1、江苏省淮安市淮海中学级部 2015 届高三第一学期限时训练数学理试题（九）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题纸上1.若集合 ，且 ，则实数 的值为 .2,1mA2ABIm2.已知 为虚数单位，若 ，则 的值是 .i (,)iabiRab3.某校高一、高二、高三分别有学生 1600 名、1200 名、800 名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20 名学生，则高一、高二共抽取的学生数为 .4.从 1,2,3,4,5 这 5 个数中一次随机地取 2 个数, 则所取 2 个数的和为 5 的概率是 . 5. 右图是
2、一个算法的流程图，最后输出的 k . 6.已知 ，则 的值等于 .1sin3cos()7. 已知公差不为 的等差数列 的前 项和为 ，且 ，若0nanS523a,则 = . 65Sa8如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F分别是棱 AB，BC 中点，则三棱锥 A1B1EF 的体积为 .9. 在直角三角形 中， ,则ABC1,2Cur的值等于 _.ADur10.直线 1ykx与圆 22(3)()9y相交于 AB、 两点，若 4，则 k的取值范围是 _.11.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f (x)x 22x，若 f(2a 2)f(a)，则实数
3、a 的取值范围是_ 12已知数列 的通项公式为 ，若对任意 ，都有 ，则实数nanca*nN3n的取值范围是_ c13.已知函数 若方程|f(x)|=a 有三个零点，则实数 的取值范围,1log3,)(xxfx a是 . 开始k1S0S20kk2SSkYN输出 k结束(第 5 题)EADBCFP14若 ABC的内角 、 ,满足 sin2cos()BA,则 tanB的最大值为 . 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内15 （本小题满分 14 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b ，c 若 ，
4、 48BAC（1 ）求 的值； 2ac（2 ）求函数 的值域2()3sincosfB16 （本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 PABC 中，平面 PAC 平面 ABC， ，E，F 分别是 AP，AC60BAC的中点，点 D 在棱 AB 上，且 ADC求证：（1） 平面 PBC；/EF（2 ）平面 DEF 平面 PAC17、 （本小题满分 14 分）某园林公司计划在一块以 O 为圆心，R( R 为常数，单位为米 )为半径的半圆形地上种植花草树木，其中阴影部分区域为观赏样板地，OCD 区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售如图所示已知观赏样板地的成本是每平方米 2 元，花木的利润是每平
5、方米 8 元，草皮的利润是每平方米3 元(1)设COD (单位：弧度)，用 表示阴影部分的面积S 阴影 f( )；(2)园林公司应该怎样规划这块土地，才能使总利润最大？并求相对应的 .18. （本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 的离心率为 ，过椭圆21(0)yxab12右焦点 作两条互相垂直的弦 与 当直线 斜率为 0 时，FABCDAB7ABCD（1 ）求椭圆的方程；（2 ）求 的取值范围19 （本题满分 16 分）已知等比数列 的公比 ，前 项和为 成等差数列，na1qn3123,7,4nSa数列 的前 项和为 ，其中 。b,6(3)2nTb*NxyAFO（第
6、 18 题） DC（1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的通项公式；nanb（3）设 ，求集合 中所有元素之1101240,ABbCAB C和。20（本题满分 16 分）已知函数 在 时取得极小值2()exfxa（1 ）求实数 的值；（2 ）是否存在区间 ，使得 在该区间上的值域为 ？若存在，,mn()fx4e,mn求出 ， 的值；若不存在，说明理由答案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1 4 22 370 4 511 6 74198 9 10 (,2)1 1 (2,1) 126c12 13(0,3) 143 3二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分1
7、5 （本小题满分 14 分）【解】 （1）因为 ，所以 38BACcos8aB分由余弦定理得 ，222cs16bac因为 ，所以 643分（2 ）因为 ，所以 ， 82ac 16ac分所以 81os2Bc因为 ，所以 0,3B10 分因为 ， 211()3sincosin(cos2)in()62fBBB12 分由于 ，所以 ，5266 si(2),16所以 的值域为 ()fB31,14 分16（本小题满分 14 分）【证】 （1） 在PAC 中，因为 E，F 分别是 AP，AC 的中点，所以 EF / PC2 分又因为 平面 PBC， 平面 PBC，PC所以 平面 PBC 5 分/（2 ）连结
8、 CD因为 ， ，所以ACD 为正三角形60BACDA因为 F 是 AC 的中点，所以 7 分F因为平面 PAC 平面 ABC， 平面 ABC，平面 PAC 平面 ABC ，IAC所以 平面 PAC 11 分D因为 平面 DEF，所以平面 DEF 平面 PAC 14 分17、 （本小题满分 14 分）解:(1)由 S 扇形 ODMC R2， S OCD R2sin ，得 S 阴影 R2(sin )6 分12 12 12(2)设总利润为 y 元，草皮的利润为 y1元，花木的利润为 y2元，观赏样板地成本为 y3元y13 ， y28 R2sin ， y3 R2(sin )2，(12 R2 12R2
9、 ) 12 12所以 y y1 y2 y33 8 R2sin R2 (sin (12 R2 12R2 ) 12 12)2 R23(510sin )8 分12设 g()510sin ，(0，) ，则 g() 510cos . 10 分令 g( ) ，则 g()在 上为减函数；12 (0，3令 g( )0，得 cos ，则 g()在 上为增函数12 分12 3， )所以当 时，g()取得最小值，此时总利润最大3所以当园林公司把扇形的圆心角设计成 时，总利润最大 14 分318. （本小题满分 16 分）【解】 （1）由题意知， ， ，12cea72CDa所以 2 分224,3acb因为点 在椭圆上
10、，即 ，7(,)224()13c所以 1c所以椭圆的方程为 62143yx分（2 ） 当两条弦中一条斜率为 0 时，另一条弦的斜率不存在，由题意知 ； 77ABCD分 当两弦斜率均存在且不为 0 时，设 ， ，1(,)Axy2(,)By且设直线 的方程为 ，()ykx则直线 的方程为 1将直线 的方程代入椭圆方程中，并整理得 ，AB22(34)8410kxk所以 ， ，21463kx224613kx所以 102122()|分同理， 22()(1)434kkCD所以 ， 122221()()8(1)34kABk分令 ，则 ， ， ，2tkt2341t2t设 ，222(41)31149) ()tf
11、 tt因为 ，所以 ，t(0,)t所以 ，9()1,4f所以 8,7)()ABCDft综合与可知， 的取值范围是 1648,7分19. （本小题满分 16 分）20 （本小题满分 16 分）【解】 （1） ， ()e)(2)xfa由题意知 ，解得 或 220f4a分当 时， ，2a()e2)xf易知 在 上为减函数，在 上为增函数，符合题意；()fx0, (,)当 时， ，4a()e2)4xf易知 在 上为增函数，在 ， 上为减函数，不符合题意()fx0, (,),)所以，满足条件的 2a5 分（2 ）因为 ，所以 ()0fx 0m7 分 若 ，则 ，因为 ，所以 m2n 4()efn24()en9 分设 ，则 ，2()e()xgx 224()()e0xxg所以 在 上为增函数(),)由于 ，即方程 有唯一解为 114eg24()en4n分 若 ，则 ，即 或 0m2,n2m02（） 时， ，n42()enf由可知不存在满足条件的 13,分 （） 时， ，两式相除02mn24()emn得 22()e()en设 ，0)xhx则 ，32()4e(21)(ex x在 递增，在 递减，由 得 ， ，hx0,11,)hmn012n此时 ，矛盾24()emn综上所述，满足条件的 值只有一组，且 16, 0,4mn分
