1、第二课时/等比数列的性质及应用,新课导入,知识探究,题型探究,达标检测,新课导入实例引领 思维激活,实例:给出以下几个等比数列an:(1)1,2,4,8,公比q=2;,(3)1,-3,9,-27,公比q=-3;(4)2,2,2,2,公比q=1.,想一想 选取实例中等比数列中的某一个,在其每一项上都乘以同一个非零常数,得到的数列是否还是等比数列?将其每一项变为原来项的倒数,得到的数列是等比数列吗?将其每一项平方,得到的数列是等比数列吗?(都是等比数列),知识探究自主梳理 思考辨析,等比数列常见性质若an、bn是项数相同的等比数列,公比分别是p和q,则(1)对称性:a1an=a2an-1=a3an
2、-2=am (nm);(2)k+l=m+n(k,l,m,nN*),则akal=aman;(3)若m,p,n(m、n、pN*)成等差数列,则am,ap,an成等比数列;(4)an=a1qn-1=a2qn-2=am (nm);,an-m+1,qn-m,题型探究典例剖析 举一反三,题型一 等比数列性质的应用【例1】 (1)在等比数列an中,若a2=2,a6=12,则a10=;(2)在等比数列an中,若a7=-2,则此数列的前13项之积等于.,答案: (1)72(2)-213,跟踪训练1-1:(1)公比为2的等比数列an的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a10等于()(A)4(B)5(C)
3、6(D)7(2)(2013海口调研)在等比数列an中,a3a4a5=3,a6a7a8=24,则a9a10a11等于()(A)48(B)72(C)144(D)192,题型二 等比数列与等差数列的综合问题【例2】 (12分)(1)有四个实数,前三个数依次成等比数列,它们的积是-8;后三个数依次成等差数列,它们的积为-80,求出这四个数;(2)有四个数成等比数列,将这四个数分别减去1,1,4,13,则成等差数列,求这四个数.,跟踪训练2-1:(1)(2013广州高二检测)已知等差数列an的公差为2,若a1,a2,a5成等比数列,则a2等于()(A)-4(B)2(C)3(D)-3(2)有四个数,前三个
4、数依次成等比数列,它们的和为19,后三个数依次成等差数列,它们的和为12,则这四个数为.,答案: (1)C(2)9,6,4,2或25,-10,4,18,题型三 等比数列的实际应用【例3】 某工厂2013年1月的生产总值为a万元,计划从2013年2月起,每月生产总值比上一个月增长m%,那么到2014年8月底该厂的生产总值为多少万元?名师导引: (1)2013年2月的生产总值为多少万元?(a+am%=a(1+m%)(2)2013年3月的生产总值为多少万元?由此知每月的生产总值构成什么数列?(a(1+m%)2,等比数列)(3)从2013年1月到2014年8月一共有多少个月?(20个月),题后反思 有
5、关增长率问题,通常用等比数列来建立模型求解.,跟踪训练3-1:某厂生产电脑,原计划第一季度每月增加台数相同,在生产过程中,实际上二月份比原计划多生产10台,三月份比原计划多生产25台,这样三个月产量成等比数列,而第三个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少10台,问该厂第一季度实际生产电脑多少台?,解:根据已知,可设该厂第一季度原计划3个月生产电脑台数分别为x-d,x,x+d,(d0),则实际上3个月生产电脑台数分别为x-d,x+10,x+d+25,解得x=90,d=10,故共有(x-d)+(x+10)+(x+d+25)=3x+35=390+35=305(台),即该厂第一季度实际生产电脑305
6、台.,备选例题,【例1】 如图所示的树形图为:第一层是一条与水平线垂直的线段,长度为1;第二层在第一层线段的前端作两条与该线段成135角的线段,长度为其一半;第三层按第二层的方法在每一条线段的前端生成两条线段,重复前面的作法至第n层,设题中树形图(从下而上)新生各层高度所构成的数列为an.(1)试求a2,a3,a4;(2)求an.,【例2】 设关于x的一元二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,)有两根和,且满足6-2+6=3.(1)试用an表示an+1;,达标检测反馈矫正 及时总结,1.已知an、bn都是等比数列,那么( )(A)an+bn,anbn都一定是等比数列(B)an+
7、bn一定是等比数列,但anbn不一定是等比数列(C)an+bn不一定是等比数列,但anbn一定是等比数列(D)an+bn,anbn都不一定是等比数列解析:两个等比数列的乘积仍是一个等比数列.故选C.,C,C,2.已知各项均为正数的等比数列an中,lg(a3a8a13)=6,则a1a15的值为( )(A)100 (B)-100 (C)10000 (D)-10000,4.在1与2之间插入6个正数,使这8个数成等比数列,则插入的6个数的积为.,解析:设插入的6个正数分别为b2,b3,b4,b5,b6,b7,则有b2b7=b3b6=b4b5=12,b2b3b4b5b6b7=8.答案:8,课堂小结,1.在解决与等比数列有关的计算问题时,我们首先想到的方法是通法,即通过解方程组求两个基本量首项a1和公比q,求解过程中要注意整体代换思想的运用,但有些问题合理地选择性质求解,可以减少运算量,提高解题效率.2.解数列的实际应用问题时,首先要分清是等差数列,还是等比数列;是求某一项,还是求某些项的和,再用相应的公式求解.,点击进入课后作业,
