1、第十章 概率与统计,第2节 频率直方图、22列联表、茎叶图、线性回归方程、相关关系,知识梳理,常用公式: 1.22列联表求观测值: 2.由频率直方图: (1)频率:f=组距高; (2)估计平均数公式:,4.求线性回归方程公式,5.相关系数:,6.相关指数:,精选例题,考点1:茎叶图 【例1】 (2014新课标卷)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了50位市民.根据这50位市民评分情况有如下表:,(1)分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数;,(2)分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率;(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.,考点2:22列联表 【例2】
2、 为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下22列联表:平均每天喝500ml以上为常喝,体重超过50kg为肥胖.已知在全部30人中随机抽取1人,抽到肥胖的学生的概率为(1)请将上面的列联表补充完整;,(2)是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?说明你的理由.(参考公式: ,其中n=a+b+c+d),(3)现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中(其中有2名为女生),抽取2人参加电视节目,则正好抽到一男一女的概率是多少?,考点3:频率分布直方图(中位数、平均数、众数、分层抽样) 【例3】 (2015广东)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度)以
3、160,180),180,200),200,220),220,240),240,260),260,280), 280,300分组的频率分布直方图如图. (1)求直方图中x的值;,(2)求月平均用电量的众数和中位数;,(3)在月平均用电量为220,240),240,260),260,280),280,300的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电在220,240)的用户中应抽取多少户?,考点4:线性回归方程 【例4】 (2015重庆,文)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:(1)求y关于t的回归方程 附:回归方程 中,(
4、2)用所求回归方程预测该地区2015年(t=6)的人民币储蓄存款.,考点5:相关关系 【例5】 (2016新课标卷)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.注:年份代码1-7分别对应年份2008-2014.,(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明; 附注: 参考数据:参考公式:回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.,专题训练,1.为了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中100株树木的底部周长,根据所得数据画出样本的频率
5、分布直方图(如图),那么在这100株树木中,底部周长不小于110cm的株数是 ( )A.30 B.60 C.70 D.80,2.某路段检查站监控录像显示,在某时间段内,有1000辆汽车通过该站,现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析,分析的结果表示为如图的频率分布直方图,则估计在这一时间段内通过该站的汽车中速度不小于90km/h的约有 ( )A.100辆 B.200辆 C.300辆 D.400辆,3.在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)如图所示:若将运动员按成绩由好到差编为135号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间139,151上的运动员人数为( )A.3 B
6、.4 C.5 D.6,4.(2014湖北,文)根据样本数据得到的回归方程为 ,则( )A.a0,b0,b0 C.a0,5.从某地区15000位老人中随机抽取500人,其生活能否自理的情况如下表所示:估计该地区生活能自理的老人中男性比女性少 人.,6.(2015新课标卷)某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表. A地区用户满意度评分的频率分布直方图B地区用户满意度评分的频数分布表,(1)在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两
7、地区满意度评分的平均值及分散程度.(不要求计算出具体值,给出结论即可) B地区用户满意度评分的频率分布直方图,(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级:估计哪个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.,7.(2014安徽)某高校共有学生15000人,其中男生10500人,女生4500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时). (1)应收集多少位女生的样本数据?,(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为:0,2,(
8、2,4, (4,6,(6,8,(8,10,(10,12.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率;,(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 附:,8.(2012新课标卷)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,nN)的函数解析式.,(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝
9、),整理得下表:假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数; 若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.,9.(2018新课标卷)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;,【解析】 (1)第二种
10、生产方式的效率更高. 理由如下: 由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高. 由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的 中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高. 由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟,因此第二种生产方式的效率更高. 由茎叶图可知:用第一种生产
