1、同济大学朱慈勉 结构力学 第 8章 矩阵位移法习题答案8-1试说出单元刚度矩阵的物理意义及其性质与特点。8-2试说出空间桁架和刚架单元刚度矩阵的阶数。8-3试分别采用后处理法和先处理法列出图示梁的结构刚度矩阵。 (a)解 ： （ a）用后处理法计算（ 1）结构标识 y x1 23 4单元 局部坐标系（ ji） 杆长 cos sin各杆 EI 21 l 1 0 2EI 32 l 1 0 EI 43 l 1 0 EI（ 2）建立结点位移向量，结点力向量 T44332211 = Ty MFMFMFMFF 4y43y32y211 =（ 3） 计算 单元 刚度 矩阵= 22 22322211211 46
2、6 612612646 6126122EI 2 1 ll -ll l -l -ll -ll l l - lkkkkk = 22 22333322322 3 3 3 6 36336 362EI 2 1 ll - l ll- l -l l -ll l -l lkkkkk l l lA BCDEI EI2EI= 22 22344433433 3 3 3 6 36336 362EI 2 1 ll - l ll- l -l l -ll l -l lkkkkk （ 4） 总刚 度矩 阵= += 22 222 222 223443 343332 232221121 330000 3 6 3 6 000 0
3、340300 360123600 0 0 3636 00 36318612 0000 6460 0 0 06126122EI0 0 0 0 0 0 4 3 2 1 4 3 2 1 ll -l l l - l - - l l -l l l l - l - - l l -ll -ll l l - -l - ll -ll l l - lkk kkkk kkkkkkk （ 5） 建立 结构 刚度 矩阵支 座位 移边 界条 件 004311 =将 总刚 度矩 阵中 对应 上述 边界 位移 行列 删除 ，得 刚度 结构 矩阵 。= 22 222223 00 4 0 6 3 0 33182EI l l ll
4、 ll lll - l l -lk(b)用 先处 理法 计算（ 1）结构标识 y x1 23 45单元 局部坐标系（ ji） 杆长 cos sin各杆 EI 21 l 0 1 2EI 32 l 0 1 EI 43 l 0 1 EI（ 2）建立结点位移向量，结点力向量 TT 0 0 5411 = 故 T54322 =（ 3） 计算 单元 刚度 矩阵 = 23 22466122EI ll - l -lk = 22223 432 4646 6612EI l ll l ll ll lk =22223 5444EI l l lllk （ 4） 建立 结构 刚度 矩阵 （按 对号 入座 的方 法）= 22
5、222222354322000 4 0 0 0 00 0 4 6 0 36182EIl l l l l l ll l ll - l l l -lk(b)8-4试分别采用后处理法和先处理法分析图示桁架，并将内力表示在图上。设各杆的 EA相同。解 ： （ 1）结构标识如图单元 局部坐标系（ ji） 杆长 cos sin 21 l 1 0l l lA BCDEI EI2EIl l FP1 23 4xyEA=常数 43 l 1 0 31 l 0 -1 42 l 0 -1 3 l222 22 41 l222 22（ 2）建立结点位移向量，结点力向量 T44332211 = Tyxpyx F F -F F
6、FF 00 3311=（ 3）计算单元刚度矩阵= 00 0 0 0 1 0 1 00 00 0101 2 1 - - lEAk 同 理 = 00 0 0 0 1 0 1 00 00 0101 4 3 - - lEAkk= 10 1-0 0 0 0 0 1-0 10 00 00 3 1 lEAk 同 理 = 10 1-0 0 0 0 0 1-0 10 00 00 4 2 lEAkk=21 21 21-21- 21 21 21- 21- 21-21- 21 2121-21- 21 212 3 2 lEAk 同 理 =21 21 21-21- 21 21 21- 21- 21-21- 21 2121
7、-21- 21 212 4 1 lEAkk（ 4）形成刚度矩阵，刚度方程+=42 42- 0 0 1- 0 42-42 42- 424 0 1 0 0 42 42- 0 0 42442 42- 42- 1- 0 0 1 42 42442- 42- 0 0 1- 0 42- 42- 424 42 0 0 0 0 42- 42- 42 424 0 1 42- 42 1 0 0 0 42442- 42 42- 0 0 0 1 42- 424 4 3 2 1 - - - - lEAk刚 架总 刚度 矩阵 方程 ： TyxpyxT F F -F FFk 00 331144332211 =（ 5）建立结构
