1、例 文 一 ： 行 列 式 的 计 算 方 法介 绍 7 种 常 用 方 法1 三 角 化 方 法 ： 通 过 行 列 初 等 变 换 将 行 列 式 化 为 三 角 型 行 列 式 .例 1 计 算 n+1 阶 行 列 式2 把 某 一 行 （ 列 ） 尽 可 能 化 为 零例 2 计 算 ：3 递 归 法 （ 数 学 归 纳 法 ） ： 设 法 找 出 Dn和 低 级 行 列 式 间 的 关 系 ， 然 后进 行 递 归 .例 4 证 明 ：例 5 证 明 范 德 蒙 行 列 式 （ n2 ）4 加 边 法 ： 对 行 列 式 Dn添 上 一 适 当 行 和 列 ， 构 成 行 列 式 D
2、n+1 ， 且Dn+1 =Dn例 6 证 明 ：5 拆 分 法 ： 将 行 列 式 表 为 行 列 式 的 和 的 方 法 .即 如 果 行 列 式 的 某 行 （ 或列 ） 元 素 均 为 两 项 和 ， 则 可 拆 分 为 两 个 行 列 式 之 和例 7 设 a bcd=1 ,求 证 ：6 利 用 行 列 式 的 乘 积 ： 为 求 一 个 行 列 式 D的 值 ， 有 时 可 再 乘 上 一 个 适 当的 行 列 式 ； 或 把 D拆 分 为 两 个 行 列 式 的 积 .例 8 （ 1 ）（ 2 ） 设 Sk =1 k +2 k +nk (k =1 ,2 ),求 证 ：7 利 用 拉
3、 普 拉 斯 定 理 求 行 列 式 的 值 .拉 普 拉 斯 定 理 是 行 列 式 按 某 一 行 （ 或 列 ） 展 开 定 理 的 推 广 .定 义 (1 ) 在 n阶 行 列 式 D中 ， 任 取 k行 k列(1 kn),位 于 这 k行 k列 交 叉 处 的 k2 个 元 素 按 原 来 的 相 对 位 置 组 成 的 k阶 行列 式 S， 称 为 D的 一 个 k阶 子 式 .如 ：D=则 D的 一 个 2 阶 子 式 为 ： S=在 一 个 n阶 行 列 式 中 ， 任 取 k行 ， 由 此 产 生 的 k阶 子 式 有 个 .(2 ) 设 S为 D的 一 个 k阶 子 式 ，
4、 划 去 S所 在 的 k行 k列 ， 余 下 的 元 素 按 原 来的 相 对 位 置 组 成 的 n-k阶 行 列 式 M称 为 S的 余 子 式 .又 设 S的 各 行 位 于 D中的 第 i1 ,i2 ik行 ， S的 各 列 位 于 D中 的 第 j1 ,j2 jk列 ， 称A=(-1 )(i1 +i2 +ik)+(j1 +j2 +jk)M.如 ：则 D的 一 个 2 阶 子 式 为 ： S=M=为 S的 2 阶 子 式M=（ -1 ） （ 1 +3 ） +（ 1 +3 ） 为 S的 代 数 余 子 式 .拉 普 拉 斯 定 理 :若 在 行 列 式 D中 任 取 k行(1 kn-1
5、 )， 则 由 这 k行 所 对 应 的 所 有 k阶 子 式 与 它 们 的 代 数 余 子 式 的 乘 积等 于 D.例 9 计 算例 1 0 块 三 角 行 列 式 的 计 算设 ：或则 ： detA=(detB)(detC).特 别 地 ： 若A=dia g (A1 ,A2 ,At),则DetA=(detA1 )(detA2 )(detAt).例 1 1 设 分 块 矩 阵 ， 其 中 0 为 零 阵 ， B和 D可 逆 ， 求 A-1 .例 1 2 计 算例 1 3 设 ：, BCT=0 .证 明 ： AAT=BBTCCT.例 文 2： 行 列 式 的 多 种 计 算 方 法行 列
