1、重庆一中 2015 届高三上学期第一次月考文科数学试卷（解析版）2014.9【试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神., 重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察, 有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质, 考基础,考方法,考潜能的检测功能 .一、选择题：（每小题 5 分，共计 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）【题文】1、已知为虚数单位，若 ，则 （ ）1(,)iabiRabA B C D02【知识点】
2、复数相等的充要条件L4 【答案解析】B 解析：a+bi= = = =i，a=0，b=1a+b=1故选：D【思路点拨】利用复数的运算法则和复数相等即可得出【题文】2、命题“若函数 在 上是减函数，则 ”的否命题是mxef)(),01m（ ）A若函数 在 上不是减函数，则xef)(, B若函数 在 上是减函数，则)C若 ，则函数 在 上是减函数1mf)(),0D若 ，则函数 在 上不是减函数x【知识点】四种命题A2 【答案解析】A 解析：否定命题的条件作条件，否定命题的结论作结论，即可得到命题的否命题命题“若函数 在 上是减函数，则 ”的否命题是：若函数xef)(),01m在 上不是减函数，则 m
3、1mxef)(,故选：A【思路点拨】直接写出命题的否命题，即可得到选项【题文】3、如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的 成绩（单位：分） ，已知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 16.8，则yx,的值分别为（ ） A 5,2 B 5,5 C 8,5 D8,8【知识点】茎叶图I2 乙乙48x592107y【答案解析】C 解析： 甲组数据的中位数为 15，10+y=15，y=5；又 乙组数据的平均数为 16.8，9+15+（10+x）+18+24=16.85，x=8； x，y 的值分别为 8，5；故选：C【思路点拨】由甲组数据的中位数求出 y 的值，乙组数据的
4、平均数求出 x 的值【题文】4、下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是（ ）(,0)A B C D()2xf2()1fx3fx21()fx【知识点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明B3 B4 【答案解析】D 解析：只有函数 ， 是偶函数，而函数2()fx2()1f是奇函数， 不具有奇偶性而函数 ， 中，3()fx()xf2fx2()1fx只有函数 在区间 上单调递增的21fx,0综上可知：只有 D 正确故选： D【思路点拨】利用函数函数的奇偶性和单调性即可判断出【题文】5、阅读右边程序框图，为使输出的数据为 31，则判断框中应填入的条件为（ ）A B 4i5iC D67【知识点
5、】程序框图L1 【答案解析】A 解析：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S i 是否继续循环循环前 1 1 第一圈 3 2 是第二圈 7 3 是第三圈 15 4 是第四圈 31 5 否所以当 i4 时输出的数据为 31，故选 A【思路点拨】析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环求 S 的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案【题文】6、设 ， ， ,则（ ）0.53x3log2ycszA BzyxyC D【知识点】对数值大小的比较B7 【答案解析】A 解析：x=30.5= 1，0=log 31y=log 32log 33=
6、1，z=cos20 ，zyx故选：A【思路点拨】利用指数函数、对数函数、三角函数的性质求解【题文】7、若函数 的相邻两个零点的距离为()sincosfxax，且它的一条对称轴为 ，则 等于（ ）32()fA B C D 2 2【知识点】两角和与差的正弦函数C5 【答案解析】D 解析：函数 的相邻两个零点()sincosfxax的距离为 ， =，求得 =1再根据函数的一条对称轴为 ，可得 asin cos = ，平方可得32x=0，求得 a= 则 f（x）= sinxcosx=2（ sinxcosx）=2sin （x ） ，=2sin（ ）=2sin（ ）=2sin =2，()3故选：D【思路点
7、拨】根据函数 的相邻两个零点的距离为 ，求得 =1再根据函数的()sincosfxax一条对称轴为 x=，可得 asin cos = ，平方求得 a= ，可得函数 f（x）的解析式，从而求得 的值()3f【题文】8、某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为（ ） A30 B24 C 18 D12 【知识点】由三视图求面积、体积G2 【答案解析】B 解析：由三视图知该几何体是高为 5 的三棱柱截去同底且高为 3 的三棱锥所得几何体，棱柱的体积等于 =30，所截棱锥的体积为：=6，故组合体的体积 V=306=24，故选：B【思路点拨】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱
