1、第3章 函数 3.1 函数的概念及表示方法,【考纲要求】 1.理解函数的概念和函数的三种表示法,求函数的解析式; 2.会求函数的定义域; 3.会求简单函数的值域. 【学习重点】 1.会求函数的解析式; 2.会求函数的定义域; 3.会求简单函数的值域.,一、自主学习 (一)知识归纳 1.函数的定义 一般地,设在某变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,按照某种对应法则f,y都有唯一确定的值与它对应,那么就称y是x的函数,通常记作y=f(x). 其中x叫做自变量,x的所有值构成的集合叫做函数的定义域,通常用大写字母D表示.当x取遍D中所有值时,与x对应的所有的y值构成的
2、集合叫做函数的值域.,说明:(1)与x的值a对应的y的值,叫做当x=a时的函数值,记作y=f(a); (2)函数的定义域、值域、对应法则是构成函数的三要素,其中值域是由定义域和对应法则确定的; (3)若两个函数的定义域与对应法则相同,那么这两个函数是相同的函数; (4)分段函数:在定义域的不同子集上对应法则不相同的函数叫做分段函数.,2.函数的表示方法 函数常用的表示法有三种:解析法、列表法、图象法. (1)当两个变量之间的函数关系能用一个等式来表示时,这个等式叫做函数解析式.求函数的解析式,一般要求出函数的定义域; (2)求函数解析式的常用方法有:待定系数法、换元法等; (3)常见函数图象举
3、例(见下面图组).,【小结】 在解决问题时,数形结合,常见函数图象是有效的分析工具.,3.求函数定义域的原则 在没有特殊说明的情况下,函数的定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围.函数解析式的限制条件常有: (1)分式的分母不等于0; (2)负数不能开偶数次方; (3)0的0次方没有意义; (4)对数的底数大于0且不等于1,对数的真数大于0; (5)应用题的函数应考虑变量的实际意义.,4.函数的值域及求法 (1)函数的值域由函数的定义域和对应法则决定.从函数定义来说,值域是所有函数值的集合;从图形上来说,值域是函数图象上所有点的纵坐标的集合,也就是函数图象在纵轴上的投影.求函数值域的基
4、本方法是根据定义域和对应法则进行推理,求出函数值的取值范围.,(2)基本函数的值域 一次函数y=kx+b(k0)的值域是R; 二次函数y=ax2+bx+c(a0) (如图3-1) 当a0时,值域为,+); 当a0,a1)的值域是(0,+); 对数函数y=logax(a0,a1)的值域是R; 三角函数y=sinx,y=cosx的值域是-1,1,y=tanx的值域为R.,图3-1,(3)求函数值域的方法与基本类型 求函数值域没有通性通法,只能根据函数解析式的结构特征来确定相应的解法.常用的方法有:基本函数法、配方法、反函数法、数形结合法、单调性法等.,(二)基础训练,【答案】D,-1,0,29,a
5、2-2,x|x-1,xR,x|x0,xR,x|x0,R,【答案】C,R,y|y0,yR,9.求下列函数的值域. (1)y=x2+2x-3; (2)y=-x2+3x-3; (3)y=-2x2+4x-3.,(1)解:y=x2+2x-3=(x+1)2-4(x+1)20 y-4所以函数的值域为:-4,+).,(3)解:y=-2x2+4x-3=-2(x2-2x)-3=-2(x-1)2-1-(x-1)20y-1所以函数的值域为:(-,-1.,二、探究提高,【例1】 已知f(x)=2x2+3x+4,g(x)=x+4,且F(x)=f(x)-3g(x). (1) 求F(x); (2)求F(2)的值.,【解】 (
6、1)F(x)=f(x)-3g(x)=2x2+3x+4-3(x+4)=2x2-8; (2)F(2)=222-8=0.,【例2】 已知f(x)是一次函数,且ff(x)=f(x+1)-2,求f(x). 分析:求一次函数f(x)=kx+b(k0)的解析式,关键是确定k、b的值.,【小结】 形如y=fg(x)的函数叫复合函数.已知复合函数求上一级函数的解析式时,常用换元法、配方法.用换元法求函数解析式,要注意中间变量对函数定义域的限制;在变形时,要注意代入消元的技巧.,【例4】 我国铁路运输迈入高铁时代,高速铁路建设速度快,条件好.已知某高速铁路某路段每年满负荷运力约为1800万人次,当票价为600元时
7、,每年实际运送量约800万人次,估计票价每下降100元,实际运送量将提高200万人次. (1)设票价为x元,写出售票收入y(单位:万元)与票价x之间的函数关系式,并指明函数的定义域; (2)当票价为多少时,售票收入最大? 分析:售票收入=票价运送量,同时要注意“0运送量1800”对函数定义域的限制.,【解】 定义域为:(0,2(2,4=(0,4. 【小结】 分段函数的定义域是函数各段x取值范围的并集.,【例10】 求函数f(x)=x2+2x-3(-2x1)的值域.,错误分析:f(-2)=-3,f(1)=0,-3f(x)0. 错误的原因是此函数在(-2,1)上不是严格的单调函数. 【解】 方法1
8、:y=x2+2x-3=(x+1)2-4 -2x1,-1x+12,0(x+1)24 -4y0,此函数的值域为-4,0). 方法2:根据图3-2,可得此函数值域为-4,0). 图3-2 【小结】 如图3-2,求给定区间上二次函数的值域时,如果抛物线顶点的横坐标在区间的内部,则顶点的纵坐标是函数的最大(或最小)值,区间上与抛物线顶点的横坐标相隔较远的端点的函数值为最小(或最大)值;如果抛物线顶点的横坐标在给定区间之外或在端点位置,则函数的最小(或最大)值一定在区间两个端点处取得.,三、达标训练,【答案】A,【答案】B,2.下列图象中能表示函数关系y=f(x)的是 ( ),A. B. C. D.,【答案】D,【答案】A,【答案】D,【答案】C,【答案】B,a2+1,x2-1,(-1,1,-4,-3,11.已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=3,f(x+1)-f(x)=4x,求f(x)的解析式.,12.已知函数f(10x)=x-102x+1,求函数f(x)的解析式.,解:令10x=t,则x=lgt(t0)f(10x)=x-102x+1f(t)=lgt-t2+1f(x)=lgx-x2+1(x0).,
