1、 1绝对值函数与分段函数一与绝对值函数有关的基本知识1 V 型函数|xy2与绝对值有关的函数变换 |)()(xfyxfy 除 左 右 对 称 到 左 |上 不 变 下 翻 上二分段函数（绝对值函数除绝对值） 0,|xy分段函数分段处理三典例分析例 1 “ ” 是“函数 在区间 上为增函数”的 条件（填充分，2a()fxa2,)必要，充要）.分析： | axyxy 左 右 平 移 22| 。a上 为 增 则在故填充分非必要例 2 已知函数 ()xf，则函数 ()yfx的图象可能是（ ）分析： |2|22 xxx yyy绝 对 值 变 换平 移故选 B1OxyA1xB1OxyC1OxyD2例 3已
2、知函数 的定义域是 （ 为整数） ，值域是 ，则满足条件12|4)(xf ba, 1,0的整数数对 共有_个. .,ba分析： 12|4124244 xyxyxyxy 绝 对 值 变 换平 移平 移 满 足 要 求由 题 意 和 图 像 知 经 绝 对 值 变 换 后 知 道求 得令求 得令 )2,0(1212)0,( 02),0124 。 。CByAxy例 4已知 )(axf（1）若 a0,求 的单调区间;（2）若当 ,0x时，恒有 0)(xf，求实数 a 的取值范围.分析：绝对值函数转分段函数 axxf,2)(2AB BAC ),(),( ),(202,2)()()1222aa 。xx a
3、ya减 区 间 为 增由 图 知 单 调 区 间 为故 可 画 出 函 数 图 像 两 支 函 数 值 都 为时当轴 正 半 轴对 称 轴 在 时当且 两 抛 物 线 对 称 轴 相 同对 称 故 两 段 上 图 像 关 于A31021,)(,)( ,2:,2)242a。ffx 。aya既 得 只 需 要 第 一 支 函 数 中上 恒 成 立在 因 此 要 使况 下 都 小 于 零故 第 二 支 函 数 在 任 意 情 恒 小 于 零顶 点 最 大 值 为练习：1 已知 ，则 的值等于 cos0()1)xfxf)34(fA B1 C2 22 若函数 (),04xf，则 4(log)f（ ）A
4、13B 3 C 3 D3 函数 21,(0)()xff，若方程 axf)(恰有两个不等的实根，则 a的取值范围为A 0,B , C )1,( D ,0 4 设函数 ，若 ，则关于 的方程20(),xbcf4(2)ffx的解的个数为fxA. 4 B.2 C1 D.35.已知函数 满足对任意)0(4)3(,)xafx 0)(,2121 xffx都 有成立，则 a 的取值范围是 6 知函数 ()21,xfbc，且 ()()fcfb，则下列结论中，必成立的是A 0,bc B 0,a C 2ac D 2ac学科网7 设函数 ()yfx在 ,)内有定义，对于给定的正数 K，定义函数4(),.KfxKf取函
5、数 ()2xf。当 = 1时，函数 ()Kf的单调递增区间为【 A ,0 B (0,) C ,1 D (1,) 8 若函数 的图象存在有零点，则 m 的取值范围是_ |1()xym9 函数 的图象的大致形状是（ ）|xa10.数 sinyx的值域是_18 位同学在研究函数 f (x) = (xR) 时，分别给出下面三个结论：x1 + | x | 函数 f (x) 的值域为 (1,1) 若 x1x2，则一定有 f (x1)f (x2) 若规定 f1(x) = f (x)，f n+1(x) = f fn(x)，则 fn(x) = 对任意 nN * 恒成立.你认为x1 + n | x |上述三个结论
6、中正确的个数有 11 数 ， ， ，判断如下两个命题的真假：()|2|fx2()fx()cos2)f命题甲： 是偶函数；()f命题乙： 在 上是减函数，在 上是增函数；x,2(2,)能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是 （ ）A B C D12 定义在 R 上的偶函数 fx的部分图像如右图所示，则在 2,0上，下列函数中与fx的单调性不同的是5A 21yxB. |C. 32,01xyD ,0xeo函数专题：单调性与最值一、增函数1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：随 x 的增大，y 的值有什么变化？ 1能否看出函数的最大、最小值？ 2函数图象是否具有某种对
7、称性？ 32、从上面的观察分析，能得出什么结论？不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数的单调性。3.增函数的概念一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x 2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D上是增函数。注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x 2；当 x1x2时，总有 f(x1)f(x2) yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-16二、函数
8、的单调性如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。【判断函数单调性的常用方法】1、根据函数图象说明函数的单调性例 1、 如图是定义在区间5，5上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？【针对性练习】下图是借助计算机作出函数 y =x 2 +2 | x | + 3 的图象，请指出它的的单调区间2利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤： 任取 x1，x 2D，且 x1x2； 作差 f(x1)f(x 2)； 变形（