8、刚度矩阵，结构刚度方程制作位移边界条件为： = 0000331121将刚度矩阵中对应上述边界位移的行、列删除，即得结构刚度矩阵，相应结构刚度方程为：= + 00-0424 42- 1- 0 42- 424 0 0 1 0 42442 0 0 42 424 4422 pF - lEA （ 6）计算节点位移，得：= += 6928.1-0.4422-2.1354-5578.000-0424 42- 1- 0 42- 424 0 0 1 0 42442 0 0 42 424 114422 pF - lEA（ 7） 计算 各杆 内力 27888.07888.07888.07888.0001354.25
9、578.021 21 21-21- 21 21 21- 21- 21-21- 21 21 21-21- 21 2123 2 5 pp FEAlF lEAF = = 07888.007888.027888.07888.07888.07888.011- 0 0 1 0 0 00 1 - 00 1 12255 ppp FFF FTF同时可得其他杆内力。（ b）采用先处理法（ 1）步与后处理法相同。（ 2）建立结点位移向量，结点力向量 T4422 = Tp F F 00=FPpF5578.0pF4422.0pF4422.0pF0.6253pF.-78880= 0 001 2 lEAk = 0 001
10、4 lEAkk= 10 1-0 0 0 0 0 1-0 10 0000 4 2 lEAk = 21 21- 21-212 4 lEAk = 21 21- 21-212 4 lEAk（ 4） 形成 总刚 度矩 阵， 结构 刚度 方程= + 00-0424 42- 1- 0 42- 424 0 0 1 0 42442 0 0 42 424 4422 pF - lEA （ 5）结点位移及内力计算同上。8-5试 列出 图示 刚架 的结 构刚 度方 程。 设杆 件的 E、 A、 I均 相同 ，结 点 3有 水平 支座 位移 s， 弹簧 刚度系数为 k。解 ： （ 1）结构标识 单元 局部坐标系（ ji）
11、 杆长 cos sin 2120 1 32 2 23 212mk30kN m 20kN 1ms3m33yx21E、 A、 I=常数 3yx21 （ 2）建立结点位移向量，结点力向量 T3222 = T F 03-02=（ 3）建立单元刚度矩阵（ l=2m ）= lEI lEI lEA lEI lEIk 406 00 6012233 222 +=lEI lEI lEIlEI lEI lEIlEA lEI lEIlEA lEIlEA lEIlEI lEIlEIlEA lEIlEA lEIlEAk4 3 2 3 3 0 3433 1243- 343 0 0 4 3 30 0 0 941243 0 0
12、 0 0 343 222 323322 333 33222kk=（ 4） 建立 结构 刚度 方程 （对 号入 座的 原则 写出 保留 支座 位移 3在 内的 刚度 方程 ）= + 0300204 3 2 3 3 0 3433 1243- 343 0 0 8 3 30 0 0 9451243 0 0 0 0 1543333222222 323322 333xFKNKNlEIlEI lEIlEI lEI lEIlEA lEIlEIlEA lEIlEA lEIlEI lEIlEIlEA lEIlEA k lEIlEA 由 已知 ， 支 座位 移 c3=， 将 以上 刚度 矩阵 3的 行删 除 ， 并
13、 将 3与 刚度 矩阵 第 4列 乘积 移至 方程 右端 与荷 载向 量合 并。 += + +EIc EIcmKNc EIEAcEIEAEI EI EI EI - EI EI EI EI EI EI EI EA EIEAEI -EI EIEAk EIEA43 4330 43232838324343 44343 43438985232434343232438158332228-6试采用先处理法列出图示刚架的结构刚度方程 ， 并写出 CG杆杆端力的矩阵表达式 。 设各杆的 EI=常数，忽略杆件的轴向变形。 5 1 4 7解 ： （ 1）结构标识如上图。单元 局部坐标系（ ji） 杆长 cos si
