1、第4讲 不等式选讲,第1课时 不等式的证明,1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： (1)|ab|a|b|； (2)|ab|ac|cb|； (3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.,1.常用的证明不等式的方法,(1)比较法：比较法包括作差比较法和作商比较法.,(2)综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数的定理)和不等式的性质，推导出所要证明的不等式.,(3)分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具
2、备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立.,(4)反证法：可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式AB，先假设 AB，由题设及其他性质，推出矛盾，从而肯定AB.凡涉及的证明不等式为否定命题、唯一性命题或含有“至多”“至少”“不存在”“不可能”等词语时，都可以考虑用反证法.,(5)放缩法：要证明不等式 AB 成立，借助一个或多个中间,变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法.,2.绝对值不等式,(1)含绝对值不等式的解法：,设 a0，|f(x)|af(x)a.(2)理解绝对值的几何意义：|a|b|ab|a|b|.,答案：A,2.已知x，yR，满足x22xy4y2
3、6，则zx24y2的最,小值为_.,4,的最大值为_.,考点 1,比较法证明不等式,考向 1,求差法比较大小,例 1：已知函数 f(x)|x1|x2|.(1)求不等式22|mn|.,【规律方法】比较法证不等式的步骤可归纳为：,作差并化简，其化简目标应是 n 个因式之积或完全平方,式或常数的形式；,判断差值与零的大小关系，必要时需进行讨论；得出结论.,考向 2 求商法比较大小,例 2：已知正数 a，b，求证： aabbabba.,思路点拨：根据同底数幂的运算法则，可考虑作商比较法.,【规律方法】(1)由于所证不等式对于a，b 具有轮换对称性，故不妨设ab0，这样处理既不影响结果，又可避免后面的讨
4、论，尤其是有三个或三个以上的字母，分类讨论不太可能，这种方法显得更加便利.,(2)比较法的关键是第二步的变形，一般说来，变形越彻底，,对下一步的判断就越有利.,考点 2,综合法证明不等式,例 3：(2017 年新课标)已知 a0，b0， a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明：(1)(ab) (a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.当且仅当 ab1 时，等号成立.,(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b3,所以(ab)38，因此ab2.当且仅当 ab1 时，等号成立.【规律方法】综合法：利用某些已经证明过的
5、不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件.综合法证明不等式的逻辑关系是： AB1B2BnB，及从已知条件A 出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论B.,【互动探究】,1.已知函数 f(x)|x1|.,(1)若x0R，使不等式f(x2)f(x3)u成立，求满足,条件的实数 u 的集合 M；,(2)已知 t 为集合 M 中的最大正整数，若 a1，b1，c1，,且(a1)(b1)(c1)t，求证：abc8.,解：(1)由已知，得 f(x2)f(x3)|x1|x2|,则1f(x)1.,由于x0R，使不等式|x1|x2|u成立，所以 u1，即 Mu|u1.,2.已知关于 x 的不
6、等式|xm|2x0 的解集为x|x2，,其中 m0.,(1)求 m 的值；,(1)解：由已知，得|xm|2x0，,由于 m0，所以不等式组的解集为 x|xm .由题设，可得m2，故 m2.,(2)证明：由(1)可知，abc2，,考点 3,分析法证明不等式,例 4：(2017 年广东广州二模)(1)已知 abc1，,(2)若对任意实数 x，不等式|xa|2x1|2 恒成立，求实数 a 的取值范围.,(1)证明：因为 abc1，所以(a1)2(b1)2(c1)2,a2b2c22(abc)3a2b2c25.,因为a2b2c2(abc)22(abbcca) (abc)22(a2b2c2)， 所以3(a
7、2b2c2)(abc)2.,【规律方法】分析法证明不等式，就是“执果索因”，从所证的不等式出发，不断用充分条件代替前面的不等式，直至使不等式成立的条件已具备，就断定原不等式成立.当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别对于条件简单而结论复杂的题目往往是行之有效的方法.,用分析法论证“若 A，则 B”这个命题的模式是：欲证命题 B 为真，只需证明命题B1 为真，从而又只需证明命题B2 为真，从而又只需证明命题A 为真，今已知A 真，故B 必真.简写为： BB1B2BnA.,【互动探究】,即证 1cos cos sin sin 2cos cos ，只需证 1cos()，结论显然成立.故原不等式成立.,考点 4,反证法证明不等式,易错、易混、易漏放缩法证明不等式中正确把握放缩的度,【失误与防范】(1)在利用放缩法解题时，一定要注意经过放缩后的结果要尽量接近结论并且有利于运算；(2)在利用放缩法解题时，一定要注意“放缩”都应适度，放得过大或缩得过小都达不到预想的效果，如在解本题时，我们是第一、二项没变，从第三项起开始变形，恰好得到我们想,果从第四项开始变形，我们会得到什么结论？是否比原结论更精确？为什么？,
