1、作业 1 1. （课本 P25 第 2 题第 (1)(3)(5)问） 设 A、 B、 C 为 三个事件 ，用 A,B,C 的运算关系表示下列各事件： 1) A 发生， B 与 C 不发生 2) A、 B、 C 中至少有一个发生 3) A、 B、 C 都不发生 解答： 1) CBA 2) CBA 3) CBA 错误点：（ 1）交、并和加、乘两种不同表示方式混淆，弄错；（ 2）没有化简到最后结果 2. 在图书馆中随意抽取一本书，事件 A：数学书 B：中文书 C：平装书。下述的运算关系说明什么意义？ 1) CAB 2) BA 解答： 1) 抽中的书是中文数学书，但不是平装书 2) 数学书不是中文书，
2、中文书不是数学书。 A、 B 为互斥事件。或者表述为所有的数学书都不是中文书，所有的非中文书都是数学书。 最多的 错误点 1： 只说出了 “数学书不是中文书，中文书不是数学书 ”，反例如下图 X 类书 数学书 中文书 最多的 错误点 2： 只说出了 “ 非 数学书 都是中文书”，或者“不是数学书，就是中文书”，反例如下图 作业 2 1. （课本 P25 第 6 题）在房间里有 10 个人，分别佩戴从 1 号到 10 号的纪念章，任选其中三人记录其纪念章的号码。求： 1) 最小号码是 5 的概率 2) 最大号码是 5 的概率 解答： 十个人中选取三人，共有 310C 种选择。 最小号码是 5，其
3、余两人号码应从 6、 7、 8、 9、 10 中选择。共有 25C 种选择。 最大号码是 5，其余两人号码应从 1、 2、 3、 4 中选择。共有 24C 种选择。 1) 12131025 CCP2) 20131024 CCP2. 100 个产品有 3 个次品，任取 5 个，求其次品数为 1、 2、 3 的概率。 解答： 100 个产品任取 5 个，共有 5100C 种取法。 1) 若次品数为 1，需从 3 个次品中选取一个，并从 97 个合格品种选取 4 个，共有 49713CC 种取法。 数学书 中文数学书 中文书 所求概率 138.0510049713 CCCP2) 3510039723
4、 1088.5 CCCP3) 5510029733 1018.6 CCCP3. （课本 P26 第 18 题）某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 解答： 以 Ai 表示事件 “ 第 i 次拨号 拨通电话 ” ， i=1,2,3。 以 A 表示事件 “ 拨号不超过 3 次拨通电话 ” ，则有 P(A) = 1P() = 1(123) = 1(3|12)(2|1)(1) = 17889 910= 310 当已知最后一位为奇数时，所求概率 P(A) = 1P() = 1233445 = 35 作业
5、3 1. 假设有两箱同种零件，第一箱内装 50 件，其中 10 件为一等品，第二箱内装30 件，其中 18 件为一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后取出两个零件（取出的零件均不放回），试求： 先取出的零件是一等品的概率； 在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率。 解答： Ai 表示事件“选取的是第 i 箱零件”， i=1,2。 Bj 表示事件“第 j 次取出的零件是一等品”， j=1,2。 由全概率公式，先取出的零件是一等品的概率： P(1) = P(1)P(1|1)+P(2)P(1|2) = 121050+12 1830 = 0.4 由条件概率公式有 P
6、(2|1) = P(12)P(1)由全概率公式： P(12) = P(1)P(12|1)+P(2)P(12|2) = 12 10 950 49 +1218 1730 29 = 0.1942 则 P(2|1) = P(12)P(1)= 0.19420.4 = 0.4856 2. （课本 P26 第 21 题）已知男子有 5%是色盲患者，女子有 0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲者，问此人是男性的概率是多少？ 解答： 以 A 表示事件“选出的是男性”，则 表示事件“选出的是女性”，以 H 表示事件“选出的人是色盲”，则 表示“选出的人不是色盲”。 由题设 P(
7、) = () = 0.5， P(|) = 0.05， P(|) = 0.0025，求 P(|) 由贝叶斯公式得 P(|) = ()() = (|)()(|)()+(|)() = 0.05 0.50.05 0.5+0.0025 0.5= 500525 = 2021 3. 射手 A、 B、 C 射中靶的概率分别为 0.6， 0.5， 0.4。他们一起向靶射击，若已知有 2 发射中靶，那么 C 射中靶与没有射中靶的概率哪个大？ 解答： 设事件 S：恰有两发射中。则 P(S)=0.60.50.6+0.60.50.4+0.40.50.4=0.38 0.50.526338.0 5.06.015.016.0
8、4.0 SP CSPSCP 所以 C 射中的概率大。 错误点： 没有充分合理地利用好条件概率的公式，不少人没有除以总概率 P（ S） 作业 4 1. （课本 P28 第 34 题）试分别求以下两个系统的可靠性： (1) 设有 4 个独立工作的元件 1,2,3,4，它们的可靠性分别为 p1,p2,p3,p4。将它们按照图 (1)的方式连接（称为并联系统）； (2) 设有 5 个独立工作的元件 1,2,3,4,5。它们的可靠性均为 p，将它们按图 (2)的方式连接（称为桥式系统）。 （图略，请参见课本） 解答： (1) 以 Ai 表示“第 i 只元件正常工作”， i=1,2,3,4，以 A 表示“
9、系统正常工作”，已知各元件是否正常工作相互独立，且有 P(Ai)=pi(i=1,2,3,4)。由图知 A = 1(23)4 = 123 14 由加法公式及各元件工作的独立性得到 P() = (123)+(14)(123) (14)= (1)(2)(3)+(1)(4)(1234)= 123 +14 (1)(2)(3)(4)= 1(4 +23 234) (2) 以 Ai 表示“第 i 只元件正常工作”， i=1,2,3,4,5，以 A 表示“系统正常工作”，已知各元件是否正常工作相互独立 ，且有 P(Ai)=pi(i=1,2,3,4,5)。 利用全概率公式求解。 按元件 3 处于正常工作与失效两种