14、n 3254/5 3/5 53 61 0 76 60 -1 21 30 1 34 60 1（ 2）建立结点位移向量，结点力向量 T65322 = TF 0 0 1015+=（ 3）建立单元刚度矩阵（考虑杆件 及 两端点无相对水平位移，故水平位移可以不考虑 ）= lEI lEI lEI lEIk 4224 32 其 中 l=5m6m6m4m3m 15kN10kN50kN0kNADB CF GEI=常数2 3 6= lEI lEI lEI lEIk 4224 53 其 中 l=6m= lEI lEI lEI lEIk 46 612 2 23 62 其 中 l=6m= lEI lEI lEI lEI
15、k 46 612 2 23 22 其 中 l=3m= lEI lEI lEI lEIk 46 612 2 23 32 其 中 l=6m（ 4）建立结构刚度方程（按对号入座的方式）=00002532 00061 032 31 0 0 03115325261 0052153232610613295 6532265322EI EI EI EI EI EI EI EI EI EI EI EI EI EI EI (方 程中 已省 去单 位 )解得： EI152.2090.081.131.2506.8265322 =（ 5）写出 CG杆杆端力的矩阵表达式 = 00052.20006.823206131 0
16、61 000 00 0 61 0181610181 31 061 32 0 61 0000 0 0 61018161018100052.20006.82140662 066 000 00 0 66 036126603612 2 066 4 0 66 0000 0 0 6603612660361267776663 - - - - - - EI- - - - - EIF8-7试采用矩阵位移法分析图示刚架，并作出刚架的内力图。设各杆件 E、 A、 I相同， A=10I/l2。解 ： （ 1）结构标识 yx 321 21000lIA=单元 局部坐标系（ ji） 杆长 cos sin 21 l 3/5
17、4/5 32 l 1 0（ 2）建立结点位移向量，结点力向量 T222 =Tql -ql -F = 1220 2（ 3）建立单元刚度矩阵= + += l l l- l -l l l -l lEIlEI lEI lEI lEI lEIlEA lEIlEA lEI lEIlEA lEIlEAk 4518524 51825160851856 52425185629124 536 546 536531254 251212 546 251212 54125322 23323322 22323 23232 22222254lll53 qAC BE、 A、 I=常数= lEI lEI lEI l lk 4
18、6 0 612EI 0 0 0251000EI2 233 222 (4)建立结构刚度矩阵= l l l- l -l l l -l lEIk 8 512524518251640825118565242511856253419222 233 233(5)结构刚度方程= 1220 2222 qlqlk解得： = 0100.00009.00003.0 2228-试利用对称性用先处理法分析图示刚架并作出 M、 FQ图。忽略杆件的轴向变形。(a)解 ： （ 1）结构标识（取半结构）y 5KN1 2x 3m4m4m10kNEI EIEI EI2EIA B CD E F 43单元 局部坐标系（ ji） 杆长
19、cos sin 2141 0 32 30 -1 45 4 1 0 T42 = TKN F 05=(2)建 立单 元刚 度矩 阵=3212 lEIk l=4m= lEIlEIlEIlEIk 4 6- 6- 12 2 23 42 l=4m(3)建 立结 构刚 度矩 阵= lEIlEI lEIlEIk 4 6- 6- 24 2 23 42 (4)建 立结 构刚 度方 程 = 0 54 6- 6- 24422 23 lEIlEI lEIlEI解 得： EI18364-42 =(5)计 算杆 件内 力 = 445523 014118364004626 6126122646 6126123 MQMQ -
20、EI- l l - -l -l- l l - l - llEIFF = 221121 848410 364004626 6126122646 6126121 MQMQ - EI- l l - -l -l- l l - l - llEIFF(6)作 出 M、QF图mKN8 mKN8 KN4mKN8mKN4 mKN4 KN1M N(b)解：原结构等效为下面结构： +正对称 反对称1.正对称结构(1)结构标识如图所示 3y2 1x(2)结构位移向量= 21214m3m3m30kN2EI 2EI 2EI3EI 3EI10kN/m AB CDE F5kN/m15kN 15kN5kN/m 5kN/m5kN
