1、专题突破三 离心率的求法,第二章 圆锥曲线与方程,一、以渐近线为指向求离心率 例1 已知双曲线两渐近线的夹角为60，则双曲线的离心率为_.,思维切入 双曲线的两渐近线有两种情况，焦点位置也有两种情况，分别讨论即可.,解析 由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况. 当双曲线的焦点在x轴上时，若其中一条渐近线的倾斜角为60，如图1所示； 若其中一条渐近线的倾斜角为30，如图2所示.,点评 双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，可以借助进行互求.一般地，如果已知双曲线离心率的值求渐近线方程，或者已知渐近线方程，求离心率的值，都会有两解(焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况)，不能忘记分类讨论.,
2、跟踪训练1 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，2)，则它的离心率为,解析 由题意知，过点(4，2)的渐近线的方程为,二、以焦点三角形为指向求离心率 例2 如图，F1和F2分别是双曲线 (a0，b0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为_.,思维切入 连接AF1，在F1AF2中利用双曲线的定义可求解.,解析 方法一 如图，连接AF1，由F2AB是等边三角形，知AF2F130. 易知AF1F2为直角三角形，,方法二 如图，连接AF1，易得F1AF290， F1F2A30，F2F1A60， 于是
3、离心率,点评 涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义求得的 值.,解析 方法一 如图， DF1F2为正三角形，N为DF2的中点， F1NF2N， |NF2|OF2|c，,由椭圆的定义可知|NF1|NF2|2a，,方法二 注意到焦点三角形NF1F2中， NF1F230，NF2F160，F1NF290， 则由离心率的三角形式，,三、寻求齐次方程求离心率,思维切入 通过2|AB|3|BC|，得到a，b，c的关系式，再由b2c2a2，得到a和c的关系式，同时除以a2，即可得到关于e的一元二次方程，求得e.,2,又2|AB|3|BC|，,即2b23ac， 2(c2a2)3ac， 两边同除以a2并整
4、理得2e23e20， 解得e2(负值舍去).,点评 求圆锥曲线的离心率，就是求a和c的值或a和c的关系，然后根据离心率的定义求得.但在多数情况下，由于受到题目已知条件的限制，很难或不可能求出a和c的值，只能将条件整理成关于a和c的关系式，进而求得 的值，其关键是善于利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2a2b2，化简为参数a，c的关系式进行求解.,由ABBF得|AB|2|BF|2|AF|2， 将b2a2c2代入，得a2acc20，,故离心率e的取值范围是2，).,四、利用直线与圆锥曲线的位置关系求离心率的取值范围,2，),(1a2)x22a2x2a20. 由于直
5、线与双曲线相交于两个不同的点， 则1a20a21，且此时4a2(2a2)0a22， 所以a2(0,1)(1,2).,五、利用焦半径的性质求离心率的取值范围,解析 在PF1F2中，由正弦定理知,又因为点P在椭圆上，所以|PF1|PF2|2a.,又ac|PF2|ac，,点评 圆锥曲线上一点到焦点的距离叫做该点的焦半径. (1)椭圆焦半径的取值范围为ac，ac. (2)双曲线的焦半径： 点P与焦点F位于y轴同侧时，其取值范围为ca，)； 点P与焦点F位于y轴异侧时，其取值范围为ca，).,跟踪训练5 已知双曲线 (a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2
6、|，则此双曲线的离心率e的最大值为,解析 P在双曲线的右支上， 由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a， |PF1|4|PF2|， 4|PF2|PF2|2a，,根据点P在双曲线的右支上，,1,2,3,4,5,针对训练,ZHENDUIXUNLIAN,6,7,1,2,3,4,5,6,7,解析 过F1的直线MF1是圆F2的切线， F1MF290，|MF2|c，|F1F2|2c，,3.如图，已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为,1,2,3,4,5,6,7,4.已知F1，F2是双曲线 (a
7、0，b0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,解析 由题设条件可知ABF2为等腰三角形，且AF2BF2， 只要AF2B为钝角即可.,故选B.,解析 由双曲线的对称性，,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,解析 因为|MF2|7|MF1|， 所以|MF2|MF1|6|MF1|， 即2a6|MF1|6(ca)，故8a6c，,当且仅当M为双曲线的左顶点时，等号成立.,1,2,3,4,5,6,7,解析 如图，连接PF1，OQ， 由OQ为PF1F2的中位线，,由圆x2y2b2， 可得|OQ|b，则|PF1|2b. 由椭圆的定义可得|PF1|PF2|2a， 即|PF2|2a2b. 又OQPF2，所以PF1PF2， 即(2b)2(2a2b)2(2c)2， 即b2a22abb2c2a2b2，,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,
