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等腰三角形知识要点及培优试题.doc

上传人:精品资料 文档编号:9974790 上传时间:2019-09-24 格式:DOC 页数:5 大小:164KB
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资源描述

1、等腰三角形性质与判定知识点及精选练习题知识梳理知识点 1:等腰三角形的性质定理 1(1)文字语言:等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角” )(2)符号语言:如图,在ABC 中,因为 AB=AC,所以B=C(3)证明:取 BC 的中点 D,连接 AD在ABD 和ACD 中ABDACD(SSS)B=C(全等三角形对应角相等)(4)定理的作用:证明同一个三角形中的两个角相等。知识点 2:等腰三角形性质定理 2(1) 文字语言:等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高,互相重合(简称“三线合一” )(2)符号语言:AB=AC,BD=DC1=2,ADBC(3)定理的作用:可证明角相等,线段

2、相等或垂直。说明:在等腰三角形中经常添加辅助线,虽然“顶角的平分线,底边上的高、底边上的中线互相重合,如何添加要根据具体情况来定,作时只作一条,再根据性质得出另两条” 。知识 3:等腰三角形的判定定理(1)文字语言:如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写为“等角对等边” )(2)符号语言:在ABC 中,B=C AB=AC (3)证明:过 A 作 ADBC 于 D,则ADB=ADC=90。在ABD 和ACD 中ABDACD (AAS)AB=AC(4)定理的作用:等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系,它是证明线段相等的重要定理,也是把三角形中角的相等关系转化为边

3、的相等关系的重要依据,是本节的重点。说明:本定理的证明用的是作底边上的高,还有其他证明方法(如作顶角的平分线) 。证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种:1、利用定义 2、利用定理。知识点 4:等腰三角形的推论1. 推论:推论 1:三个角都相等的三角形是等边三角形。推论 2:有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形。推论 3:在直角三角形中,如果一个锐角等于 30,那么它所对的直角边等于斜边的一半。知识点 5: 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线,由于这条线可以把顶角和底边折半,所以常通过它来证明线段或角的倍分问题,在

4、等腰三角形中,虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,添加辅助线时,有时作哪条线都可以,有时需要作顶角的平分线,有时则需要作高或中线,这要视具体情况来定。一、知识点回顾等腰三角形的性质:ABC 中,AB=AC点 D 在 BC 边上(1)AB=AC, _=_;(即性质 1)(2)AB=AC,AD 平分BAC,_=_;_;(即性质 2)(3)AB=AC,AD 是中线,_=_;_;(即性质 2)(4)AB=AC,ADBC,_=_;_=_ (即性质 2)等腰三角形的判定:ABC 中,B=C _=_二、基础题第1题. 已知等腰三角形的一个内角为80,则它的另两角为_第2题. 在 ABC中,

5、ABC= C=2 A, BD是 ABC的平分线, DE BC,则图中等腰三角形的个数是( )A2 B3 C4 D5第3题. 如图1, MNP中, P=60, MN=NP, MQ PN,垂足为 Q,延长 MN至 G,取NG=NQ,若 MNP的周长为12, MQ=a,则 MGQ周长是( )图1 图2 图 3 A8+2 a B8+ a C6+ a D6+2 a第4题. 如图2, O是 ABC中 ABC和 ACB的平分线的交点, OD AB交 BC于 D, OE AC交 BC于 E点,若 BC=10cm,那么 ODE的周长为( )A8cm B9cm C10cm D11cm第 5 题. 等腰三角形底边中

6、点与一腰的距离为 6,则腰上的高为_第 6 题. 等 腰三角形有一个角是 50,那么其他两个角的度数是_第7题. 如图7,已知 AE平分 DAC, AE BC,那么 AB=AC吗?请简要说明理由图7 图8 第8题. 如图8, PQ为Rt MPN斜边上的高, M=45,则图中等腰三角形的个数是( )A1个 B2个 C3个 D4个来源第9题. 等腰三角形的两边长为3和6,则这个三角形的周长为( )A9 B12 C15 D12 或 1第10题. 下列命题正确的个数是( )如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等,那么过这点与顶点的直线必垂直于底边;如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段,那

