1、3.3 定积分与微积分基本定理,-2-,知识梳理,考点自诊,1.用化归法计算矩形面积和用逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为 、 、 、 .,分割,近似代替,求和,取极限,-3-,知识梳理,考点自诊,2.定积分的定义:一般地,给定一个在区间a,b上的函数y=f(x),将区间a,b分成n份,分点为a=x0x1x2xn-1xn=b.第i个小区间为xi-1,xi,设其长度为xi,在这个小区间上取一点i,使f(i)在区间xi-1,xi上的值最大,设S=f(1)x1+f(2)x2+f(i)xi+f(n)xn.在这个小区间上取一点i,使f(i)在区间xi-1,xi上的值最小,设s=f(1)x1+f
2、(2)x2+f(i)xi+f(n)xn.如果每次分割后,最大的小区间的长度趋于0,S与s的差也趋于0,此时,S与s同时趋于某一个固定的常数A,容易验证,在每个小区间xi-1,xi上任取一点i,S=f(1)x1+f(2)x2+f(i)xi+f(n)xn的值也趋于该常数,积分号,f(x),-4-,知识梳理,考点自诊,F(b)-F(a),-5-,知识梳理,考点自诊,5.定积分的几何意义 如图:,-6-,知识梳理,考点自诊,-7-,知识梳理,考点自诊,B,3.(2018河南六市联考一,4)汽车以v=(3t+2)m/s作变速运动时,在第1 s至2 s之间的1 s内经过的路程是 ( ),D,-8-,知识梳
3、理,考点自诊,C,3,-9-,考点1,考点2,考点3,考点4,B,D,1,-10-,考点1,考点2,考点3,考点4,-11-,考点1,考点2,考点3,思考计算定积分有哪些步骤? 解题心得计算定积分的步骤: (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差. (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分. (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数. (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值,然后求其代数和.,考点4,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,-13-,考点1,考点2,考点3,利用定积分的几何意义求定积分,考点4,-14-,考点1,考点2,
4、考点3,思考如何利用定积分几何意义求定积分? 解题心得当被积函数的原函数不易求,而被积函数的图像与直线x=a,x=b,y=0所围成的曲边图形形状规则,面积易求时,利用定积分的几何意义求定积分.,考点4,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,D,-16-,考点1,考点2,考点3,利用定积分求图形面积(多考向) 考向1 求曲线围成的平面图形的面积思考怎样求曲线围成的平面图形的面积?,考点4,B,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,-18-,考点1,考点2,考点3,考向2 已知曲线围成的面积求参数 例4已知函数y=x2与y=kx(k0)的图像所围成的封闭图形的面积为 ,则k等于( ) A.
5、2 B.1 C.3 D.4 思考应用怎样的数学思想解决已知曲线围成的面积求参数问题?,考点4,C,-19-,考点1,考点2,考点3,考向3 与概率的交汇问题 例5若任取x,y0,1,则点P(x,y)满足 的概率为( ),考点4,D,-20-,考点1,考点2,考点3,思考怎样求定积分与概率的交汇问题? 解题心得1.对于求平面图形的面积问题,应首先画出平面图形的大致形状,然后根据图形特点,选择相应的积分变量及被积函数,并确定被积区间,最后用定积分求解. 2.已知图形的面积求参数,一般是先画出它的草图;再确定积分的上、下限,确定被积函数,由定积分求出其面积,然后应用方程的思想建立关于参数的方程,从而
6、求出参数的值. 3.与概率相交汇的问题.解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积,再用相应的概率公式进行计算.,考点4,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,D,A,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,A,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,定积分在物理中的应用 例6(1)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 (t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( ) A.1+25ln 5 B.8+25ln C.4+25ln 5 D.4+50ln 2 (2)已知变力F(x)作
7、用在质点M上,使M沿x轴正向从x=1运动到x=10,若F(x)=x2+1,且方向和x轴正向相同,则变力F(x)对质点M所做的功为 J(x的单位:m;力的单位:N).,C,342,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题的关键是什么? 解题心得利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题时,关键是求出物体做变速运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系,确定好积分区间,得到积分表达式,再利用微积分基本定理计算即得所求.,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4(1)一质点运动时速度与时间的关系为v(t)
8、=t2-t+2,质点做直线运动,则此质点在时间1,2内的位移为( )(2)一物体在力 的作用下沿与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4处,则力F(x)做的功为 J(力的单位:N,x的单位:m).,A,36,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.求定积分的方法: (1)利用定义求定积分,可操作性不强. (2)利用微积分基本定理求定积分的步骤如下: 求被积函数f(x)的一个原函数F(x); 计算F(b)-F(a). (3)利用定积分的几何意义求定积分. 2.定积分 a b f(x)dx的几何意义是x轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b围成的曲边梯形的面积的代数和.在区间a,b上连续的曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(ab),y=0所围成的曲边梯形的面积S= a b |f(x)|dx.,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.被积函数若含有绝对值号,应去掉绝对值号,再分段积分. 2.若积分式子中有几个不同的参数,则必须分清谁是被积变量. 3.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限. 4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积,但要注意:面积非负,而定积分的结果可以为负.,
