1、湖北省襄阳市第五中学 2015 届高三第一学期 11 月质检理科数学试题考试时间：2014 年 11 月 20 日上午 8:0010:00 试卷满分：150 分一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知复数 z 满足 ( i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数的虚部是（ ）213A. B. C. D.32212122下列说法中，正确的是（ ）A命题“若 ，则 ”的逆命题是真命题2ambaB命题“存在 ， 02x”的否定是：“任意 ， 02x”RxRxC命题“p 或 q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D
2、已知 ，则“ 1”是“ ”的充分不必要条件 3某班有 60 名学生，一次考试后数学成绩 N（110，102） ，若 P（100110）=0.35，则估计该班学生数学成绩在 120 分以上的人数为（ ）A10 B9 C8 D74 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（ ） A. B.CD.3251235. 高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为( )A 13B 3C 12 D 166. 在数列 中，若对任意的 均有 为定值，且na*nN1nna，则数列 的前 100 项的和 ( )7982,40SA132 B299 C68
3、D997. 若函数 的图象2()(,)dfxabcdRx如图所示，则 等于（ ）:A 1:65(8)B. 1:(6)5:8CD :8. 一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 ( 的25731vttt单位: , 的单位: )行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位; )是( )sv/ms mA B C D 125ln1825ln3425ln40ln9已知函数 的图象与直线 y=m 有三个交点的横坐标分别为 x1，x 2，x 3（x 1x 2x 3） ，那么 x1+2x2+x3 的值是（ ）A BCD10. 已知点 F1、F 2 分别为双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点，
4、 P 为双曲线左支上的x2a2 y2b2任意一点，若 的最小值为 9a，则双曲线的离心率为 ( )|PF2|2|PF1|A2 B5 C3 D2 或 5二、填空题：本大题共 6 小题，考生共需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.请将答案天灾答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一）必考题（1114 题）11. 设 f(x)lg ，则 的定义域为_.2 x2 x )2(xff12. 已知集合 A(x ，y )|x2 y21 ，B ( x，y)|kxy20，其中 x、yR .若 AB，则实数 k 的取值范围是_13. 菱形 的边长为 ， , 为 的中点，若 为菱形
5、内任意一点（含BCD60AMDCN边界） ，则 的最大值为_.MN14. 若集合 且下列四个关系： ； ； ；,4321,dcba 1ab2c有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组 的个数是_.4d ),(dc（二）选考题15 （选修 4-1：几何证明选讲）如右图， 为圆的内接三角形， 为圆ABCBD的弦，且 过点 做圆的切线与 的延长线交于点 ，BDACDE与 交于点 若 ，则线段 的长为F,6,5ECF_。16 （选修 4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴的非xODCBAD1C1B1A1负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 的参数方程为 （ 为参数） ，圆
6、 的l51xatyC极坐标方程为 .若圆 关于直线 对称，则 的值为 2cos()4Cl三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分 12 分）已知 f(x) sinx2sin 2 (0)的最小正周期为 3.3x2(1)当 x ， 时，求函数 f(x)的最小值；2 34(2)在ABC 中，若 f (C)1，且 2sin2BcosBcos( AC) ，求 sinA 的值18.（本小题满分 12 分）每年 5 月 17 日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠 2
7、00 元，选择套餐二的客户可获得优惠 500 元，选择套餐三的客户可获得优惠 300 元. 根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率. （1）求某两人选择同一套餐的概率；（2）若 用 随 机 变 量 表 示 某 两 人 所 获 优 惠 金 额 的 总 和 ， 求X的 分 布 列 和 数 学 期 望 . X19.（本小题满分 12 分）如图，在四棱柱 中，侧面 底1ABCD1AD面 ， ，底面 为直角梯形，12BC其中 ， ，/ , 2为 中点. O（1）求证： 平面 ；1/1（2）求锐二面角 的余弦值CA20 （本小题满分 12 分）已知数列 满足：na，数列 满足：
8、 ，*1213,(2,)4naaNnb10，数列 的前 项和为 .*()nbNnbS（1）求证：数列 为等比数列；nb（2）求证：数列 为递增数列；（3）若当且仅当 时， 取得最小值，求 的取值范围3S1套 餐 1套 餐 2套 餐 3套 餐 种 类频 率1/83/81/221 （本小题满分 13 分）如图，分别过椭圆 ： 左右焦点 、E)0(12bayax 1F的动直线 相交于 点，与椭圆 分别交于 不同四点, 直线2F21,lPDCBA、与、的斜率 、 、 、 满足 已知当ODCBA、 1k234k4321k轴重合时， ， xl与1 3|A|C（1）求椭圆 的方程；E（2）是否存在定点 ，使
