1、黑龙江省哈六中 2015 届高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版）【试卷综析】试题遵循了考查基础知识和基本技能为主体的原则，着重体现了对“双基”的考查。试卷考查了中学数学尤其是考试说明中的大部分知识点，整份试卷中大部分是基础题目，这些题目的设计回归教材和中学教学实际，以自然但不俗套的形式呈现，既保证了高考试题的创新性，又让考生能以一种平和的心态面对试题，在有限的时间内尽力发挥出自己的最佳水平。第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分【题文】1. 已知全集 ，集合 ， ，则 RU032xA42xB（ ） BACU)(A B C D41x32
2、x1【知识点】一元二次不等式的解法；集合运算. E3 A1【答案解析】B 解析：因为 A=x|x3, ，所以 ，所以RU|3UAx，故选 B.ACU)(32x【思路点拨】化简集合 A ,利用补集、交集的意义求得结论.【题文】2. 如果命题 为假命题，则（ ）)(“qpA 均为真命题 B 均为假命题 ,pq ,pqC 中至少有一个为真命题 D 中至多有一个真命题【知识点】简易逻辑. A3【答案解析】C 解析：因为命题 为假命题，所以命题 为真命题，)( “qppq故选 C.【思路点拨】根据命题 与命题 ，真假性相反得结论.【题文】3. 已知向量 , ,且 ，则 （ ）)31(a)41(xb)(b
3、axA.3 B. C. D.331【知识点】向量共线的意义. F1【答案解析】B 解析：因为 , ，所以 ，又 ，)31(a)4,1(xb,abx)(ba所以-4x+x+1=0,解得 x= ,故选 B.31【思路点拨】根据向量共线的意义得关于 x 的方程，求得 x 值.【题文】4. 设 ，则( )0.10.14,log.,abcA. B C D. cacabacb【知识点】数值大小的比较. E1【答案解析】A 解析：因为 ，所以0.1 0.144,log0.1,4,acb，故选 A.【思路点拨】分析各数所在的区间，且这些区间两两交集是空集，由此得 a,b,c 的大小关系.【题文】5. 已知 ，
4、则 （ ）31cosin)4(sin2A. B. C. D.18879892【知识点】已知一个三角函数式的值，求另一个三角函数式的值. C7【答案解析】B 解析：已知等式两边平方得： ，所以sin2)4(sin2，故选 B.1cos21sin2748【思路点拨】将已知等式平方得 ，再用二倍角公式，诱导公式求解.i9【题文】6. 设公差不为 0 的等差数列 的前项和为 ，若 则 （ nanS8210ka， ， ）A14 B15 C16 D21【知识点】等差数列的性质. D2【答案解析】B 解析：因为 ，所以 ，821S21891021Saa所以 ，所以 ，故选 B.9210253aa 5【思路点
5、拨】根据等差数列的性质得 ，所以 k=15.10【题文】7. 已知 中， , 为 的中点，则 （ ABC|,16ABCDBC|AD）A.6 B. 5 C.4 D.3【知识点】向量的数量积；向量加法的平行四边形法则；余弦定理. F3 F1 C8【答案解析】D 解析：由 得 bccosA=-16,又 a=BC=10，代入余弦定理得，16ABC，因为 ,268bc2D所以 ,2()()ABC234cbA所以 .从而 3，故选 D.394|A【思路点拨】根据向量数量积的定义得 bccosA=-16，代入余弦定理得 ，再由268bc向量加法的平行四边形法则得 ，两边平方，转化为数量积运算得结论.2BCD
6、【题文】8. 函数 （其中 ）的图象如图所示，为了得到)sin()xf 2|的图象，只需把 的图象上所有点（ ） xysinyA. 向右平移 个单位长度 B. 向左平移 个单位长度1212C. 向右平移 个单位长度 D. 向左平移 个单位长度 66【知识点】函数 的图像与性质. C4sin()yAx【答案解析】C 解析：由图像得 T= ,从而 ，进一步由741232，因为 ，所以 ，所以732,12kkZ|3，所以选 C.()sin)sin()6fxx【思路点拨】首先根据图像求出函数 f(x)的解析式，然后再确定变换方法.【题文】9. 已知 在 处取最大值，则（ ）si()0,)fA1xA 一