10、状态，将系统简化为典型的串并联系统。 当元件 3 正常工作时，系统简化为（ 1、 4 的并联）和（ 2、 5 的并联）串联，当元件 3 失效时，系统简化为（ 1、 2 的串联）和（ 4、 5 的串联）并联。因此 P(|3) = (1 4)(2 5) P(|3) = (12) (45) 故 P() = P(|3)P(3)+P(|3)P(3) = (1 4)(2 5)(3)+(12) (45)P(3) 注意到 P(1 4) = P(1)+P(4)P(14) = 2 2 同样 P(2 5) = 2 2 (12)(45) = P(1)P(2)+P(4)P(5)P(1)P(2)P(4)P(5)= 22
11、4 即原系统的可靠性为 P() = (2 2)2 +(22 4)(1) = 22 +23 54 +25 错误点： 没有整明白，直接绕进去了。做对的人中也有一些没化简到最后结果。 2. （ 课本 P56 第 7 题 ）设事件 A 在每次试验发生的概率为 0.3。 A 发生不少于3 次时，指示灯发出信号。 (1) 进行了 5 次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率 (2) 进行了 7 次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率 解答： (1) 以 X 表示在 5 次试验中事件 A 的发生次数，则 Xb(5,0.3)。指示灯发出信号这一事件可表示为 X3，故所求的概率为 P 3 = (53)0.33(1
12、0.3)2 +(54)0.34(10.3)+0.35 = 0.163 (2) 以 Y 表示在 7 次试验中事件 A 的发生次数，则 Xb(7,0.3)。指示灯发出信号的概率为 P 3 = 1 = 0 = 1 = 2= 1(10.3)7 (71)0.3(10.3)6 (72)0.32(10.3)5= 0.353 作业 5 1. （课本 P57 第 14 题）某人家中，在时间间隔 t（以小时计）内接到电话的次数 X 服从参数为 2t 的泊松分布。 (1) 若他外出计划用时 10 分钟，问其电话铃响一次的概率是多少？ (2) 若他希望外出时没有电话的概率至少为 0.5，问他外出应控制最长时间是多少
13、解答： 以 X 表示此人外出时电话铃响的次数，则 X(2t)，其中 t 表示外出的总时间，即 X 的分布率为 P = = (2)2! ， k=0,1,2,. (1) t=10/60=1/6 时， X(1/3)，故所求概率为 P = 1 = 1313 = 0.2388 (2) 设外出最长时间为 t（小时），因 X(2t)，无电话打进的概率为 P = 0 = 2 要使 PX=00.5，即要使 e2t2，由此得 t 122 = 0.3466（小时） 即外出时间应控制小于 20.79 分钟。 2. 设连续型随机变量的分布函数为 1110002x,x,Axx,xF a) 求系数 A b) 求 P(0.3
14、 0, 其它某顾客在窗口等待服务，若超过 10min 他就离开 。 他一个月要到银行 5 次 。以 Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数 。 写出 Y 的分布律，并求PY1。 解答： 顾客在窗口等待服务超过 10 min 的概率为 p = ()10= 15/510= 2 故顾客去银行一次因未等到服务而离开的概率为 e-2。 从而 Yb(5,e-2)。 Y 的分布律为 P = = (5)(2)(12)5， k=0,1,2,3,4,5 P 1 = 1P = 0 = 1(12)5 = 0.5167 2. （课本 P58 第 27 题）某地区 18 岁的女青年的血压（收缩压，以 mmHg 计，
15、1 mmHg=133.3224Pa）服从 N(110,122)分布。在该地区任选一 18 岁的女青年，测量她的血压 X。求 (1) PX105， P100x0.05 解答： (1) 因为 XN(110,122)， 故有 P 105 = (105 11012 ) = ( 512) = 1(0.417) = 10.6617= 0.3383 P100 x0.05。 因 PXx=1-PXx=1-(x-110)/12)， 即要求 1( 11012 ) 0.05 ( 11012 ) 0.95 = (1.645) 11012 1.645 129.74 故 x 的最小值为 129.74。 3. （课本 P59
16、 第 30 题） 设在一电路中，电阻两端的电压（ V）服从 N(120,22)，今独立测量了 5 次，试确定有 2 次测定值落在区间（ 118,122）之外的概率。 解答： 已知 XN(120,4)，故 P(118 122) = (122 1202 )(118 1202 ) = (1)(1)= 0.6826 故 P(在 （ ,）之外 ) = 10.6826 = 0.3174 则落在（ 118,122）之外的个数服从 Yb(5,0.3174)，故 P(Y = 2) = 520.317420.68263 = 0.3204 4. 设测量的随机误差 XN(0,100)，试求在 200 次独立重复测量中
17、，至少有 4 次测量误差的绝对值大于 23.26 的概率。 解答： 先求每次测量误差的绝对值大于 23.26 的概率 p。已知 XN(0,100)，故 p = P(| 23.26) = 1P(| 23.26) = 1(23.26 23.26)= 1(23.2610 )(23.2610 )= 1(2.326)1 +(2.326) = 21(2.326)= 2(10.99) = 0.02 再设在 200 次独立重复测量中，事件“测量误差的绝对值大于 23.26”发生的次数为 Y，则 YB(200,0.02)。由于 n=200 较大， p=0.02 较小，故可用泊松分布近似二项分布，取 =np=4，所求概率 P( 4) = 1P( 4) = 1 200()3=0 1 4! 43=0= 14 (1+4 +422! +433!) = 17143 0.5665