9、得 为定值若存在，求出 点坐标NM、 |PNNM、并求出此定值，若不存在，说明理由22 （本小题满分 14 分）（1）当 时，求证：0xexln2（2）当函数 （ ）与函数 有且仅有一个交点，求 的值;xay1ya（3）讨论函数 （ 且 ）的零点个数.| 0a1AOPDCBxy1l2l1F2（第 21 题）参考答案一.选择题(本题共 50 分)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10D B B D A B B C C B二.填空题(本题共 25 分)11. 12. 13. 9 ,1(,3,14. 6 15. 16. 2 3817.解 f(x) sin(x)2 sin(x)cos(x)12sin
10、(x )1，31 cosx2 3 6由 3 得 ， f(x)2sin( x )1.2 23 23 6(1)由 x 得 x ，2 34 223 623当 sin( x ) 时，f(x )min2 1 1. 6 分23 6 32 32 3(2)由 f(C)2sin( C )1 及 f(C)1，得 sin( C )1，23 6 23 6而 C ， 所以 C ，解得 C .623 656 23 6 2 2在 RtABC 中， AB ，2sin 2Bcos Bcos(AC )，22cos2AsinAsinA0，sin 2AsinA10，解得 sinA . 1 520sinA1，sinA . 12 分5
11、1218.解：(1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为. 4 分1388P(2) 由题意知某两人可获得优惠金额 的可能取值为X400，500，600，700，800，1000. ，(40)64X 1236(50)84PC，3968P7， 8 分12()C(1)26X综上可得 的分布列为：X400 500 600 700 800 1000P649841zyxODCBAD1C1B1A1A1B1C1D1ABCDO10 分 . 16982464050707546EX即 的数学期望为 775. 12 分19.(1)证明：如图，连接 ，则四边形 为正方形，所 ,COABCO以 ，且 ，2 分1OCAB
12、1/故四边形 为平行四边形，所以 1/又 平面 ， 平面 ，11所以 平面 . 5 分/(2)因为 为 的中点，所以 ，又侧面 底面 ，1 ,DAD1 AD1交线为 ，故 底面 。 6 分ABC以 为原点，所 在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的坐标系，O1 ,Oxyz则 ， ,00 C, 0,，11 , 11,10C设 为平面 的一个法向量，由 ，得 ，mxyzCD ,mD0xy令 ，则 1z,1 ,1m又设 为平面 的一个法向量，由 ，nxyzA1 ,nA得 ，令 ，101则 ， 9 分11, ,yxn则 ，cos3m故所求锐二面角 的余弦值为 12 分CDA11注：第 2 问用几何
13、法做的酌情给分20解：（） ),2(*1Nnann是等差数列a又 43,122 分)(nn ),3*1Nb )412(312342 nbnbnann)(又 0411ba为首项，以 为公比的等比数列5 分n是 3（） 412,)(11nan3)4bn当 211)3(2,2nnb时又 ， 010是单调递增数列 8 分nb（） 时， 3当 且 仅 当取 最 小 值nS， 即 ，043b2135()470b12 分)1,7(121解：（1）当 与 轴重合时， ，即 ， lx4321kk43k 垂直于 轴，得 ， ，2l 2|aAB|abCD得 ， ， 椭圆 E 的方程为 4 分3ab 123yx（2）
14、焦点 、 坐标分别为( 1，0)、(1，0) 1F2当直线 或 斜率不存在时，P 点坐标为(1，0) 或(1，0)6 分l当直线 、 斜率存在时，设斜率分别为 ， ，设 ， ，1m2),(1yxA),(2yxB由 得： ，)1(23xmy 0636)3(221x ， 212162x， )()1( 21221 xmyxk 24)2(11m同理 43m ， ，即 21kk 24210)(121由题意知 ， 210设 ，则 ，即 ，),(yxPxy )(xy由当直线 或 斜率不存在时， 点坐标为(1，0) 或(1，0)也满足此方程，1l2P点 在椭圆 上，11 分),(2存在点 M(0,-1)和点
15、N(0,1)，使得 为定值，定值为 。 13 分|PNM222证明：（1）令 ， ，0,2ln)(xexf 0,ln)(xeg，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，2)(exf )(fy,e)( 同理可证 ，故得证。 4 分0)(minf maxg（2）令 ， ， ，令 ，则 ，ahxR1ln)(h0)(xh)(logea在 上单调递减，在 上单调递增。)(y(log,ea,log(ea使 ，,0t12t当 时，3x )1(2)1(212 txaaaaa txtxtxtxt ; )(1.2t当 时， ,0x ， ， ， 8 分0)(loglog)(logeehaaa e1lneae1（3）令
16、 ， . 是偶函数， ,|kxRxky0)(k当 时， ，由（2）知，当 时，函数 有两个零点；0x)( e1 |x, 当 时， , ，1ln)(akx 10a0)(xk)(k1)(a所以函数 有两个零点；当 时， ，|xea1lnxk在 上单调递减，在 上单调递增, )(y)(log,ea ),(loga， ，)(llogekaa )k当 时，3tx )1(21(212 txatxtxtxtx ; )(1.2at所以 ，函数 有四个零点；当 时， 在03tk|xayea1)(xky上单调递减，在 上单调递增,且)(log,0ea ),(logea，函数 没有零点。130)llaa |(|xk分综上所述，当 或 时，函数 有两个零点；当 时，函1e1|yx ea1数 有四个零点；当 时，函数 没有零点。14 分|xaya|a
