1、黑龙江省双鸭山一中 2015 届高三 9 月月考数学（理）试题（解析版）（时间：120 分钟 总分：150 分，交答题纸）第卷（12 题：共 60 分）【试卷综析】本次试卷考查的范围是三角函数和数列。试卷的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况。整份试卷难易适中，没有偏、难、怪题，保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情；在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础，突出知识体系中的重点，培养能力”的命题原则，重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查。 一、 选择题（包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 【题文】1.已知集合 ，则（ ） |l
2、g(2),|1MxyxNyxA. B. C. D.NMNM【知识点】集合的包含关系判断及应用A1【答案解析】B 解析： 集合 M=x|y=lg（2x）=（ ，2） ，N=y|y= + =0，故选 B【思路点拨】由题意先化简集合 M，N；再确定其关系【题文】2.下列说法正确的是（ ） A.命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”21x21xB.“ ”是 “ ”的必要不充分条件560xC.命题“ ”的否定是“ ”2,R2,0RD.命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题xysiny【知识点】四种命题A2【答案解析】D 解析：对于 A，该命题的否命题为：“若 x21，则 x1”，A 错误；对于 B，x
3、=1 时，x 25x6=0，充分性成立，x 25x6=0 时，x= 1 或 x=6，必要性不成立， 是充分不必要条件，B 错误；对于 C，该命题的否定是：“ xR，均有 x2+x10，C 错误对于 D，x=y 时， sinx=siny 成立，它的逆否命题也为真命题，D 正确故选：D【思路点拨】本题考查了四种命题之间的关系，也考查了命题特称命题与全称命题的关系以及命题真假的判断，是基础题【题文】3.若复数 ，则 （ ） 2014()izln|zA. B. C. D.不存在 2【知识点】复数代数形式的乘除运算L4 【答案解析】B 解析： =2014()iz=i2014=（i 2） 1007=（ 1
4、） 1007=1ln|z|=ln1=0 故选：B 【思路点拨】利用复数代数形式的乘除运算化简括号内部的代数式，然后利用虚数单位 i的运算性质化简，代入 ln|z|得答案【题文】4.在等差数列 中， ，则数列 的前 项和等于（ ） na392ana9A. B. C. D.9612【知识点】等差数列的前 n 项和；等差数列的通项公式D2【答案解析】A 解析：在等差数列 an中，2a 3+a9=3， 2（a 1+2d）+（a 1+8d）=3，3a1+12d=3，a 1+4d=1， 数列a n的前 9 项和：S 9= =9（a 1+4d）=9故选：A【思路点拨】利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式
5、求解【题文】5.已知 ，则 的值为（ ） 3cos52cosiA. B. C. D.925182353425【知识点】二倍角的余弦C6【答案解析】A 解析： ， sin2=1cos2= ，cos16则 =12sin2+sin2=1sin2=1 = 故选： A2cosin59【思路点拨】由 cos 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出 sin2 的值，原式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简合并后，将 sin2 的值代入计算即可求出值【题文】6. 的值为 （ ） 10()xedA. B. C. D.12e12e【知识点】定积分B13【答案解析】C 解析： =（e x+ ） | =e =e+ ，故
6、选：C【思路点拨】根据微积分定理直接求函数的积分【题文】7.已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则满足()fxR0x2()fx的实数 的取值范围为（ ） 2()fA. B. C. D.1,2)(,2)1,U(,1)【知识点】函数单调性的性质；二次函数的性质B5【答案解析】C 解析： ，对称轴为 x=1， 在0，+）上单调递增；2()fx()fx 是奇函数， 在（，0上也单调递增， 在定义域 R 上单调递增； 由()fx原不等式得：2x 2x，解得 x 2，或 x1；实数 x 的取值范围为（ ， 2） （1，+） 故选 C【思路点拨】根据已知条件可得 在 R 上单调递增，所以由 得，()fx
