1、甘肃省兰州一中 2015 届高三上学期期中考试数学试题（解析版）【试卷综析】试卷贴近中学教学实际,在坚持对五个能力、两个意识考查的同时,注重对数学思想与方法的考查,体现了数学的基础性、应用性和工具性的学科特色.以支撑学科知识体系的重点内容为考点挑选合理背景,考查更加科学.试卷从多视角、多维度、多层次地考查数学思维品质,考查考生对数学本质的理解,考查考生的数学素养和学习潜能.一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）【题文】1 函数 的定义域是 ( )23log(1)yxA. B. C. D. ,2,1(,21,2【
2、知识点】函数定义域的求法. B1【答案解析】C 解析：由 ，故选 C.23log(1)011xxx【思路点拨】利用偶次根式有意义的条件，以及对数函数单调性求解.【题文】2. 已知向量 , (,)bm, ,则“ ”是“ /()ab”的( )(1)aR6A充要条件 B.充分不必要条件 C必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【知识点】向量共线的条件；充分条件；必要条件. F1 A2 【答案解析】A 解析：因为向量 , (3,)b, ,所以 ，(12)a 2,abm所以 /()ab，所以“ ”是1206m6m“ ”的充要条件，故选 A.【思路点拨】求 /()a的充要条件得结论.【题文】3. 若函数
3、 存在零点，则实数 的取值范围是 ( )2log(1)fxmxmA B. (,00,)C D. ) (【知识点】函数零点的意义. B9 【答案解析】A 解析：因为函数 存在零点，所以函数2()log(1)fxmx，与直线 有交点，所以 ，故选 A.2log,1yxy0【思路点拨】函数 的零点就是方程 的解，2()log(1)fxmx2log0(1)mx即函数 与 的交点横坐标.2log,1yy【题文】4在等差数列 中，已知 ，则 ( )na380a753aA10 B. 18 C 20 D28【知识点】等差数列. D2【答案解析】C 解析：因为 ，所以381290ad753a，故选 C.1148
4、2920ada【思路点拨】根据等差数列的通项公式，把已知和所求都化为关于 和 d 的式子求解.1a【题文】5给出如下四个命题：若“ ”为真命题，则 均为真命题；pq,pq“若 ”的否命题为“若 ，则 ”；,21ab则 ab 21ab“ ”的否定是“ ”；xR00,xR“ ”是 “ ”的充要条件02x其中不正确的命题是 ( )A B. C D.【知识点】命题及其关系；简易逻辑；含一个量词的命题的否定；充要条件. A2 A3 【答案解析】C 解析：若“ ”为真命题，则 p、q 中至少有一个真命题，故不正pq确；命题显然正确；“ ”的否定是“ ”，所以不正确；2,1xR200,1xR显然命题正确.故
5、选 C.【思路点拨】逐一分析各命题的正误的结论.【题文】6已知函数 ，则 的大小关系是 ( )2()cosfxx(0.6),0.5)ffA B. (0).60.5ff (.6ffC D. .(.)(fff0.5)(0.)ff【知识点】函数的奇偶性与单调性. B3 B4【答案解析】B 解析：易得函数 f(x)是偶函数，且 在 恒成2sin0fxx,2立，所以 f(x)是 上的增函数，所以 ，故选 B.0,2(0).5)(0.6)ff【思路点拨】分析已知函数的奇偶性、单调性得结论.【题文】7.若 是 的重心， 分别是角 的对边GABC,abc,ABC，则角 ( ) 30aAbcA B. C D.9
6、064530【知识点】向量的线性运算；余弦定理. F1 C8【答案解析】D 解析：因为 是 的重心，所以GABC,同理，21133GA, 123BCBAC.代入已知等式整理得2,又因为 不共线，所以36399abcabA,B，所以 ，032cab 2223cosbcabA因为 ,所以 ，故选 D.,18AA3【思路点拨】利用向量的线性运算及共线向量的性质，得关于 a,b,c 的方程组，从而用 b表示 a,c，然后用余弦定理求解.【题文】8已知函数 在 时取得极值，则函数 是( )()sincosfxabx43(4yfxA奇函数且图象关于点 对称 B. 偶函数且图象关于点 对称,0 (,0)2C