21、/m 15kN15kN2 22 1(3)等效结点荷载 320 3201025KN10KN10320 320TF =320,320(4)建立单元刚度矩阵 ()()= 1 221 24 22 42 1122 EIlEIlEI lEIlEIk () = 34343 22 EIlEIk (5)建 立结 构刚 度方 程 = 320 3206 11 221EI解 得： EI331401= ， EI11202=(6)求杆端力=+= 0 1190- 1180- 11130-00 1 83- 21 83 83- 163 83- 163- 21 83- 1 83 83 163- 83 163 2320103201
22、0 121122 EI- -MFMFFyy =1140 1140- 1180 1140 00 34 32- 32 32 32- 94 32- 94- 32 83- 34 32 32 94- 32 94 312EIF M图 Q图2反对称结构(1)结构标识如图所示 3y2 1x(2)结构位移向量320 3201025KN10KN10320 320= 43213321y , = 3321250320320yMMF(3)计算单元刚度矩阵180 180140 14011401130 113011901902 12 22 32 4()()()=2 1 43 1 2 43 43 43 83112234EIk
23、 y() ()= 4 2 2 4 3322EIk () ()= 1 83 83 163 3334EIk y (4)建立刚度方程=25 0 320 320169 83 43 43 83 5 2 0 43 2 6 1 43 0 1 24321EI解得： EI154.431= ， EI121.32= ， EI108.73= ， EI150.1114=(5)求杆端力=+= 0 16.75- 27 3.25-0 1 83- 21 83 83- 163 83- 163- 21 83- 1 83 83 163- 83 163 23201032010 1241122 EI- -MFMFFyy = 34.73-
24、 20.58 27- 20.58- 00 34 32- 32 32 32- 94 32- 94- 32 83- 34 32 32 94- 32 94 3 323322 EIMFMFFyy = 38.2718.25-34.7318.2500 1 83- 21 83 83- 163 83- 163- 21 83- 1 83 83 163- 83 163 344433EIMFMFFyy 34.73 20.5827 69.4627 3.25 3.2534.73 36.576.54 16.75 16.75M图 Q图整体受力图为： 31.09 16.9424.219.73 69.4634.2715.073
25、8.7 36.58.5776.54 24.93M图 Q图8-9设有如图两杆件刚结组成的特殊单元 ij（ 或称为子结构 ） ， 试直接根据单元刚度矩阵元素的物理意义，求出该特殊单元在图示坐标系中的刚度矩阵元素 k33和 k31。xy aaaEIi jEI解：将单元在 3方向转动单位角度视为主动力作用情况 ： （加一个刚臂）2i 4i4i 2i2i4i aEIi 2=pM 1M41028 11 =+ ZiiZ得 出在 3方 向转 动单 位角 度的 弯矩 图如 下： ii27 aEIaEIik 4272272733 =21331 8922/127 aEIakk =+=8-10试采用先处理法列出图示刚
26、架的结构刚度方程。设各杆的 EI=常数，忽略杆件的轴向变形。解 ： (1)结 构标 识如 图 6m6m6m8kN m 6kN4kN mA BCDEI=常数iRp21= ir81=i21y 2 31 4 1 4 x显 而易 见，14=(2)建 立结 构位 移向 量和 结构 荷载 向量 TT 43212322 = TmKNmKNKNF 0,4,8,6 =(3)建 立单 元刚 度矩 阵 + += EIEIEI EIEIEAEIEA EIEIEAEIEAk 32 242 242 242 1442242 1442242 242 1442242 14422422 4 1 = EIEIEI EIEIEI E