7、么延长线段的两个端点与顶点距离相等;等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等;等腰三角形高上一点到底边的两端点距离相等A1个 B2个 C3个 D4个第11题. 等腰三角形顶角是84,则一腰上的高与底边所成的角的度数是( )A42 B60 C 36 D 46第12题. 等边三角形两条角平分线所夹锐角的度数是( )A120 B 150 C60 D90第13题. 如图10, ABC中, AD BC, AB=AC, BAD=30, 且AD=AE,则 EDC等于( )A10 B125 C15 D 20图 10 图 11 图12第14题. 如图11, ABC中,点 D在 AC上,且 AB=AD, ABC=

8、 C+30,则 CBD等于( )A15 B 18 C 20 D 22.5第15题. 已知:如图12, AB=AC, BD AC,请探索 DBC与 A的关系并说明理由第22 题. 如果一个三角形的一条边上的中点到其他两边的距离相等,那么它一定是ED A QCPB D B E B A AD E C B OP QMNG D A B AC B ED P Q M N ( )A等边三角形 B等腰三角形C不等边三角形 D不等腰钝角三角形第16题. 如下图,在 ABC中, AB=AC, A=36, BD、 CE分别是 ABC、 ACB的平分线,则图中等腰三角形的个数为( )A12 B10 C9 D8第17题.

9、 一个等腰三角形的一个内角为90,那么这个等腰三角形的一个底角为( )A90 B 45 C 50 D 22.5第18题. 等腰三角形的两条边长分别为15cm和7cm,则它的周长为( )A37cm B29cm C37cm或29cm D无法确定第19题. ABC中, ACB=90, DE是 AB的垂直平分线,且 BAD CAB=13,则 B等于_度第 20 题. 已知 Rt ABC 是轴对称图形,且 C90,那么 B_ 度, A_度;点 A 的对应点是_,点 C 的对应点是_第 21 题. 在 ABC 中,边 AB、 BC 的垂直平分线相交于点 P,则 PA、 PB、 PC 的大小关系是_第 22

10、 题. 如图,在 ABC 中, BC=5 cm, BP、 CP 分别是 ABC 和 ACB 的角平分线,且 PD AB, PE AC,则 PDE 的周长是_ cm.二、解答题1如图,已知 AB=AC,E、D 分别在 AB、AC 上,BD 与 CE 交于点 F, 且ABD= ACE ,求证:BF=CF2如图,ABC 中 BA=BC,点 D 是 AB 延长线上一点,DF AC于 F 交 BC 于 E,求证:DBE 是等腰三角形3. 如图, 已知:点 D,E 在ABC 的边 BC 上,AB=AC,AD=AE.求证:BD=CE4. 如图:ABC 中,AB=AC,PB=PC 求证:AD BC5. 已知:

11、如图,BE 和 CF 是ABC 的高线,BE=CF,H 是 CF、BE 的交点求证:HB=HCA D C B E EDCABFE DCABF7如图,已知点 B、C、D 在同一条直线上, ABC 和 CDE都是等边三角形BE 交 AC 于 F,AD 交 CE 于 H,求证:BCEACD;求证:CF=CH;判断CFH 的形状并说明理由8.已知:如图,BDE 是等边三角形, A 在 BE 延长线上,C 在 BD 的延长线上,且AD=AC。求证: DE+DC=AE。9. 如图,ABC 中,D 在 BC 延长线上,且 AC=CD,CE 是ACD 的中线,CF 平分ACB,交 AB 于 F,求证 :(1)CECF;(2)CFAD.三、探究题1如图,点 E 是等边ABC 内一点,且 EA=EB,ABC 外一点 D满足 BD=AC,且 BE 平分DBC,求BDE 的度数2如图,AF 是ABC 的角平分线,BD AF 交 AF 的延长线于 D,DEAC 交AB 于 E,求证:AE=BE3如图,ABC 中,C=2B,1=2 ,试说明:AB=AC+CD EDCABHFEDCAB FEDCAB4. 如图,已知在等边三角形 ABC 中,D 是 AC 的中点, E 为 BC 延长线上一点,且CECD,DMBC,垂足为 M。求证:M 是 BE 的中点。A D 1 B M C E

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