1、江西省南昌市三校 2015 届高三 10 月联考理科数学试卷（解析版）一、选择题1已知函数 y 的定义域为 A，集合 Bx|x3|a, a0，若 AB 中的最2x小元素为 2，则实数 a的取值范围是：（ ）A （0, 4 B （0, 4） C （1, 4 D （1, 4）【答案】C【解析】试题分析：由函数 ，得到 ，即 ，解得：2yx20x210x或 ，即 ，由 中不等式变形得： ，即1x,1.AB3ax，即 ， 中的最小元素为 2， ，33a3BaA2即 ，则 的范围为 故选：C4,4考点：函数的定义域，绝对值不等式的解法，集合的运算2已知函数 f（x）ax 2bxc （ac0） ，若 f（
2、x）0 的解集为（1, m） ，则下列说法正确的是：（ ）Af（m1）0 Bf（m1）0Cf（m1）必与 m同号 Df（m1）必与 m异号【答案】D【解析】试题分析： 的解集为 ， 是一元二次方程0fx,的两个实数根，且 2axbca0a1fxaxm与 必异号故选：D1fm考点：函数性质的应用，一元二次不等式的解法3函数 f（x）sin 4xcos 4x的最小正周期为：（ ）A B C D2 42【答案】B【解析】试题分析： 2442221sincosincosincosinfxxxxx，由三角函数的周期公式可知 ，故选13cos42 4T考点：三角函数的周期4若将函数 y2sin（x ）的图
3、像上各点的横坐标缩短为原的 倍（纵坐标不变） ，4 12再向右平移 个单位，则所得图像的一条对称轴的方程为：（ ）4Ax Bx Cx Dx8484【答案】A【解析】试题分析：函数 的图像上各点的横坐标缩短为原的 倍（纵坐标不变） ，2sin4yx 12得到函数 ，所的函数再向右平移 个单位，得到函数i4， 代入得 ，故 是所得2sin2sin4yxx82y8x函数图像的一条对称轴的方程考点：三角函数图像与性质，三角函数图像变化5已知 sin（2）2sin（ ） ，且 k （kZ） ，则322的值为（ ）23sinsicoA B C D 3323443【答案】D【解析】试题分析：由已知得： ，即
4、 ，sincostan22223sini3i3ta4co443考点：诱导公式，同角三角函数关系6已知 （ , 1） ，若将向量2 绕坐标原点逆时针旋转 120得到向量 ，则 的aa b坐标为：（ ）A （0, 4） B （2 , 2） C （2 , 2） D （2, 2 ） 333【答案】【解析】试题分析： ， ，以 轴正半轴为始边，夹角为 ，,1a,ax210绕坐标原点逆时针旋转 120得到向量 ，则 在第四象限，与 轴的正半轴夹角为20bx， ，故选：B3023,b考点：向量的坐标7已知 , 是不共线的向量，若 , （,R） ，则 A, B, aAabCabC三点共线的充要条件是：（ ）
5、A1 B1 C1 D1 【答案】【解析】试题分析：若 三点共线，则向量 ，即存在实数 ，使得 ，, ACB:kACkB， ，可得 ，两式相除消去 得,ACabBabka1，即 三点共线的充要条件为 ，故选：D1, 1考点：向量共线的充要条件8已知ABC 的三内角 A, B, C所对边的长依次为 a,b,c，M 为该三角形所在平面内的一点，若 a b c ，则 M是ABC 的（ ）MAB0A内心 B重心 C垂心 D外心 【答案】【解析】试题分析： 是三角形 的内心理由如下：已知 ，延长B 0aAbBcC交 于 ，根据向量加法得： ， ，代入已知得：CMAMADMD，因为 与 共线，所以可设 ，0
6、aDbDcCk上式可化为 ，由于 与 共线， 与 、kabBABCA不共线，所以只能有： ， ，由 可知：B 0kc0D0aDb与 的长度之比为 ，所以由内角平分线定理的逆定理可得 为 的平分线，DAba 同理可证 的延长线也是角平分线故 为内心故选 A,MM考点：三角形的内心的定义和内角平分线的判定定理的逆定理，考查向量的运算9若函数 为奇函数，且 g（x）= f（x）2，若 f（1） =1，则2Fxfxg（1）的值为：（ ）A1 B1 C2 D2【答案】【解析】试题分析： 函数 为奇函数，2Fxfx 0Fxf120ff 故选：B123f123gf考点：函数的性质10若函数 f（x） （e