27、IEIEIk 32 3 6 3 32 6 6 6 183 2 4 = EIEI EIEIk 32 6 6 18 3 1 (4)建 立结 构刚 度方 程将 上 述 单 元 刚 度 矩 阵 的 元 素 ， 按 照 其 对 应 的 未 知 节 点 位 移 序 号 对 号 入 座 ， 即 可 得 到 结构 刚度 矩阵 ，据 此可 列出 结构 的刚 度方 程。= + + + 048614428242 61 2424 1442242 61 34 31 61 2424 31 322 242 1442242 61 242 14428242 4321 mKNKNEIEAEIEIEIEA EIEIEIEI EIE
28、IEIEI EIEAEIEIEIEA将14=带 入上 式， 然后 将结 构刚 度矩 阵第 一列 减去 第四 列得 方程 。= + + 048661 2424 14428 34 31 0 31 322 1222 61 242 14428 321 mKNKNEI上 述 方 程 组 四 个 方 程 ， 三 个 未 知 数 ， 为 了 获 得 位 移 解 的 存 在 性 ， 以 及 刚 度 矩 阵 的 对 称性 ，我 们将 第一 个方 程减 去第 四个 方程 ，得 ：= + + mKNKNEI 48634 31 0 31 322 1222 0 1222 1228 321同济大学朱慈勉 结构力学 第 9
29、章超静定结构的实用计算方法与概念分析习题答案9-1试说出何为杆端转动刚度 、 弯矩分配系数和传递系数 ， 为什么弯矩分配法一般只能用于无结点线位移的梁和刚架计算。 9-2试用弯矩分配法计算图示梁和刚架，作出 M图，并求刚结点 B的转角 B。(a)解：设 EI=6，则 5.1,1=BCABii 53.05.13145.13 47.0.414=+= =+=BCBA结点 A B C杆端 AB BA BC分配系数 固端 0.47 0.53 绞支固端弯矩 -60 60 -30 0分配传递 -7.05 -14.1 -15.9 0最后弯矩 -67.05 45.9 -45.9 0( )( )( )逆时针方向2
30、15.21 6005.6721609.452 2131mKNEIEI mMmMi ABABBABAB = += = 9067.5 45.940(b)解：设 EI=9，则 9m9m40kNC6mA DBEEI EI2I2EI 3m 3m20kN/m2m6m 2m20kN/mA B CEI EI40kN3,31,1=BEBDBCABii ii12.0141333 13 16.014314 36.0141333 3=+= =+= =+=BCBABEBD结点 A B C杆端 AB BA BC BD BE分配系数 固端 0.16 0.12 0.36 0.36 绞支固端弯矩 0 0 0 45 -90 0分
31、配传递 3.6 7.2 5.4 16.2 16.2 0最后弯矩 3.6 7.2 5.4 61.2 -73.8 0( )( )( )顺时针方向22.16 06.32102.73 2131mKNEIEI mMmMi ABABBABAB = = = 6061.27.23.6 5.4 73.8909-3试用弯矩分配法计算图示刚架，并作出 M图。(a)解：为角位移节点 设 EI=8,则 1=BCABii ， 5.0=BCBA固端弯矩 () mKNlblPabMBA =+= 4882124322 22 mKNlMBC =+= 582621892结点力偶直接分配时不变号结点 A B C杆端 AB BA BC
32、分配系数 铰接 0.5 0.5固端弯矩 0 48 -58 124m 4m 8m 2m 6kN10kN m 8kN/m32kNBEI EIA C分配传递 0 50 505 5 12最后弯矩 0 103 -3 1212.5 1033 1256.(b)解：存在 B、 C角位移结点设 EI=6，则 1=CDBCAB iii73 7414114 5.0114= =+= =+=BCCBBCBA固端弯矩：mKNMMmKNMCDCBBCBAAB =+= 14021808640080802结点 A B C杆端 AB BA BC CB CD分配系数 固结 0.5 0.5 4/7 3/7固端弯矩 -80 80 0
33、0 -140分配传递 -20 -40 -40 -2047.5 91.4 68.6-1.4-2.8 -2.8 -1.43.25 6.5 4.9-0.82-1.63 -1.63 -0.820.6 0.45最后弯矩 -12.215.7-15.48 6.28 -6.0560kN2m 6m 2m2m2m 6m60kN 40kN/mA B C DE40kNEI=常数12.2 15.57 6.28 80(c)解： B、 C为角位移结点 51411,54414 5444,5111 =+=+= =+=+=CDCB BCBA 固端弯矩：mKNM mKNM mKNMmKNM mKNM mKNMDCCDCBBCBAAB=
