1、浙江省嘉兴市 2015 届高三上学期学科基础测试文科数学试卷(解析版)【试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神., 重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察, 有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质, 考基础,考方法,考潜能的检测功能 .一、 选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符和题目要求的【题文】1设集合 A= ，Z 为整数集，则2|30xAZA. B. C. D. x
2、3 1|1x2,103,21,0【知识点】集合运算；一元二次不等式的解法. A1 E3【答案解析】D 解析：集合 A= ，所以|3AZ,故选 D.【思路点拨】先化简集合 A 再求集合 A 与整数集 Z 的交集 .【题文】2已知函数 ，则 在fxfxA. 上单调递增 B. 上单调递增,00,C. 上单调递减 D. 上单调递减【知识点】函数的单调性；导数的应用. B4 B12【答案解析】B 解析： 在 恒成立， 在 上单调102fx,fx0,递增，故选 B.【思路点拨】导数法确定函数的单调性.【题文】3在 中，已知 M 是 BC 中点，设 则ABC,CBaAbMA. B. C. D. 12ab12
3、ab【知识点】平面向量的线性运算. F1【答案解析】A 解析： ，故选 A.12AABba【思路点拨】由向量加法的三角形法则得结论.【题文】4 是 的“sini“A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【知识点】充分条件；必要条件. A2【答案解析】D 解析：若 ，满足 ，而 ，不满足150,31sini2，所以 不是 的充分条件；若 时，sini“sini“60,5满足 ，但不满足 ，所以 不是 的必要条件.故选s sii“D.【思路点拨】根据充分性、必要性的定义判断.【题文】5已知函数 的图像如图，则log,l,logabcyxyxA.abc B.cba
4、 C.bac D.cab 【知识点】对数函数的性质. B7【答案解析】C 解析：这些图像与直线 y=1 的交点横坐标依次是 c,a,b.所以 c0,b0,所以 3 = .89122839ababab当且仅当 ，即 时等号成立，所以 ab 的最小值是 .123ab24a89【思路点拨】利用基本不等式 求解.2ba【题文】17若圆与圆 关于直线 x+y-1=0 对称，则圆 C 的方程是 .20xy【知识点】圆的方程；对称问题. H3【答案解析】 解析：设 C(a,b),因为已知圆的圆心 A(-1,0),由点24A、C 关于直线 x+y-1=0 对称得 ，解得 ，又圆的半径是 1，所以圆102ba1
5、2abC 的方程是 ，即 .211xy240xy【思路点拨】由两圆关于某条直线对称，则两圆圆心关于此直线对称，因此设出圆心 C 的坐标（a,b）,由对称轴垂直平分两圆心确定的线段，得关于 a,b 的方程组求得 a,b，又两圆半径相等，从而得到圆 C 方程.三、解答题（本大题共 5 小题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【题文】18 （本题 14 分）在 中，已知 （1）求 角 C; (2)若 c=4,求 a+b 的最大值.AB22.abca【知识点】解三角形；利用基本不等式求最值. C8 E6【答案解析】 （1） ；（2）8. 解析：（1）因为 abca22，3所以 co
6、sabcC 4 分又 0，故角 3 8 分（2 ）因为 4c，所以 ab216ab3)(2 10 分又 2)(ba，所以 )(，从而 8，其中 时等号成立故， 的最大值为 8 14 分【思路点拨】 （1）利用余弦定理求角 B；（2 ）利用余弦定理及基本不等式求 a+b 的最大值.【题文】19 已知数列 满足：na11,.na（1 ） 求证数列 是等比数列，并求数列 的通项 ；nna（2 ） 若 ，求数列 的前 n 项和 .1nbbS【知识点】已知递推公式求通项；数列求和. D1 D4【答案解析】 （1）证明略， （2 ） 31026438nn . 1na解析：（1）由 2na，得 )1(a所以
