1、1盈利最大化的产品生产方案摘 要：本问题是一个优化问题，它解决了大多数企业所面临的在生产设备有限的情况下要实现利润最大化的问题。根据盈利 Z=产品生产利润 *生产数量 ，我们建ibix立目标函数 ，又因为 产品的生产数量 又受有限生产设备的限制，所以得31iZxbiix到约束条件： 。用 Lingo 软件，建立模型求解，我们得到：当生(,23)ijjYW产产品、的件数分别为 22.5、23.2、7.3 时，利润可实现最大化为 135.2667千元。在此基础上，我们做灵敏性分析得到借用设备 B 每月 60 台时是不合算的这一结论；对于问题（3） 、 （4）可以建立相类似模型，得到对于新产品，的投
2、产在经济上是合算的；当对产品工艺重新进行设计，改进结构，相应的生产产品、的件数分别为 22.8、25.3、0 时，利润可实现最大化为 153.1618 千元；我们对此问题做了引申，当该厂生产的产品、为汽车、手机等必须以整件计数的产品时，即 、 、1x2只能取整数，我们在问题一建立的函数模型基础上，加上限制条件，用 Lingo 求解3x得到了新的生产方案。问题一回答：建立函数模型，用 Lingo 求解得到了如下求解结果：产品种类 生产数量 22.5 23.2 7.3问题二回答：对问题一做灵敏性分析：租用设备 B 一台时花费是 300 元，由上面灵敏性分析表可得一个台时的 B 设备的影子价格约为
3、267 元，也就是说租用 B 设备一个台时其能制造的利润为 267 元。很显然成本高于利润，商家无利可图而且还会造成亏损。问题三回答：调整生产产品种类后的生产方案为 产品种类 生产数量 26.75 15.5 0 0 13.75问题四回答：建立函数模型，用 Lingo 求解得到了求解结果如下表：产品种类 生产数量 22.8 25.3 0问题五回答：当该厂生产的产品、为汽车、手机等必须以整件计数的产品时，即 、 、 只能取整数，我们在问题一建立的函数模型基础上，加上限制条1x23件，用 Lingo 求解得到了如下生产方案：产品种类 生产数量 24 24 5关键词：利润最大化；优化问题；生产方案；灵
4、敏性分析2一、问题的提出知某工厂计划生产、三种产品，各产品需要在 A、B 、C 设备上加工，有关数据如下： 设备有效台时（每月）A 8 10 300B 10 5 8 400C 2 13 10 420单位产品利润（千元） 3 2 2.9试回答：1. 如何发挥生产能力，使生产盈利最大？2. 若为了增加产量，可借用别的工厂设备 B，每月可借用 60 台时，租金 1.8 万元，借用设备 B 是否合算？ 3. 若另有两种新产品、，其新产品需用设备 A 为 12 台时、B 为 5 台时、C 为10 台时，单位产品盈利 2.1 千元；新产品需设备 A 为 4 台时、B 为 4 台时、C为 12 台时，单位产
5、品盈利 1.87 千元。如 A、B 、 C 的设备台时不增加，这两种新产品投产在经济上是否合算？4. 对产品工艺重新进行设计，改进结构。改进后生产每件产品需用设备 A 为 9 台时、B 为 12 台时、C 为 4 台时，单位产品盈利 4.5 千元，这时对原计划有何影响？二、问题分析本问题是优化模型。我们所要解决的问题是在生产资料有限的情况下，牟求最大的利润。通过分析问题，根据总利润=生产产品数量*单个产品利润，得到目标函数，由于生产设备有限，找到约束条件，据此我们建立了函数模型，制定出了最优生产方案。解决问题的关键 1.目标函数的确立：由总利润=生产产品数量*单个产品利润，得到目标函数。2.找
6、出约束条件：由于生产设备有限，所以各生产产品的生产量受设备的可用台时的限制，据此得出生产的约束条件。3.建立函数模型求解：分析题目得到问题一、三、四，他们之间具有相似性，问题三、四是在问题一的基础上改变了一些约束条件，因此可建立相似的函数模型用Lingo 软件进行求解。4.分析结果：问题二的求解可通过对问题一求解结果进行灵敏性分析得到。三、模型假设1.假设工厂生产各种产品的数量只受 A、B、C 三种设备有限台时的限制，不受原料、劳动力等其他因素的限制；2.单位产品的利润不受市场因素而改变，其为定值；四、符号说明3分别表示产品、的数量；12345(,)Xxx， 单位产品 的利润；iBbibi，
7、机器每月的有效台时；12345,jWjW表示 机器在生产单位的 产品所需的有效台时。iYi五、模型建立与求解一、问题一的回答本问题是要解决在生产设备有限的条件下，实现生产利润最大化这一问题。我们知道总盈利=单位产品利润*生产数量，所以我们建立了目标函数 ，又由于生31ijzxb产产品的数量又受 A、B、C 三种设备的有效台时的影响，因此我们又建立了约束条件：，只有满足约束条件的情况下，才能使 取最大值，即实现利润31(1,23)ijjxYW最大化。设 为生产 产品的数量， 为 产品的单位利润， 表示 机器在生产单位的 产iiibijYi品所需的有效台时， 为 机器每月的有效台时。j模型如下：
8、123max 3.9zx12380.54st用 LINGO 求解模型得到结果：OBJECTIVE FUNCTION VALUE 135.2667VARIABLE VALUE REDUCED COSTX1 22.533333 0.000000X2 23.200001 0.000000X3 7.333333 0.000000所以我们得到结果，当生产产品、的件数分别为 22.5、23.2、7.3 时，利润可实现最大化为 135.2667 千元。二、问题二的回答在问题一的求解基础上做灵敏性分析：Row Slack or Surplus Dual Price1 135.2667 1.0000002 0.