7、奇函数且图象关于点 对称 D. 偶函数且图象关于点 对称3(,)2 ,【知识点】函数 的性质. C4sinyx【答案解析】A 解析：因为函数 在 时取得极值，所以()sincosfxabx4，所以 ，所以2sincos4abb2infax，故选 A.3()yfx32i2sin4axax【思路点拨】根据已知条件求得 b=-a，代回原函数得 ，2sin4fax从而得 = ，由此得结论.3()4yfx2sina【题文】9函数 的部分图象如图所示,)0(x若 ,则 等于( )2|ABCA B.14C D.36【知识点】由函数 的图像求其解析式；向量的应用. C4 F1sin()yAx【答案解析】D 解
8、析：因为 ，所以2|ABC,0ABCBC而 ，所以 (如图)，因为 AE=BC=2AB 所以 ,EAE30E,因为点 B 的纵坐标是 ，所以 AB=2 ,AD=6，从而函数的周期为 12，所30D 33以 ，故选 D.216【思路点拨】如图：由 ，得 ，因为 AE=BC=2AB 所以2|ABC E,30AEB,因为点 B 的纵坐标是 ，所以 AB=2 ,AD=6，从而函数的周期为 12，所D 33以 .216【题文】10如图， 是半径为 5 的圆 上的一个定点，AO单位向量 在 点处与圆 相切，B点 是圆 上的一个动点，且点 与POP点 不重合，则 的取值范围是( ) PA B. C D. (
9、5,)5,5(,)2 0,5【知识点】向量数量积的坐标运算. F2 F3【答案解析】B 解析：以 O 为原点，OA 所在直线为 y 轴建立直角坐标系，则圆 O 的方程为：，A(0,-5), ,设 P(x,y),则 ，25xy(10)AB,5APx所以 ，所以 的取值范围是 ，故选 B.x,y51,0APBx5,APB5,【思路点拨】建立适当直角坐标系，得点 P 所在圆的方程，及向量 的坐标，利用,A向量数量积的坐标运算求得结论.【题文】11定义在实数集 上的函数 fx满足 20ffx，R.(4)(fxf现有以下三种叙述： 8是函数 fx的一个周期； fx的图象关于直线 对2x称； fx是偶函数
10、.其中正确的是 ( )A B. C D. 【知识点】函数的性质. B1 B3 B4【答案解析】D 解析：由 20fxf(2)(4)0fxf，所以函数 的周期为 4，所以正确；()4)fx由 ，所以 fx的图象关于直线 对称，所以(f2)()fxf 2x正确；因为函数 的周期是 4，且 所以 ，所以()()fffx是偶函数，所以正确.故选 D.【思路点拨】根据已知条件可得函数 f(x)的周期性、对称轴，从而推得函数的奇偶性.【题文】12(理)已知函数 ，若 互不相等，且2014sin()()logxfx,abc，则 的取值范围是 ()()fafbfcabc( ) A. B. C. D. 1,20
11、41,204(2,015)2,015【知识点】函数性质分析. B1 B8【答案解析】C 解析：设 abc 则 a,b 的中点是 ，所以 =1+c，因为当abc时， ， ，又 互不相等，且01x()0,1fx(24)1f,c()()ffbfc令 ，则 ，由图像易得当 k 趋向于 0 时，c 趋向于 1，当 k()fafbfck,趋向于 1 时，c 趋向于 2014，所以 的取值范围是 .故选 C.abc(2,15)【思路点拨】由图像可知当 互不相等且 时，若 abc，则 a,b 的,()fafbfc中点是 ， ，由此得 的取值范围.2,04cc【题文】 （文）已知函数 ，若 ，且 ，使得 mxe
12、f)1()2,cRabc.则实数 的取值范围是 ( )()(cfbafA B. C D.1,3,e)3,(e)1,(3e【知识点】函数零点的意义. B9【答案解析】C 解析：根据题意得：函数 f(x)有 3 个零点，即直线 y=m 与函数有 3 个不同交点，因为 得 x=0 或-1,2(1)xge2()0xge可得函数 有极大值 ，极小值 ，所以实数 的取值范围是 ，ge01m)3,1(e故选 C.【思路点拨】把命题转化为：直线 y=m 与函数 有 3 个不同交点，再2(1)xge通过分析函数 g(x)图像的单调性、极值性，得实数 的取值范围.m第卷 (非选择题 共 90 分)二、填空题（本大
