2019高中数学 第三章 直线与方程 3.2 直线的方程（第3课时）直线的一般式方程课件 新人教A版必修2.ppt

1、 第 3课 时 直线的一般式方程 1 预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P 97 P 99 ，回答下列问题： (1) 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于 x ， y 的二元一次方程表示吗？为什么？ 核心必知 提示：都可以，原因如下： (1) 直线和 y 轴相交于点 (0 ， b ) 时：此时倾斜角 2，直线的斜率 k 存在直线可表示成 y kx b ，可转化为 kx ( 1) y b 0 ，这是关于 x ， y 的二元一次方程 (2) 直线和 y 轴平行 ( 包含重合 ) 时：此时倾斜角 2，直线的斜率 k 不存在，不能用 y kx b 表示，而只能表示成 x a 0 ，它

2、可以认为是关于 x ， y 的二元一次方程，此时方程中 y 的系数为 0. ( 2 ) 每一个关于 x ， y 的二元一次方程 Ax By C 0 ( A ， B不同时为零 ) 都能表示一条直线吗 ？ 为什么 ？ 提示： 能表示一条直线，原因如下：当 B 0 时，方程Ax By C 0 可变形为 y ABx CB，它表示过点0 ，CB，斜率为AB的直线 当 B 0 时，方程 Ax By C 0 变成 Ax C 0. 即 x CA，它表示与 y 轴平行或重合的一条直线 (3) 在方程 Ax By C 0( A ， B 不同时为零 ) 中， A ， B ， C 为何值时，方程表示的直线 平行于 x

3、 轴； 平行于 y 轴； 与 x轴重合； 与 y 轴重合 提示：当 A 0 ， B 0 时，方程变为 y CB，当 C 0时表示的直线平行于 x 轴，当 C 0 时与 x 轴重合；当 A 0 ，B 0 时，方程变为 x CA，当 C 0 时表示的直线平行于 y轴，当 C 0 时与 y 轴重合 2 归纳总结，核心必记 直线的一般式方程 (1) 定义：关于 x ， y 的二元一次方程 ( 其中 A ， B 不同时为 0) 叫做直线的一般式方程，简称一般式 (2) 适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示 Ax By C 0 (3) 系数的几何意义：当 B 0 时，则AB k ( 斜

4、率 ) ，CBb ( y 轴上的截距 ) ； 当 B 0 ， A 0 时，则CA a ( x 轴上的截距 ) ，此时不存在斜率 问题思考 当 A 0 ，或 B 0 ，或 C 0 时，方程 Ax By C 0分别表示什么样的直线？ 提示： (1) 若 A 0 ，则 y CB，表示与 y 轴垂直的一条直线 (2) 若 B 0 ，则 x CA，表示与 x 轴垂直的一条直线 (3) 若 C 0 ，则 Ax By 0 ，表示过原点的一条直线 课前反思 通过以上预习，必须掌握的几个知识点 (1) 直线方程的一般式的形式是什么？ (2) 直线方程的一般式的适用范围是什么？ (3) 直线方程的一般式中各系数的

5、几何意义是什么？ 观察下列直线方程 直线 l 1 ： y 2 3( x 1) ；直线 l 2 ： y 3 x 2 ； 直线 l 3 ：y 23 2x 14 1；直线 l 4 ：x4y3 1. 思考 1 上述形式的直线方程能化成二元一次方程 Ax By C 0 的形式吗？ 提示： 能 思考 2 二元一次方程 Ax By C 0 都能表示直线吗 ？ 提示： 能 思考 3 怎样认识直线方程的一般式 ？ 名师指津： 解读直线方程的一般式： ( 1 ) 方程是关于 x ， y 的二元一次方程 ( 2 ) 方程中等号的左侧自左向右一般按 x ， y ，常数的先后顺序排列 ( 3 ) x 的系数一般不为分数