7、， 1n成等比，公比 q，首项 21 4 分所以， a2，即 2na 8 分（2 ） 1nb)1)(1234n， 10 分所以，数列 的前 项和 nSnn )22(3)44(211 12 分) 310648n 14 分【思路点拨】 （1）根据等比数列的定义从第二项起，后项与前项的比是同一个常数，所以只需求 的值即可；（2）由（1 ）可得 ，它是由两个等比数列na 2431nb和一个常数列的和构成的，所以可以用分组求和法求数列 的前 n 项和 .nS【题文】20(本题 15 分)如图，三棱锥 P-ABC 中， 底面 ABC， 是正三角形，AB=4，PA=3，M 是 AB 的PAABC中点. （1
8、）求证： 平面 PAB；CM（2 ）设二面角 A-PB-C 的大小为 ，求 的值.cos【知识点】线面垂直的判定；二面角的求法. G5 G11 【答案解析】 （1）证明：略；（ 2） 142 cos解析：（1）因为 PA底面 BC，所以 MPA 3 分因为 BC是正三角形， 是 的中点，所以 BC 6 分 所以， M平面 7 分（2 ） （几何法）作 PD于 ，连 D，则 PB 所以， C是二面角 CA的平面角 11 分因为 4AB， 3，所以 32， 56DM从而 521D，故 14cos 15 分（向量法）以 M为原点， C为 x轴， B为 y轴，建立空间直角坐标系 xyzO，如图平面 A
9、PB的一个法向量 )0,1(n 10 分)3,40(， ,23设 ,zyxn是平面 CP的法向量，（第 20 题）PBCAMD（第 20 题）PBCA)(MOxyz则 0234yxz，取法向量 )4,3(2n 13 分故 713|cos21n1 15 分【思路点拨】 （1）只需证明直线 CM 与平面 PAB 中两条相交直线 AB、AP 垂直；（2 ） （几何法）作出二面角的平面角，构造含此角的三角形求解.(向量法) 建立空间直角坐标系，确定所求二面角中每一个半平面的一个法向量，因为两法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补，所以只需求这两法向量夹角的余弦值即可.【题文】21(本题 15 分)如图
10、，已知抛物线 ，点 是 x 轴上的一点，经过点 P 且斜率为 1 的直线24yx,0Pa与抛物线相交于 A,B 两点.l(1) 当点 P 在 x 轴上时，求证线段 AB 的中点在一条直线上；(2) 若 (O 为坐标原点 )，求 a 的值.ABO【知识点】曲线与方程；直线与圆锥曲线. H9 H8【答案解析】 （1）证明：略；（ 2） 31a. 解析：（1 ）设 ),(1yxA， ),(2yxB，AB中点为 ),(0yxM则 214x)(4)( 212121yy， 2 分又 121y， 02，所以 40，从而 0y 6 分故，线段 AB的中点在直线 2上 7 分（2 ）直线 l： ayx，由 xy
11、a42042ay 9 分)1(6， |21AB)1(a 12 分若 |4|OP，则 |4)(a，即 022解得： 31a 15 分【思路点拨】(1)利用点差法求出线段 AB 的中点轨迹方程即可；（2 ）把直线方程代入抛物线方程消去 x 得关于 y 的一元二次方程，再由弦长公式及已知条件得关于 a 的方程，解得 a 值.【题文】22(本题 14 分)已知 a0，函数 .(0)fx(1) 试用定义证明： 在 上单调递增；),a(2) 若 时，不等式 恒成立，求 a 的取值范围.1,3x(2fx【知识点】(1)函数的单调性；不等式恒成立求参数范围. B3 E1【答案解析】 （1）证明：略；（ 2） . 解析：（1）设 21x，则a121 )()(xxff 2 分因为 a，所以 02， 021x， 01a，所以 0)()(21fxf，即 )()(1ff，故， 在 ,a上单调递增 6 分（2 ） )(xf在 ),0上单调递减，在 ),(a上单调递增若 10a，则 在 3,1上单调递增， afxf1)(min所以， 2，即 a，所以 8 分若 9，则 )(xf在 ,上单调递减，在 3,a上单调递增，axf2)(min所以， 2a，即 1，所以 9 10 分若 9a，则 )(xf在 3,1上单调递减， 3)()(minfxf