8、载去一个43233正视图 左视图俯视图同底不等高的三棱锥所得，求出棱柱及棱锥的底面面积和高，代入棱柱和锥体体积公式，相减可得答案【题文】9、已知函数 ，3()sin1(,)fxabxcabR，则 （ ）(lg3)f3lgo10A B C D204【知识点】函数的值B1 【答案解析】B 解析： ， ，3()sin1(,)fxabxcabR(lg3)fasin（lg（lg3） ）+b （lg（lg3 ） ） 3+c（lg（lg3） ）+1=3，asin（lg（lg3） ）+b （lg（lg3 ） ） 3+c（lg（lg3） ）=2，f（ lg（log 310） ）=f（lg（lg3 ） ）=asi
9、n（lg（lg3 ） ） +b（lg （lg3） ） 3+c（lg（lg3） ） +1=2+1=1故选：B【思路点拨】利用对数性质和函数性质求解【题文】10、已知函数2,0()4cos1xfx,且方程 ()1fxm在区间2,内有两个不等的实根, 则实数 m的取值范围为（ ）A. 4 B. (,3) C. D.2,4(,2)4【知识点】分段函数的应用B9 【答案解析】C 解析：直线 y=mx+1 过定点（0，1） ，作出函数 f（x）的图象如图：由图象可知，当直线 y=mx+1y 与 f（x）=x 2+2 在第一象限相切时，满足方程 f（x）=mx+1在区间 2，内有三个不等的实根，此时 x2+
10、2=mx+1，即 x2mx+1=0，则判别式 =m24=0，解得 m=2 或 m=2（舍去） 当直线 y=mx+1 在 x=0 时与 f（x）=4xcosx+1 相切时，有两个不等的实根，此时 f（x）=4cosx 4sinx，m=f（0）=4，此时满足条件当 m0，由 4xcosx+1=mx+1，即 m=4cosx，当此时方程 m=4cosx 在 2，0）只有一个解时，即 m=4，此时方程 f（x）=mx+1 在区间 2， 内有 1 个实根，此时不满足条件综上满足条件的 m 的取值范围为 4m2 或 m=4，故选：C【思路点拨】作出函数 f（x）的图象，利用数形结合即可得到结论二、填空题：（
11、每小题 5 分，共计 25 分，把答案填在答题卡的相应位置 ）【题文】11、已知集合 ， ，则 1Ayx2ByxAB【知识点】交集及其运算A1 【答案解析】 解析：集合 A=x|y=x|x0， B=y|y=x2=y|y0，(0,)AB=x|x0=（0，+） 故答案为：（0，+） 【思路点拨】利用交集定义求解【题文】12、若两个非零向量 满足 ，则向量 与 的夹角为 ,ababab【知识点】数量积表示两个向量的夹角F3 【答案解析】 解析：，为非零向量，且|+|=| ， |+|2=|2，2 = ，即 ， 与夹角为 故答案为： 【思路点拨】由，为非零向量，且|+|=| ，知|+| 2=|2，由此得
12、到 ，从而得到与夹角为 【题文】1 3、 在 不 等 式 组 所 表 示 的 平 面 区 域 内 随 机 地 取 一 点 ， 则 点 恰 好1 02 xy P落 在 第 二 象 限 的 概 率 为 【知识点】几何概型；简单线性规划E5 K3 【答案解析】 解析：不等式组 所表示的平面区域为一直角三角形，其921 02 xy面积为 =，点 P 恰好落在第二象限平面区域为一直角三角形，其面积为=，点 P 恰好落在第二象限的概率为= 故答案为：【思路点拨】先根据不等式组画出平面区域，然后求出区域的面积，以及点 P 恰好落在第二象限区域内的面积，最后利用几何概型的概率公式解之即可【题文】14、已知直线
13、 和直线 ，若抛物线:lxy14360:plx2上的点到直线 和直线 的距离之和的最小值为 2，则抛物线 的方:()Cypx20l1 C程为 【知识点】抛物线的简单性质H7 【答案解析】 解析：设抛物线上的一点 P 的坐标为（a 2，2a） ，则 P 到直线yx24l2：x=的距离 d2=a2+；P 到直线 的距离 d1= ，:lxy14360则 d1+d2= +a2+= a2a+，当 a=时，P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值为 2，p=2，抛物线 C 的方程为 y2=4x故答案为：y 2=4x【思路点拨】设出抛物线上一点 P 的坐标，然后利用点到直线的距离公式分别求出 P
14、到直线 l1 和直线 l2 的距离 d1 和 d2，求出 d1+d2，利用二次函数求最值的方法，求出距离之和的最小值，即可得出结论【题文】15、给出定义：设 是函数 的导数， 是函数 的导数，()fx()yfx()fx()fx若方程 有实数解 ,则称点 为函数 的“拐点”.重庆武中高()0fx00,y2015 级某学霸经探究发现：任何一个一元三次函数 都有32()fxabcxd(0)a“拐点” ，且该“拐点”也为该函数的对称中心.若 ，则1122014()()()055fff【知识点】利用导数研究函数的单调性B12 【答案解析】 解析：由 ，f （x）=3x 23x，4321()fxf（x）=
15、6x 3，由 f（x）=6x3=0，得 x=，f （）=1，f（ x）的对称中心为（，1） ，f（1x）+f（x）=2，f（ ）+f（ ）=f（ ）+f（ ）=f（ ）+f （ ）=2 =2014故答案为：2014【思路点拨】求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于 0 求出 x 的值，可得 f（1 x）+f（ x）=2 ，从而得到则 的12214()()()055fff值三、解答题：（本大题共 6 小题，共计 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）【题文】16、 （本小题满分 13 分，第（）问 6 分，第（）问 7 分）城市公交车的数量太多容易造成资的浪
