标 遗传算法 求解得： 年份 综合治理费用 专项治理费用 总费用 1 35.25 50 85.25 2 24.5 50 74.5 3 0 35.5072 35.5072 4 0 17.535 17.535 5 0 8.7237 8.7237 总和 59.75 161.7659 221.5159 注 ：单位 百万元 该方案是假设在理想的情况下，每减少一个 PM2.5 单位，需要相应的一定费用投入，然而在实际情况下，随着 PM2.5 浓度的降低，再降低相同浓度 的PM2.5，则需要花费更多的费用，因此该方案不能完全反应实际情况
24、。在模型中需要考虑当年治理费用与当年 PM2.5 浓度之间的关系，这样能更加反映出实际情况。 模型优缺点及其改进 1. PM2.5 发生演变模拟预测模型 1.1 模型 优点 1.污染物 影响因子考虑 了 大气中各种 污染物 具有 发生 化学反应 的 可能性 ； 2.在对日最显著风向 进行类别 量化后将其投影到高维空间 ， 进而融合了对风向 因素 的考虑。 1.2 模型 缺点 1.本模型 是基于 SVM 的 统计 预测 模型， 对污染物 、天气数据量需求大 ，数据 质量要求高， 注定了该模型 难以在 所有 城市推 广应用。 2. 高斯扩散 模型 模型缺点及改进： 1.尽管本文对大部分运算都进行了
25、一定的简化，但是计算还是相对比较复杂，所以要进一步探讨一些算法的简化算法，以充分满足实时性的要求。 2.本文对模型的建立采用一些理想化得假设，这些假设在实际情况下会造成模型建立的误差。 3.本文通过多种假设，一方面理论 上对于 多点 源 问题采取了 简单叠加 的方法，另一方面为了简化计算，本模 型 仅考虑了平面状况下各点的 PM2.5 的 浓度大小。同时 在该模型 中 也没有 考虑温度、季节湿度等因素的 影响 。 4.本模型 计算精度还有待进一步验证。 参 考文献： 1 环境空气质量标准 , 中华人民共和国国家标准， GB 3095-2012 2 环境空气质量指数（ AQI）技术规定（试行）： 中华人民共和国国家环境保护标准， HJ 633-2012 3 中华人民共和国环境保护部，环境保护标准 网站： 4吴建国等，数学建模案例精编，北京：中国水利水电出版社， 2005 年。 - 19 - 薛定宇 陈阳泉，应用数学问题的 MATLAB 求解，北京：清华大学出版社， 2004 年。 5沫然， MATLAB与科学计算 ，北京：电子工业出版社， 2008年。 6本锋 ,赵熠琳 ,李健军 ,王瑞斌 .气象因素对大气中 PM2.5 效应分析 J.环境科技 ,2012,(06):41-44. 7学李、羌宁主编，空气污染控制工程，北京：化学工业出版社， 2005