7、2()(fxf2x2x，解该不等式即得原不等式中实数 x 的取值范围【题文】8.设函数 ，则下列关于函数 的说法中正确的是（ ()|sin2)|3fx()fx） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 ()fx ()fC. 在区间 上是增函数 D. 的图象关于点 对称 7,312x(,0)6【知识点】复合函数的单调性；函数奇偶性的判断B3 B4【答案解析】C 解析： f（ ）=|sin2（ ）+ |= ，f （ ）=|sin2 （ ）+|=0，f （ ） f（ ） ，f（x）不是偶函数，选项 A 错误；f（ x+ ）=|sin2 （x+ ）+ ）|=|sin（2x+ ）|=|sin（2x+ ）|
8、，f（ x）的最小正周期为 ，选项 B 错误；当 x 时，2x ，2x+ ，g（ x） =sin（2x+ ）在 上为减函数，f （x）=|sin（2x+ ）|在上为增函数，选项 C 正确；函数 f（x）=|sin（2x+ ）|的图象恒在 x 轴上方，f（ x）的图象不关于点 对称，选项 D 错误故选：C【思路点拨】举例说明 A 不正确；由 f（x+ ）=f（x ）说明 B 不正确；由 x 得范围得到相位的范围，说明 g（x）=sin（2x+ ）在 上为减函数，f （x）=|sin（2x+ ）|在 上为增函数；由 f（x）=|sin（2x+ ）|的图象恒在 x 轴上方说明 f（x）的图象不关于点
9、 对称【题文】9.已知圆 的半径为 ， 为该圆的两条切线， 为两切点，那么O1,PAB,AB的最小值为 （ PABur）A. B. C. D.42324232【知识点】圆方程的综合应用；平面向量数量积的运算F3 H4【答案解析】D 解析：如图所示：设 PA=PB=x（x0） ， APO=，则 APB=2，PO= ， ，= =x2（12sin 2）= = ，令 =y，则 ，即 x4（1+y）x 2y=0，由 x2 是实数，所以=（1+y） 241（y） 0，y 2+6y+10，解得 或 故（ ）min=3+2 此时 【思路点拨】要求 的最小值，我们可以根据已知中，圆 O 的半径为 1，PA、PB
10、 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，结合切线长定理，设出 PA，PB 的长度，和夹角，并将表示成一个关于 X 的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答【题文】10. 已知函数 在定义域内有零点，则实数 的取值范围()ln1(0)afxa是 （ ）A. B. C. D.1a0a1【知识点】函数的零点B9【答案解析】B 解析：函数 f（x）= +lnx1（a 0）的定义域为（0，+） ，函数 f（x）= +lnx1（a0）在定义域内有零点，方程 +lnx1=0 有解，即 a=xxlnx 的值域，a=1 lnx1=lnx，则 a11ln1=1，故 0a 1，故选 B【思路点拨】将函数的零点化为方
11、程的解，进而转化为函数的值域，问题得解.【题文】11. 已知正实数 满足 ，若对任意满足条件的 都有,xy24xy,xy恒成立，则实数 的取值范围为 （ ）2()1()0xymmA. B. C. D.5,5,)3(,3,)2【知识点】函数恒成立问题B14【答案解析】A 解析：因为正实数 满足 ，而 4xy（x+y） 2，代入原,xy24xy式得（x+y） 2（x+y）2 0，解得（ x+y） 2 或（x+y ） 1（舍去）由 恒成立得 恒成立，令 t=x+y2，+） ，()1()xymxy则问题转化为 m 时恒成立，因为函数 y= 在1，+）递增，所以要使原式成立只需 m =2 故选 A【思路
12、点拨】由 可得 ，再令 t=x+y，则 a2()1()0xyxy恒成立，求出 t 的范围，问题即转化为求函数 a= 的最小值问题【题文】12. 对于函数 和区间 ，如果存在 ，使得 ，(),fxgD0x00|()|1fxg则称 是函数 与 在区间 上的“互相接近点” 。现给出两个函数：0x ； ； 2(),()2f(),()2f ；lngx 。()1,xfe()则在区间 上存在唯一“相互接近点”的是 （ ）(0,)A. B. C. D.【知识点】函数的最值及其几何意义；命题的真假判断与应用B3 A2【答案解析】D 解析：对于 ：由 f（x）g（x）=x 22x+2=（x 1） 2+1，显然，当
13、 x=1 时，取得最小值 1，符合题意，显然只有 x=1 符合“相互接近点 ”定义，所以符合题意；对于：由 f（x）g（x）= x2= ，则当 x0 时，|f（x）g（ x） | 恒成立，故 x0 时不存在“ 相互接近点”，所以不符合题意；对于：令 h（x）=x lnx，则 h（x）=1 ，令 h（x）0，则 x1，令 h（x）0，得0x1，所以函数 h（x）在（0，1）上递减，在（1，+）递增，所以 x=1 时，h（x）min=h（1）=1，故当 x0 时，存在唯一的“相互接近点”，故符合题意；对于：因为当 x0 时，e x0，则 ex+11，而此时 ，故 f（x）g（x）1 当x0 时恒成
14、立，故在（0，+）不存在“相互接近点” ，所以不符合题意故选 D【思路点拨】由“互相接近点”的概念可知，只要是能找到一个 x0，使得|f（x 0） g（x 0）|1即可，因此只需构造函数 h（x）=f （x）g（x） ，利用单调性求其最大值或最小值和 1 比较，则问题即可解决第卷（10 题：共 90 分）二、填空题（包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）【题文】13. 已知向量 ，且 三点共线，则(,12)(4,)(,10)OAkBOCkurrur,ABC= 。k【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；三点共线F2【答案解析】 解析：向量 ，23k又 A、B、C 三点共线，故（4 k