16、费，太少又难以满足乘客的需求，为此，重庆市公交公司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人，将他们的候车时间作为样本分成5 组，如图所示（单位：min） ，回答下列问题 组别 候车时间 人数一 0,5)2二 16三 10,5)4四 22五 ,1()估计这 60 名乘客中候车时间少于 10min 的人数；()若从表中的第三、四组中任选两人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好自不同组的概率【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式K2 【答案解析】() 32() 815解析：()候车时间少于 10min 的概率为 ，26815故候车时间少于 10min 的人数
17、为 .03()将第三组乘客分别用字母 表示，第四组乘客分别用字母 表示，则随,abcd,AB机选取的 人所有可能如 ，共有2,ABbcd15 种不同的情况，其中两人恰好自不同组包含 8 种情况，故所求概率为 .815【思路点拨】 （）候车时间少于 10 分钟的人数所占的比例为 ，用 60 乘以此比例，即得所求 （）从这 6 人中选 2 人作进一步的问卷调查，用列举法列出上述所有可能情况共有 15 种，用列举法求得抽到的两人恰好自不同组的情况共计 8 种，由此求得抽到的两人恰好自不同组的概率【题文】17、 （本小题满分 13 分，第（）问 6 分，第（）问 7 分）在 中，角 的对边分别为 ，若
18、向量 ，ABC, ,abc2(,)mbca，且 .(,1)nbc0mn（）求角 的大小；（）若 ，求 的面积的最大值.3a【知识点】正弦定理；余弦定理C8 【答案解析】 （） （）2.A3.4解析：（）因为 ，所以 ，即0mn2()0bca22.bcabc故 又 ，所以21cos.(,)A3A（）由（）及 ，得 3a23.c又 （当且仅当 时取等号） ，故 ，即2bcb2bc1.b故 123sin1si.24ABCSbc【思路点拨】 （）由两向量的坐标及两向量数量积为 0，列出关系式，再利用余弦定理表示出 cosA，将得出关系式代入求出 cosA 的值，即可确定出角 A 的大小；（）利用余弦定
19、理列出关系式，把 cosA 与 a 的值代入，并利用基本不等式求出 bc 的最大值，即可确定出三角形 ABC 面积的最大值【题文】18、 （本小题满分 13 分，第（）问 6 分，第（）问 7 分）已知函数 为偶函数，且其图象上相邻的一个最()sin)(0,)fx高点和最低点间的距离为 .24()求 的解析式； ()若 ，求 的值.()fx 2()sin3fsin(2)14ta【知识点】由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；同角三角函数基本关系的运用C2 C4 【答案解析】 （） （）()cosfx59解析：()因为 为偶函数，故 ，in)(0,)2从而 .再由 图象上相邻的一个最高
20、点和最低点间的距()si)cs2fxxf离为 ，知 ，从而 ，故 . 所以 .24T1()cosfx() 原式 .2sincos1sincosinii由条件知 ，平方得 ，从而 .2csi342sic952sinco9【思路点拨】 （1）函数 f（x） =sin（x+） （ 0，0 ）为偶函数，其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离，确定函数的周期，求出 ，确定 的值，求出 f（x）的解析式；（2）把上一问求出的结果代入函数的解析式，得到角的正弦与余弦的和，用诱导公式和二倍角公式把所给的式子进行整理，根据同角的三角函数之间的关系得到结果【题文】19、 （本小题满分 12 分，第（）问 5
21、分，第（）问 7 分）已知函数 ln()fxaxR（I）若 时，求曲线 在点 处的切线方程；1ayf1（II）若 ，函数 没有零点，求 的取值范围0fxa【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理； E NMD CBA利用导数研究函数的单调性.B12 【答案解析】 （） （） e0a1y解析：（I） ()()xaf ，切点为 ， ，故切线方程为 .(1,)/(0f1y（II）当 时， 在定义域 0,上没有零点，满足题意；0a当 时，函数 ()fx与 f在定义域上的情况如下表：,)aa(,)a()fx0 + 极小值 ()fa是函数 ()fx的极小值，也是函数 ()fx的最小值，
22、所以，当 ln10a，即 ea时，函数 ()fx没有零点.综上所述，当 e时， ()fx没有零点. 【思路点拨】 （I）求出 a=1 时，函数 f（x）和导数，求得切点和切线的斜率，即可得到切线方程；（II）讨论当 a=0 时，当 a0 时，求出函数的单调区间和极值，判断也是最值，且与 0 的关系，即可判断零点的情况【题文】20、 （本小题满分 12 分，第（）问 5 分，第（）问 7 分）如图，正方形 所在平面与直角三角形 所在的平面互相垂直， ，ABCDABEAEB设 分别是 的中点，已知 ，,MN,E21（）求证： 平面 ；/（）求点 到平面 的距离【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算G4 G11【答案解析】 （）见解析（） 217解析：()证明：取 中点 ，连接 .由于 为 的中位线，所以ECF,MBFCDE；又因为 ,所以1/,2MFD/2ND/,NBMF所以四边形 为平行四边形，故 ，而 平面 ， 平面NB，EC所以 平面 ；/()因为 平面 ，所以：/EC11233EBMCBENBNBEVVSC