13、题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分.）【题文】13.（理） =_. 10(2)xd +【知识点】定积分；微积分基本定理. B13【答案解析】 解析： .1ln210(2)xd +210ln|lnx【思路点拨】利用微积分基本定理求解.【题文】 （文）已知直线 与曲线 相切于点 ，则实数 的值1yx3yxab(1,3)b为_.【知识点】导数的几何意义. B11【答案解析】3 解析：因为函数 的导函数为 ，所以此函数在3yxab23yxa点 切线的斜率为 3+a，所以 解得 .(1,3) 211【思路点拨】根据导数的几何意义求解.【题文】14. 若将函数 的图象向右平移 个单位，得到的图象
14、关于直线sin2yx0对称，则 的最小值为_.6x【知识点】平移变换. C4【答案解析】 解析：将函数 的图象向右平移 个单位,得512sin2yx，由这个函数图象关于直线 对称得，sin()yx6x，2() ,6212kkZ因为 所以当 k=-1 时， 有最小值 .05【思路点拨】根据题意得平移后的函数为 ，此函数图象关于直线 对sin()yx6x称得， ，再由 得 的最小值.2() ,6212kkZ0【题文】15已知 ，则 的值为 .tan4cos4in【知识点】三角函数式的求值. C7【答案解析】 解析：因为 ，所以34tan421cos4in.2222cosin13t【思路点拨】利用二
15、倍角公式，同角三角函数关系，把所求化为关于 的式子即可.tan【题文】16以下命题：若 ,则 ；ab/ab向量 在 方向上的投影为 15；(1)(3,4)若 中, ,则 ；ABC5,87cBC20A若非零向量 a,b满足 ,则 .bab所有真命题的序号是_.【知识点】向量的运算. F1【答案解析】 解析：因为 ，所以 ，或者 中至少abcos,1ab,ab有一个零向量，所以 ，故为真命题；因为 ， ，所以/ab(1,)(3,4)，所以向量 在 方向上的投影为1cos,52ab (,)a,b，故为真命题；若 中, ,则,ABC5,87abc=-20，故为假命题；因为 ,所cos40cosBCAC
16、 b以，所以 ，故为真命题.所以20ab22240baab所有真命题的序号是.【思路点拨】逐一分析各命题的正误即可.三、解答题（本大题共 5 小题，每小题 12 分,共 60 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）【题文】17 （本小题满分 12 分）在 ABC中，内角 的对边分别为 且 ., ,abc2,60C()求 sinab的值；（）若 ，求 ABC的面积 ABCS.【知识点】正弦定理；余弦定理. C8【答案解析】() ；（） . 解析：()由正弦定理可得：43243sinisini60abcABC，所以43(si)43sinnABab. 6 分（）由余弦定理得 22coscab
17、C，即 22()3abab，又 ab，所以 ()340，解得 4或 1（舍去） ，所以 1sin22ABCS 12 分【思路点拨】()把正弦定理代入所求得结论；（）由余弦定理及已知以及求得 ab 值，代入面积公式求 的面积.【题文】18. （本小题满分 12 分）已知集合 ， ，2|1|xA4| 012xB, .02|mxCR（）求 ；,B（）若 ，求 的取值范围()CABm【知识点】不等式的解法；集合运算. E2 E3 E4 A1【答案解析】 （） ； （） . 0,1)(2,3AB(1,4=-314m解析：（） ， ，(=-,. 6 分AB,),(-（）因为 小根大于或等于-1，大根小于或
18、等于2C(14mx10-+=之4，令 ，则2fxx12 分f(1)0314m3,m.4-=+- 之【思路点拨】 （）根据绝对值不等式的解法，一元高次不等式的解法，化简集合 A、B,再根据交集、并集的意义求得结论；（）因为 ，所以集合 C 不是空集，要使01f则 的两根在区间 内，由此得关于 m 的不等式组()CAB2mx10+-=之 -,4求解.【题文】19. （本小题满分 12 分）已知函数 1cos4sin34)( 2xxxf （）求函数 在 ,0上的值域；（）若对于任意的 xR，不等式 0()fx恒成立，求 0sin(2)3x【知识点】二倍角公式；两角和与差的三角函数； 的性质；不等式恒成yA立问题. C4 C5 C6 E1【答案解析】()3，3；（） 32解析：() 1)2cos(2sin31cos4sin34)( xxxxxf