6、和负数 ( 4 ) 虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程 思考 4 二元一次方程与直线的关系是什么？ 名师指津：二元一次方程与直线的关系： (1) 二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线 (2) 二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的，因此直线的一般式方程可以表示坐标平面内的任意一条直线 讲一讲 1 根据下列各条件写出直线的方程 ， 并且化成一般式 ( 链接教材 P98 例 5 ) ( 1 ) 斜率是 12， 经过点 A ( 8 ，

7、 2 ) ； ( 2 ) 经过点 B ( 4 , 2 ) ， 平行于 x 轴 ； ( 3 ) 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是32、 3 ； ( 4 ) 经过两点 P1( 3 ， 2 ) ， P2( 5 ， 4 ) 尝试解答 选择合适的直线方程形式 (1) 由点斜式得 y ( 2) 12( x 8) ， 即 x 2 y 4 0. (2) 由斜截式得 y 2 ，即 y 2 0. (3) 由截距式得x32y 3 1 ，即 2 x y 3 0. (4) 由两点式得y 4 x 35 3， 即 x y 1 0. 求直线一般式方程的策略 (1) 当 A 0 时，方程可化为 x BAy CA 0 ，只需求

8、BA，CA的值；若 B 0 ，则方程化为ABx y CB 0 ，只需确定AB，CB的值因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程 (2) 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式 练一练 1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程 (1) 斜率是 3 且经过点 A (5,3) ； (2) 经过 A ( 1,5) ， B (2 ， 1) 两点； (3) 在 x ， y 轴上的截距分别是 3 ， 1. 解： (1) 由点斜式方程得 y 3 3 ( x 5) ， 整理得 3 x y 3 5 3 0. (2) 由两点式方

9、程得y 5 1 5x 2 ， 整理得 2 x y 3 0. (3) 由截距式方程得x 3y 1 1 ，整理得 x 3 y 3 0. 2 已知直线 l ： 5 ax 5 y a 3 0. (1) 求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限； (2) 为使直线不经过第二象限，求 a 的取值范围 思路点拨 (1) 当直线恒过第一象限内的一定点时，必然可得该直线总经过第一象限； (2) 直线不过第二象限，即斜率大于 0 且与 y 轴的截距不大于 0. 讲一讲 尝试解答 (1) 法一：将直线 l 的方程整理为 y 35ax 15， 直线 l 的斜率为 a ，且过定点 A15，35， 而点 A15，

10、35在第一象限内，故不论 a 为何值， l 恒过第一象限 法二：直线 l 的方程可化为 (5 x 1) a (5 y 3) 0. 上式对任意的 a 总成立， 必有5 x 1 0 ，5 y 3 0 ，即x 15，y 35.即 l 过定点 A15，35. 以下同法一 (2) 直线 OA 的斜率为 k 35 015 0 3. 如图所示，要使 l 不经过第二象限，需斜率 a kOA 3 ， a 的取值范围为 3 ， ) 含有一个参数的直线方程，一般是过定点的，这里对一般式灵活变形后发现问题是解决问题的关键，在变形后特点还不明显的情况，可采用法二的解法 2 已知 ( k 1) x ( k 1) y 2

11、k 0 为直线 l 的方程，求证：不论k 取何实数，直线 l 必过定点，并求出这个定点的坐标 解：整理直线 l 的方程得 ( x y ) k ( x y 2) 0. 无论 k 取何值，该式恒成立， 所以x y 0 ，x y 2 0 ，解得x 1 ，y 1.所以直线 l 经过定点 M (1 ， 1) 练一练 3 (1) 已知直线 l 1 ： 2 x ( m 1) y 4 0 与直线 l 2 ： mx 3 y 2 0 平行，求 m 的值； (2) 当 a 为何值时，直线 l 1 ： ( a 2) x (1 a ) y 1 0 与直线l 2 ： ( a 1) x (2 a 3) y 2 0 互相垂直