9、000000 0.3000000E-013 0.000000 0.26666674 0.000000 0.4666667E-014由题干知每月借用设备 B 为 60 台时，租金 1.8 万元，即租用设备 B 一台时花费是300 元，由上面灵敏性分析表可得一个台时的 B 设备的影子价格约为 267 元，也就是说租用 B 设备一个台时其能制造的利润为 267 元。很显然成本高于利润，商家无利可图而且还会造成亏损。三、问题三的回答当新增加两种产品时，我们建立一个与问题一类似的模型求解，模型程序如下： 1234545123max .9.1.878+0x+0.52z xst用 LINGO 求解模型得到结
10、果：OBJECTIVE FUNCTION VALUE 136.9625VARIABLE VALUE REDUCED COSTX1 26.750000 0.000000X2 15.500000 0.000000X3 0.000000 0.231250X4 0.000000 0.499375X5 13.750000 0.000000所以我们得到结果，当生产产品、的件数分别为26.75、15.5、0、0、13.75 时，利润可实现最大化为 136.9625 千元。四、问题四的回答对产品工艺重新进行设计，改进结构，改进后生产每件产品需用设备 A 为 9 台时，设备 B 为 12 台时，设备 C 为 4
11、 台时，单位产品盈利 4.5 千元，相应地我们可以建立如下模型： 123max .5.9zx31290.844st用 LINGO 求解模型得到结果：Global optimal solution found.Objective value: 153.1618Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX1 22.79412 0.000000X2 25.29412 0.000000X3 0.000000 0.18088245Row Slack or Surplus Dual Price1 153.1618 1.0000002 44.2
12、6471 0.0000003 0.000000 0.37132354 0.000000 0.1102941E-01所以我们得到结果，当生产产品、的件数分别为 22.8、25.3、0 时，利润可实现最大化为 153.1618 千元。五、问题五的回答当该厂生产的产品、为汽车、手机等必须以整件计数的产品时，即 、1x、 只能取整数，我们在问题一建立的函数模型基础上，加上限制条件，得到模型2x3如下：model:max=3*x1+2*x2+2.9*x3;8*x1+2*x2+10*x3300;10*x1+5*x2+8*x3400;2*x1+13*x2+10*x3420;GIN(X1);GIN(X2);G
13、IN(X3);end求解得到：Global optimal solution found.Objective value: 134.5000Extended solver steps: 6Total solver iterations: 29Variable Value Reduced CostX1 24.00000 -3.000000X2 24.00000 -2.000000X3 5.000000 -2.900000此时我们得到结果，当生产产品、的件数分别为 24、24、5 时，利润可实现最大化为 134.5 千元。六、误差分析在实际生产中，生产的限制条件不仅仅是有限的设备，也有可能是生产原
14、料、劳动力等其他的外在因素，同时，单位产品的利润也许受市场因素的限制，故而此方案再投入实际生产时须多加入一些此类限制条件。七、模型推广对问题一的进一步的讨论在实际生产中，该厂生产的产品、可能为汽车、手机等必须以整件计数的产品，即 、 、 只能取整数时，我们可以对问题一的模型求解结果加以限制，1x23重新用 Lingo 求解得到与实际情况更为贴切的求解结果。八、模型的应用6本模型可用于生产厂家由于受有限的生产资料、劳动力、有限设备等其它因素的限制的情况，制定生产方案，实现利润最大化。九、模型评价模型的优点：可行性强，生产厂家在制定生产方案时，均可套用此模型得出最优方案。模型的缺点：模型建立时考虑
15、到的约束条件过于单一，在实际生产中，还有可能受到自然条件、原材料、劳动力等因素的限制。因此，在运用此模型时，我们可以加入这些约束条件，从而得到更为完善的生产方案。十、参考文献1 赵静，数学建模与数学实验，高等教育出版社（第 3 版）2 赵临龙，全国数学建模竞赛，高职高专大学生获奖论文点评，（2002-2006年），中国人民大学出版社 十一、附 录问题一的灵敏性分析：Row Slack or Surplus Dual Price1 135.2667 1.0000002 0.000000 0.3000000E-013 0.000000 0.26666674 0.000000 0.4666667E-
16、01RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGESVARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLECOEF INCREASE DECREASEX1 3.000000 0.333333 1.454545X2 2.000000 0.214286 0.777778X3 2.900000 1.600000 0.150000RIGHTHAND SIDE RANGESROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLERHS INCREASE DECREASE2 300.000000 165.71
17、4294 36.6666683 400.000000 44.000000 122.9090884 420.000000 397.647034 220.000000上面输出给出了最优基不变条件下目标函数系数的允许变化范围： 的系数1x为（3-1.454545,3+0.333333 ） ； 的系数为（2-0.777778,2+0.214286） ； 的系数为2x 3（2.9-0.150000,2.9+1.600000）注意：其中一个变量系数的允许范围需要其它变量系数保持不变。由于目标函数的利润系数变化并不影响约束条件，因此此时最优基不变，可7以保证最优解也不变，但最优值发生变化。从上面输出的 RIGHTHAND SIDE RANGES我们可以得出影子价格有意义条件下约束右端的限制范围：设备 A 最多增加 165.7个台时，此时相应地设备 B 最多增加 44 个台时、设备 C 最多增加 397.6 个台时，