6、式 是 线 性 代 数 的 一 个 重 要 组 成 部 分 ， 行 列 式 的 计 算 方 法 多 种 多 样 ， 常 见 的 几 种 行 列 式 的 方 法 有 ： 定 义 法 、 三 角 化 法 、 降阶 法 、 升 阶 法 、 递 推 法 、 归 纳 法 、 利 用 范 德 蒙 德 行 列 式 法 、 变 换 元 素 法 、 拆 项 法 、 分 解 乘 积 法 等 ， 可 根 据 行 列 式 选 择相 应 的 计 算 方 法 ， 从 而 减 轻 计 算 量.1 定 义 法 ： n阶 行 列 式 等 于 所 有 取 自 不 同 列 的 n个 元 素 的 乘 积 的 代 数 和 例 1：解
7、： 在 n！ 项 中 只 有 一 项 2 三 角 化 法 ： 通 过 变 换 将 行 列 式 变 换 成 三 角 行 列 式 ， 再 利 用 形 式 求 出 行 列 式 的 值 .2.1特 殊 行 列 式 2.2 箭 形 行 列 式例 2解 ：2.3 可 化 为 箭 形 的 行 列 式3 降 阶 法 降 阶 法 是 利 用 行 列 式 按 其 行 （ 列 ） 展 开 的 性 质 ， 将 高 阶 行 列 式 转 化 为 低 阶 行 列 式 进 行 计 算 4 升 阶 法 将 原 行 列 式 增 加 一 行 一 列 ， 而 保 持 原 行 列 式 值 不 变 或 与 原 行 列 式 有 某 种 巧
8、 妙 的 关 系 ， 且 便 于 后 面 的计 算5 递 推 法 ： 利 用 行 列 式 的 性 质 ， 找 出 所 求 行 列 式 与 其 相 应 的 n-1,n阶 行 列 式 之 间 的 递 推 关 系 ， 再 根 据 次 递 推 关系 式 求 出 所 给 行 列 式 的 值6 数 学 归 纳 法 ： 先 利 用 不 完 全 归 纳 法 寻 找 行 列 式 之 间 的 规 律 ， 得 出 一 般 性 结 论 ， 再 用 数 学 归 纳 法 证 明 其 正 确性 ， 从 而 得 出 所 给 行 列 式 的 值于 是 又 归 纳 假 设 得 ：故 对 一 切 自 然 数 n猜 得 正 确 ，
9、即7 利 用 范 德 蒙 行 列 式 的 结 果 计 算 ： 是 将 原 行 列 式 利 用 性 质 化 成 范 德 蒙 行 列 式 ， 再 利 用 范 德 蒙 行 列 式 的 结 果 计算 出 原 行 列 式例 8n阶 范 德 蒙 行 列 式 为解 构 造 n+1阶 范 德 蒙 行 列 式由 f(x)的 表 达 式 知 ， 的 系 数 为8 拆 项 法 ： 当 行 列 式 中 的 元 素 有 两 数 相 加 时 将 原 行 列 式 拆 成 n个 简 单 的 行 列 式 加 以 计 算例 9 设解 9 变 换 元 素 法 ： 变 换 所 给 行 列 式 中 元 素 的 形 式 ， 再 利 用 已 知 行 列 式 的 结 果 ， 最 终 得 到 所 求 行 列 式 的 结 果例 10解 令 ， 由 （ 拆 项 法 例 题 结 果 ） 知因 为1 0 分 解 乘 积 法 ： 根 据 所 给 行 列 式 的 特 点 利 用 行 列 式 的 乘 法 公 式 ， 把 所 给 行 列 式 分 解 成 两 个 易 求 解 的 行 列 式 之积 ， 通 过 对 这 两 个 行 列 式 的 计 算 ， 从 而 得 到 所 给 行 列 式 之 值例 11解 例 题