7、x e x ） （R） ，当参数 的取值分别为 1与 2时，12其在区间0,）上的图像分别为图中曲线 C1与 C2，则下列关系式正确的是：（ ）A 1 2 B 1 2 C| 1| 2| D| 1| 2| 【答案】D【解析】试题分析：由图象可知，曲线 与 的图象低，不妨设 ，由图象可知当 时，21xx，令 ，则 为偶函数，又因为1122eexgeg，当 时， ，故 在 上单调递增，有 xxg00x0,偶函数的性质可知 ，故选 D12考点：函数的图像与性质二、填空题11若 的终边不与坐标轴重合,且 tan 1，则22572sin()cos(01)tan()(ik kZ_【答案】2【解析】试题分析：
8、22 22572sin()cos(01)tan()i sincotansik kcos21in考点：诱导公式，同角三角函数关系12设向量 （x）（cosx，sinx） ，0x，则函数 f（x）2 （ ） （ ）a a2x6的值域为_【答案】1, 2【解析】试题分析：由题意可知，因为22cos,incos,in2cos666xxxfa，所以 ，即 ， ，00311，所以 的值域为 12cos26x26xfa,2考点：向量的数量积，三角恒等变化13若函数 f（x）3|cosx|cosxm, x（0, 2） ，有两个互异零点，则实数 m的取值范围是_【答案】4m2 或 m0【解析】试题分析：令 ，在
9、坐标系32cos,0,23cos4,xgx 中画出函数 图象，如下图所示：gx由其图象可知当直线 ， m， ，ym4,203cosgxx的图象与直线 有且仅有两个不同的交点故答案为： 0,2x 4,20考点：三角函数图像，函数零点14若等腰ABC 底边 BC上的中线长为 1，底角 B60，则 的取值范围是AC_【答案】 （1, ）23【解析】试题分析：因为等腰 底边 上的中线长为 ，底角 ，所以 ，ABC160B60BA所以 ，因为 ，所以 ，所以1cos,2224AC，又 ，所以 ，所以24AB 2，所以 ，又因为 ，所2C2cosABA 1cos,2BA以 ，所以 ，所以241,3AB22
10、,13CB；故答案为： 2cos1,3CBA ,考点：向量的运算15已知ABC 内部的一点 O，恰使 2 3 ，则OAB，OAC，OBC 的面BOC0积之比为_ （结果须化为最简）【答案】321【解析】试题分析： 2 3 ， ， 如图 分别OABC020OACB,DE是对应边的中点，由平行四边形法则知： ， 为三角形 中位线0EDABC的三等分点（靠近 ）， ， DED12OABCS， ， 的面积之比为16OBCABS3OC,OB:故答案为： :3:21考点：向量加法的几何意义，三角形面积三、解答题16 （1）求 的值sin40cos2013（2）已知 6 sin2xsinxcosx2cos
11、2x0，x ，试求 sin2xcos2xtan2x 的32值【答案】 （1）-1；（2） 2315【解析】试题分析：（1）由式子特征，分子中的角一个是 ，另一个是 ，注意到4020， ，且分母为 ，故利用两角和与差的三角函数公式展40301开即可；（2）由已知可知，这是一个关于 的齐次式，把分母 看成sin,cox1，分子分母同除以 ，转化为 的方程，解出 的值，由于2sincox2cotatanx，将 值代入即可22 2sinsitistan1xxt求出，也可利用定义求得试题解析：（1）sin40 cos20sin（3010） cos （3010）33 （ cos10 sin10） （ co