11、方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布,又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少,因此第二种生产方式的效率更高. 以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.,(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:,(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差
12、异? 附:,10.(2018新课标卷)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下: 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表,(1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图:,(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m3的概率;,(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.),11.(2018广州模拟)某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示
13、,该地周光照量X(小时)都在30小时以上,其中不足50小时的周数有5周,不低于50小时且不超过70小时的周数有35周,超过70小时的周数有10周.根据统计,该基地的西红柿增加量y(百斤)与使用某种液体肥料x(千克)之间对应数据为如图所示的折线图.(1)依据数据的折线图,是否可用线性回归模型拟合y与x的关系?请计算相关系数r并加以说明(精确到0.01).(若|r|0.75,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合),(2)蔬菜大棚对光照要求较大,某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪,但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制,并有如下关系:若某台光照控制仪运行,则该台光照控制仪周利润
14、为3000元;若某台光照控制仪未运行,则该台光照控制仪周亏损1000元.若商家安装了3台光照控制仪,求商家在过去50周周总利润的平均值.,12.(线性回归方程)(2015深圳二模,文)PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物).为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关,现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如下表:(1)根据上表数据,请在下列坐标系中画出散点图;,(2)根据上表数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;,(3)若周六同一时间段车流量是25万辆,试根据(2)求出的线性回归方程预测,此时PM2.5的浓度为多少(保留整数)?,13
15、.(2015年东北三省四市教研联合体高考模拟)2014年7月16日,中国互联网络信息中心发布第三十四次中国互联网发展状况报告,报告显示:我国网络购物用户已达3.32亿.为了了解网购者一次性购物金额情况,某统计部门随机抽查了6月1日这一天100名网购者的网购情况,得到如下数据统计表.已知网购金额在2000元以上(不含2000元)的频率为0.4. (1)确定x,y,p,q的值,并补全频率分布直方图;,(2)为进一步了解网购金额的多少是否与网龄有关,对这100名网购者调查显示:购物金额在2000元以上的网购者中网龄3年以上的有35人,购物金额在2000元以下(含2000元)的网购者中网龄不足3年的有
16、20人. 请将列联表补充完整:,并据此列联表判断,是否有97.5%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关? 参考数据:(参考公式: ,其中n=a+b+c+d),14.(2018佛山一模)某课外实习作业小组调查了1000名职场人士,就入职两家公司的意愿做了统计,得到如下数据分布:(1)请分布计算40岁以上(含40岁)与40岁以下全体中选择甲公司的概率(保留两位小数),根据计算结果,你能初步得出什么结论?,(2)若分析选择意愿与年龄这两个分类变量,计算得到的K2的观测值为k1=5.5513,测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少?并用统计学知识分析,选择意愿与年
17、龄变量和性别变量哪一个关联性更大? 附:,15.(2018广东汕头一模)二手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销售价格y(单位:万元/辆)进行整理,得到如下数据:下面是z关于x的折线图:,(1)由折线图可以看出,可以用线性回归模型拟合z与x的关系,请用相关系数加以说明;,(2)求y关于x的回归方程,并预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少;,(3)基于成本的考虑,该型号二手车的售价不得低于7118元,请根据(2)求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年.,16.(2018广东肇庆二模)保险公司统计的资料表明:居民住宅区到最近消防站的距离x
18、(单位:千米)和火灾所造成的损失数额y(单位:千元)有如下的统计资料:如果统计资料表明y与x有线性相关关系,试求: (1)求相关系数r(精确到0.01);,(2)求线性回归方程(精确到0.01);,(3)若发生火灾的某居民区与最近的消防站相距10.0千米,评估一下火灾的损失(精确到0.01).,17.某市春节期间7家超市广告费支出xi(万元)和销售额yi(万元)数据如下:(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系,求y与x的线性回归方程;,(2)若用二次函数回归模型拟合y与x的关系,可得回归方程:,经计算二次函数回归模型和线性回归模型的R2分别约为0.93和0.75,请用R2说明选择哪个回归模型更
19、合适,并用此模型预测A超市广告费支出3万元时的销售额.,18.(2017新课标卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:经计算得其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,16.,(1)求(xi,i)(i=1,2,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).,(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在 之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. 从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?,在 之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01),