12、？ 讲一讲 思路点拨 由平行或垂直可得到两直线斜率的关系式，然后可列方程求解，注意斜率不存在的情况 尝试解答 (1) 法一： 若 m 1 0 ，即 m 1 时，直线 l1：x 2 0 与直线 l2： x 3 y 2 0 显然不平行 若 m 1 0 ，即 m 1 时，直线 l1， l2的斜率分别为 k12m 1，k2m3，若 l1 l2时， k1 k2，即2m 1m3，解得 m 2 或 m 3 ，经验证， m 2 或 3 符合条件，所以 m 的值为 2 或 3. 法二：令 2 3 m ( m 1) ，解得 m 3 或 m 2. 当 m 3 时， l1： x y 2 0 ， l2： 3 x 3 y

13、 2 0 ， 显然 l1与 l2不重合， l1 l2. 同理当 m 2 时， l1： 2 x 3 y 4 0 ， l2： 2 x 3 y 2 0 ， l1与l2不重合， l1 l2， m 的值为 2 或 3. (2) 法一：由题意，直线 l1 l2， 若 1 a 0 ，即 a 1 时，直线 l1： 3 x 1 0 与直线 l2： 5 y 2 0 ，显然垂直 若 2 a 3 0 ，即 a 32时，直线 l1： x 5 y 2 0 与直线 l2：5 x 4 0 不垂直 若 1 a 0 ，且 2 a 30 ，则直线 l1， l2的斜率 k1， k2都存在，k1a 21 a， k2a 12 a 3，

14、当 l1 l2时， k1 k2 1 ，即a 21 aa 12 a 3 1 ， 所以 a 1. 综 上可知，当 a 1 或 a 1 时，直线 l1 l2. 法二： 由直线 l1 l2，所以 ( a 2 )( a 1 ) ( 1 a )( 2 a 3 ) 0 ， 解得 a 1. 将 a 1 代入方程，均满足题意 故当 a 1 或 a 1 时，直线 l1 l2. (1) 利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 直线 l1： A1x B1y C1 0 ，直线 l2： A2x B2y C2 0 ， 若 l1 l2 A1B2 A2B1 0 且 B1C2 B2C10( 或 A1C2A2C10) 若 l1 l

15、2 A1A2 B1B2 0. (2) 与已知直线平行 ( 垂直 ) 的直线方程的求法 与直线 Ax By C 0 平行的直线方程可设为 Ax By m 0 ， ( m C ) 与直线 Ax By C 0 垂直的直线方程可设为 Bx Ay m 0. 练一练 3 已知直线 l 的方程为 3 x 4 y 12 0 ，求直线 l 的一般式方程， l 满足： (1) 过点 ( 1 ,3) ，且与 l 平行； (2) 过点 ( 1 ,3) ，且与 l 垂直 解：法一：由题设 l 的方程可化为 y 34x 3 ， l 的斜率为34. (1) 由 l 与 l 平行， l 的斜率为34. 又 l 过 ( 1,3

16、) ，由点斜式知方程为 y 3 34( x 1) ，即 3 x 4 y 9 0. (2) 由 l 与 l 垂直， l 的斜率为43， 又过 ( 1,3) ，由点斜式可得方程为 y 3 43( x 1) ， 即 4 x 3 y 13 0. 法二： (1) 由 l 与 l 平行，可设 l 方程为 3 x 4 y m 0. 将点 ( 1,3) 代入上式得 m 9. 所求直线方程为 3 x 4 y 9 0. (2) 由 l 与 l 垂直，可设其方程为 4 x 3 y n 0. 将 ( 1,3) 代入上式得 n 13. 所求直线方程为 4 x 3 y 13 0. 1 本节课的重点是了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线方程的一般式，能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化难点是能根据所给条件求直线方程并能在几种形式间相互转化 2 本节课要重点掌握的规律方法 (1) 求直线一般式方程的策略，见讲 1. (2) 求参数的值或范围的方法，见讲 2.