7、定是奇函数 B 一定是偶函数 )1(xf (fC 一定是奇函数 D 一定是偶函数f )1xf【知识点】三角函数的最值；函数的奇偶性. C3 B4【答案解析】D 解析：因为 在 处取最大值，所以sin()0,)fxA1x,2,2,kZkkZ所以 ，所以 = 是偶函数，()sin()fxAxcos(1)Ax)1(xfcosAx故选 D.【思路点拨】根据题意得 f(x) ，由此逐个检验各选项的正误 .cos(1)x【题文】10. 数列 满足 ， , 则数列 的前,nba1ba *1,2Nnban nab项的和为（ ）10A B. C D)4(39)14(30)14(39)14(30【知识点】等差数列
8、；等比数列；数列求和. D2 D3 D4【答案解析】D 解析：由已知得 ，所以12,nnab121nanb所以数列 的前 项的和为 ，故选 D.nab101043【思路点拨】由已知得 的通项公式，从而求得结论.,nab【题文】11. 已知数列 中满足 ， ，则 的最小值为（ ）1521nanA. 10 B. C.9 D. 15274【知识点】累加法；数列中的最小值问题. D1【答案解析】D 解析：因为 ， ，所以1a21na=21+2+3+-+(n-1)=n(n-1)2132431()()()a 所以 ，所以 = ，25nnn51因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，而 ,5()1fx0,
9、 ,*nN且 ，所以 的最小值为 ，故选 D.73,4na274【思路点拨】由累加法求得数列 的通项公式，得 是函数 图像上的nna15()fx一些点，由函数 f(x)的单调性，求得 的最小值.【题文】12. 若 为偶函数，且 是 的一个零点，则 一定是下列哪个)(xf0xxefy)( 0x函数的零点（ ）A B 1)(xefy 1)(xefyC Df f【知识点】函数零点的意义. B9【答案解析】B 解析：因为 是 的一个零点，所以 ，又 f(x)0xxefy)( 0xfe是偶函数，所以 ，代入各选项检验得正确选项为 B.0fe【思路点拨】根据函数零点的定义及函数 f(x)是偶函数，得 ，代
10、入各选项的00xfe结论.二、填空题：（每小题 5 分，共 20 分）【题文】13. 已知等比数列 的公比为正数，且 ，则 na 2,593aa1【知识点】等比数列的性质. D3 【答案解析】 解析：因为等比数列 的公比为正数， 0，所以等比数列2n2的各项为正数，所以由 得 ，又 ，所以na 2395a65aqa1a.【思路点拨】由等比数列的性质及已知条件得公比 ，又 得 .221a2【题文】14. 已知 ，则 .)2,0(,1)3cos()3cos(【知识点】已知一个三角函数的值，求另一个三角函数的值. C7【答案解析】 解析：由已知得 ，4524cos()s()135所以 .)32cos
11、(s2【思路点拨】由二倍角公式得 ，再由诱导公式得结论.co()3【题文】15. 向量 在正方形网格中的位置如图所示.设向量 ,ACB, aABC若 ，则实数 _.aA【知识点】向量垂直于与其数量积的关系. F1 F3 CAB【答案解析】3 解析：因为 ， ,aABABC所以 2ACB 2cosCAB,解得 .13103【思路点拨】由正方形网格图可得向量 的模，再由 得 ，进而得ACB,aAB0关于 的方程求解.【题文】16. 若对于任意的实数 ，都有 恒成立，则实数 的取值范围4,2b4)(ba是 【知识点】分离常数法；导数法求最值. B12【答案解析】 解析：即 ，在 时恒成立，1,42b
12、a4,2设 在 时恒成立，所以 是4ln102bff, 4()2bf上的减函数，所以 ，所以实数 的取值范围是, maxfa1,【思路点拨】命题为： ，在 时恒成立，所以只需求函数42b4,2的最大值，利用导数求此函数的最大值即可.4()2bf三、解答题：（本大题共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 ）【题文】17. （本小题满分 10 分）已知等比数列 满足 .na312,3a（1 ）求数列 的通项公式； （2 ）若 ，求数列 的前 项和 .21nbanbnS【知识点】等比数列；数列求和. D3 D4【答案解析】(1) ；(2) 1n(41)3nS解析：（1）设等比数列 的
13、公比为 ，由 得 naq31a21()3q由 得 123a1()两式作比可得 ，所以 ， 把 代入解得 ，所以 . 1q2q1a12n（2 ）由（1 ）可得 ,易得数列 是公比为 4 的等比数列，214nnba14n4()3nS【思路点拨】 （1）由已知求得等比数列的首项和公比即可；（2 ）由（1）求得数列 的nb通项，再用分组求和法求数列 的前 项和.nb【题文】18 （本小题满分 12 分）已知向量 且 A、B、C 分别为ABC 的三边,2sin),cos,(),si,(nmABAma、b、c 所对的角.（1 ）求角 C 的大小；（2 ）若 ，求 c 边的长.18)(,sin,si ACB