12、s10 sin10）cos10原式123232121（2） 依题设：6tan 2xtanx20 （3tanx2） （2tanx1）0，又x tanx 不妨设 x的终边过点（2,1） sinx ，cos x321 5， sin2x ，cos2x ，tan2x 5453543故原式 321考点：两角和与差的三角函数公式，同角三角函数关系，倍角公式17若函数 f（x）sin（x）cos（x） （0，02） ，满足f（x ）f（x ） ，且部分图像如图所示33xyO12（1）求 f（x）解析式； （2）若 （, 2） ，且 f（ ）f（ ）1，求 cos 的值31232【答案】 （1） ；（2） si
13、n4fxx6cos4【解析】试题分析：（1）由已知式 ，显然符合si3s3f x型，可利用 进行整理得sincosyaxb2ncoinaxbab，由已知可得 ，有周期函数的定义确定2i34f 3ffx出周期，从而得 的值，观察图像可知函数过 ，可求出 的值，从而可函数解析,012式；（2）由（1）所得的解析式得，可得 ，可求出2sinco331ff 1sin42的值，从而可得 的值cos试题解析：（1）依题设知：f（x ）f（x） ， f（x）的周期 T ，323 2故 f（x）sin（3x）cos（3x） sin（3x ） 又点（ ,0）在其2412图像上，sin0，又 02， f（x） s
14、in（3x ）为所求4（2）依题设及（1）知：f（ ）f（ ） sin sin（ ）312312221整理得：sin cos1 sin（ ） 又依题设：（, 2） ，42 456564故 coscos（ ） 为所求62考点：求三角函数解析式，三角函数图像变化，三角函数求值18已知ABC 的三内角 A, B, C所对边的长依次为 a,b,c，若 cosA ,cosC 3418（1）求 cos B的值；（2）若| | ，求 BC边上中线的长AC46【答案】 （1） ；（2） 9cos11062【解析】试题分析：（ 1） 为三角形内角，由 的值，可求出 ，由三角, cos,ACsin,AC形内角和定
15、理可得： ，利用三角函数两角和的cosB余弦函数公式展开即可求出 的值；（2）由| | ，可两边平方得，|B46|2| |22| | | 46，由（ 1） 知 的值，先求出 ，ACACcssin,ACsinB由正弦定理和上式可求出 的值，再由余弦定理可求 边上中线的长,ab试题解析：（1）依题设：sinA ，sinC 21cosA234()721cos ，28()378故 cosBcos（AC）cos （AC）（cosAcosCsinAsinC）（ 32） 21396（2） 由（1）知：sinB ，再由正弦定理易得：21cosB2916()5716 ，4a5b6c不妨设：a4k，b5k，c6k
16、，k0故知：| |b5k，| |a4kACB依题设知：| |2| |22| | |cosC46 46k246，又 k0 k1ACB故ABC 的三条边长依次为：a4，b5，c6若设 BC的中点为 D，由余弦定理得：AD 26 22 2262cos B40262 916532故 BC边上的中线长为： 【注】本小题还可通过求| |解答0 ABC考点：两角和与差的余弦函数，同角三角函数间的基本关系，正弦定理余弦定理的综合应用19若 , , 为同一平面内互不共线的三个单位向量，并满足 ，且向1e23 1e230量 x （x ） （xR，x0，nN ） ann3e（1）求 与 所成角的大小；1e2（2）记
17、 f（x）| |，试求 f（x）的单调区间及最小值a【答案】 （1） ；2,3（2） 的减区间为 和 ；再由均值不等式易求得： 时，f ,n0, xnminx【解析】试题分析：（1） 与 所成角的大小，首先求出向量 与 的数量积，由已知1e2 1e2 ，可得 ，两边平方可得 与 的数量积，再利用函数的e2303e数量积求出向量的夹角 （2）求 的单调区间及最小值，首先把向量的模长转化为求fx向量的数量积，得函数 的解析式，进一步利用导数求出单调区间，最后确定最值f试题解析：（1）依题设：| | | |1，且 （ ）1e23e12e31e22（ ） 2,化简得：3e cos ，又0, 1211e211e21e23（2）由 （1）易知： ，故由 f（x）| |32 a