9、通常是因式分解和配方） ；定号（即判断差 f(x1)f(x 2)的正负） ；下结论（即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性） 例 2、证明函数 在（1，+）上为减函数xy7例 3、函数 f(x)= x31 在 R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在 R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论例 4、已知 f(x)是定义在(2，2)上的减函数，并且 f(m1) f(12 m)0，求实数 m 的取值范围例 5、判断一次函数 单调性.ykxb(0)例 6、利用函数单调性的定义，证明函数在区间（0，1上是减函数8【归纳小结】函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助
10、计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 作 差 变 形 定 号 下结论针对性练习1.函数 的单调区间是（ ）1yxA （- ，+ ） B.（- ，0） （ 1， ， ） C.（- ，1） 、 （1， ） D. （- ，1） （1， ）2. 下列函数中,在区间（0,2）上为增函数的是( ).A B C D 32yx3yx245yx23810yx3函数 的增区间是（ ）。2A-3，-1 B-1,1 C D 13a(,)(1,)4、已知函数，判断 在区间0，1和（1，+ ）上的单调性。1()fx()fx5、定义在（1，1）上的函数 是减函数，且满足： ，求实
11、数()fx(1)(faf的取值范围。a6、函数 f(x)= x31 在 R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在 R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论9复合函数的单调性1、 定 义 ：设 y=f(u),u=g(x),当 x 在 u=g(x)的 定 义 域 中 变 化 时 ， u=g(x)的 值 在 y=f(u)的 定 义 域 内 变 化 ， 因 此 变 量 x 与 y 之 间 通 过 变 量 u 形 成 的 一 种 函 数 关 系 ， 记 为 y=f(u)=fg(x)称 为 复 合 函 数 ， 其 中 x 称 为 自 变 量 ， u 为 中 间 变 量 ， y 为因 变 量 (即 函 数
12、 )2、复合函数 fg(x)的单调性与构成它的函数 u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下： 函数 单调性增 增 减 减()ugx增 减 增 减yf增 减 减 增()x例 1、已知 ，求 的单调性。()1,()32yfugx()yfgx例 2、已知 ，求函数 的单调性。2()1,()1yfugx()yfgx针对性训练1、已知 ，求函数 的单调性。2()1,()1yfugx()yfgx102、已知 ，如果 ，那么 （ ）2()8fxx2()gxf()gxA. 在区间（-1，0）上是减函数 B. 在区间（0，1）上是减函数C. 在区间（-2，0）上是增函数 D. 在区间（0，2）上
13、是增函数三、函数的最大（小）值1函数最大（小）值定义1）最大值：一般地，设函数 的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：()yfx（1）对于任意的 ，都有 ； （2）存在 ，使得 xIM0x0()fx那么，称 M 是函数 的最大值()yf2）最小值：一般地，设函数 的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：()fx（1）对于任意的 ，都有 ； （2）存在 ，使得 xI0xI0()fx那么，称 M 是函数 的最小值()yf注意：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在 ，使得0xI；0()fx函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 ，都有xI()()fMfm2利用函数单调性
14、来判断函数最大（小）值的方法配方法 换元法 数形结合法11例 1、求函数 23yxx当 自 变 量 在 下 列 范 围 内 取 值 时 的 最 值 0(,)x例 2、求函数 的最大值1yx例 3、求函数 在区间2，6 上的最大值和最小值21yx【针对性练习】一、选择题1函数 y4 x x2， x0，3的最大值、最小值分别为( )(A)4，0 (B)2，0 (C)3，0 (D)4，3122函数 的最小值为( )21xy(A) (B)1 (C)2 (D)43、函数 在区间0，5上的最大值、最小值分别是（ ）3(2)yxA. B. C. D. 最大值 ，无最小值。,07,03,2737二、填空题1函数 y2 x24 x1 x(2，3)的值域为_2函数 的值域为_3、函数 的值域是 。25(0,3yx4、函数 的值域是 。314x三、解答题1求函数 的值域0,2)(xf2设函数 f(x)( x a)2对于任意实数 tR 都有 f(1 t) f(1 t)(1)求 a 的值；(2)如果 x0，5，那么 x 为何值时函数 y f(x)有最小值和最大值?并求出最小值与最大值3如图，在边长是 a 的等边三角形内作一个内接矩形，求内接矩形的面积的最大值 134已知函数 y3x 22ax1，x0，1，记 f(a)为其最小值，求 f(a)的表达式，并求 f(a)的最大值