14、BA且成 等 差 数 列【知识点】向量的坐标运算；正弦定理；余弦定理. F2 C8 【答案解析】(1) ；（2）6. 解析：（1）3 )sin(cosincosinBABm对于 ，CACBACi)i(0, 又 ，.sinmn2s.3,21cos,nsC（2）由 ，Bii,i,i 得成 等 差 比 数 列由正弦定理得 ，.2bac18,18)( CAABC即 由余弦弦定理 ，.36,18osCab ababc 3)(cos222 ，,422cc .6【思路点拨】 （1）利用向量数列积坐标表达式，诱导公式，二倍角公式求得结果；（2 ）由正弦定理，向量数列积的定义式，以及余弦定理求得结果.【题文】1
15、9 （本小题满分 12 分）已知 )4(cos32)4cos()sin()( xxxf（1 ）求 的单调减区间和最大值及取到最大值时相应的 的集合；f x（2 ）若函数 在区间 上恰好有两个零点，求实数 的取值范围.mxfy)(2,0m【知识点】三角函数综合. C9【答案解析】(1) 的减区间为 , 最大值 ，此时 的取)(xf Zkk,65,3 )(xf32x值集合为 ；(2) ,3|Zk321m解析：（1） ()sin2)cos()fxx3sicosi()36由 解得 2362kxk 65kxk的减区间为)(xf Z,65,当 时， 取最大值 ，262k)(xf3此时 的取值集合为x ,|
16、Zk(2) 由 得 ，令0)(mfy 3)6sin(mx )62sin(xy ，x2,5,60 26x0 13y-1 0 2 1由 的图像知 ，)62sin(2m3231m【思路点拨】 （1）利用三角公式将 化为 ，再求其单调减区间和最()fxsin()6x大值及取到最大值时相应的 的集合；（2）函数 得零点，是方程fy即 的解，也就是函数 与函数0)(mxfy 3)6sin(mx )62sin(x交点横坐标，3画出函数 在 上的图像，可得关于 m 的不等式求解.)62sin(xy2,0【题文】20 （本小题满分 12 分）设数列 的前 n 项和为 ，对任意的正整数 n，都有 成立。anS51
17、naS（1）求数列 的通项公式；12（2）设 ，求数列 前 项和 .4log|nnba1nbnT【知识点】已知递推公式求通项；数列前 n 项和求法. D1 D4【答案解析】(1) ；（2） .1()4nn解析：（1）当 时， 【：全,品中&高*考* 网115,4aSa】又 5,nnaS1114na即数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， n1q1()4nna（2） ，所以 nb)41(log1()nb()()23nT 【思路点拨】 （1）利用公式 变形已知递推公式，从而求得数列1,2nnSa的通项公式；（2）由（1）求得 ，再用裂项求和法求数列 前 项和nab1nb.nT【题文】21 （本小题
18、满分 12 分）在 ABC 中， ，D 是 AB 边上的一点， ，60,1ABC 2CDCBD 的面积为 1，（1 ）求 BD 的长； （2 ）求 的值.ADsin【知识点】三角形面积公式；正弦定理；余弦定理. C8【答案解析】 （1）2；（2 ） .624解析：（1） ，1sin102sin BCDBCDSCBD ，5sin52cosAB CD由余弦定理得： 45210210cos22 BCDBCD故 2BD（2 ）在 中，由正弦定理 有 ，CBsinsin 5sin解得 ， ， 2sinB 60DCAACD , coD 60sinco60ssin)60sin(si BBAC423)21【思
19、路点拨】 （1）由面积公式得 ，从而 ，再由余弦定理求5sinCD52cosCD得 ；（2）由（1）及正弦定理得 ，而 ,所以BD2iB60BA，又 ，所以可以求 的值.cosC60AA Csin【题文】22 （本小题满分 12 分）已知函数 的图像在点 处的切线为Rxaexf,)(2xbxy（1 ）求函数 的解析式；)(f（2 ）当 时，求证： ；Rxxf2)(（3 ）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.kf)(,0xk【知识点】导数的几何意义；导数的应用. B11 B12【答案解析】 （1） ；（2 ）证明：见解析；（ 3） . 1)(xef (0,)解析：（1） xefaxf )(,由已知 解得 ，故bfa1)0(11)(2f（2 ）令 ， 由 得2xexfxg 0)(xeg当 时， ， 单调递减；)0,(0)()(g当 时， ， 单调递增,xxx