15、，7）=（2k，2） ，k=故答案为【思路点拨】利用三点共线得到以三点中的一点为起点，另两点为终点的两个向量平行，利用向量平行的坐标形式的充要条件列出方程求出 k【题文】14. 数列 满足 ，则通项 。na11,*2nnaNna【知识点】数列递推式D1【答案解析】 解析：数列a n满足 a1=1，a n+1= ，nN *，21n = = ，又 ， 是首项为 1，公差为 2 的等差数列， =1+（n1）2=2n 1，an= 故答案为： 【思路点拨】由已知得 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，从而能求出 an= 【题文】15.已知集合 表示的平面区域为 ，若在区域 内任取一0(,)|4312x
16、y点 ，若 ，则 的取值范围是 。(,)Pxy2xuu【知识点】简单线性规划E5【答案解析】 解析：作出其平面区域如图：3,7u= =2+ ， 可看成点 P（x，y）与点 A（ 1，1）构成的直线的斜率，kAC=1，k AB= =5，1 5，3 2+ 7，故答案为3，7【思路点拨】作出其平面区域，化简 u= =2+ ， 可看成点 P（x，y ）与点 A（1，1）构成的直线的斜率，从而求 u 的取值范围【题文】16.若函数 为定义在 上的减函数，函数 的图象关于点()yfxR(1)yf对称， 满足不等式 为坐标(,0), 22()()0,fxfMNxyO原点，则当 时， 的取值范围为 。14OM
17、Nr【知识点】平面向量数量积的运算；函数单调性的性质B3 F3【答案解析】 解析：设 P（x，y）为函数 y=f（x1）的图象上的任意一点，关于0,2（1，0）对称点为（2x， y） ，f（ 2x1）= f（x 1） ，即 f（1x）=f（x1） 不等式 f（x 22x）+f （2yy 2）0 化为 f（x 22x） f（2y y2）=f（11 2y+y2）=f（y 22y） ，函数 y=f（x）为定义在 R 上的减函数，x 22xy22y，化为（x1） 2（y 1） 2，即 或 又1x4，画出可行域M（1，2） ，N（x，y） ，O 为坐标原点， =x+2y=t化为 由图可知：当直线 经过点
18、 A（4，2）时，t 取得最小值 0当直线 经过点 B（ 4，4）时 t 取得最大值 4+24，即 12综上可得： 的取值范围是0，12故答案为：0 ，12 【思路点拨】设 P（x，y）为函数 y=f（x 1）的图象上的任意一点，关于（1，0 ）对称点为（2 x，y） ，可得 f（2 x1）= f（x 1） ，即 f（1 x）= f（x 1） 由于不等式 f（x 22x）+f（2y y2）0 化为 f（x 22x） f（2y y2）=f （y 22y） ，再利用函数 y=f（x）为定义在 R 上的减函数，可得 x22xy22y，即 或 由于 1x4，可画出可行域由 M（1， 2） ，N（x，y
19、） ，O 为坐标原点，利用数量积运算可得 =x+2y=t进而得出答案 三、解答题（包括 6 小题，共 70 分）【题文】17. （本题 10 分） 已知集合 。24|4,|13AxBx（1）求集合 ；ABI（2）若不等式 的解集为 ，求 的值。20xabB,ab【知识点】交集及其运算；一元二次方程的根的分布与系数的关系A1B5【答案解析】 （1） ；（2） .(,1)AB=-4,6解析：（1）A=x|x 24=x| 2x2，B= =x| 0=x|3 x1，AB=x|2x1；（2）由题意及（1）有3，1 是方程 2x2+ax+b=0 的两根 【思路点拨】 （1）分别求出集合 A 和集合 B 中的
20、不等式的解集，然后求出两集合的交集即可；（2）由题意和（1）中的结论可知3 和 1 为方程的两个根，把 3 和 1 分别代入方程中得到关于 a 与 b 的方程，求出方程的解即可得到 a 与 b 的值【题文】18. （本题 12 分）已知函数 。()4sinco()3fxx（1）求 的最小正周期 ；()fxT（2）求 在区间 上的最大值和最小值及取得最值时 的值。,46x【知识点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域C5 C3 【答案解析】 （1） ；（2）当 时， ；当 时，Tp=4xmin()1fx2x。max()f解析：（1）化简可得= （2 分）= （4
21、 分）所以 （7 分）（2）因为 ，所以 （9 分）所以 ，所以1 f（x）2，当 ，即 时，f（x） min=1，当 ，即 时，f（x） max=2，（14 分）【思路点拨】 （1）由三角函数的公式化简可得 f（x）= ，由周期公式可得答案；（2）由 x 的范围可得 的范围，进而可得 的范围，可得f（x）的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的 x 值【题文】19. （本题 12 分）已知等差数列 的前 项和为 ，且 。na5101052a（1 ）求数列 的通项公式；（2 ）对任意 ，将数列 中不大于 的项的个数记为 ，求数列 的前*mNn27mmbm项和 。S【知识点】数列的求和；等差数列的前 n 项和；等差数列的性质D2 D4
