1、广东省阳东一中、广雅中学 2015 届高三第一次联考数学（理）试题（解析版）【试卷综析】全面覆盖“双基”的同时，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出至于实践能力和创新意识方面也在努力体现，其中，函数与方程的数学思想方法、数形结合的数学思想方法、化归与转化的数学思想方法体现得较为突出有必要增加实际应用和创新意识的题目，以提升试卷的“灵气和亮点”. 一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)【题文】1.函数 的定义域是( )1fxlgxA. B. C. D. ,1,1,【知识点】函数的表示方法 B1【答案解析】C 解析：解： 所以 C 为正
2、确选项.01xx且【思路点拨】由解析式成立的条件可列出条件，进而求出定义域.【题文】2.若复数 z 满足方程 ，则 ( )20z3zA. B. C. D. 2i2i【知识点】复数的概念 L4【答案解析】D 解析：解： ,所以 D 为正确选项.2 302zzizi【思路点拨】根据复数的概念求出 z，再求出 .3【题文】3已知 a、b 是实数，则“a1，b2”是“a+b3 且 ab2”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分且必要条件 D既不充分也不必要条【知识点】充分必要条件 A2【答案解析】A 解析：解：当 a1，b2 有 a+b3 且 ab2，而 ，同样有2,1ab，所以 ，是
3、 的充分而不必要条件，所以 A32ab且 ,1ab32ab且正确.【思路点拨】根据条件可知题的充分必要性.【题文】4 中，角 所对的边 ，若 ， ，ABCC、 、 c、 、 3a，则 ( )5cosbA B C D852554512【知识点】正弦定理 C8【答案解析】C 解析：解：根据正弦定理可知 ，siniabAB，所以正确选项为 C.25345sin2bB【思路点拨】根据三角函数值可直接用正弦定理求值.【题文】5在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线， (2,4)， (1,3)，则AB AC ( )DAA(2,4) B(3,5) C(1 ，1) D( 1，1)【知识点】向量的加减运
4、算 F1【答案解析】C 解析：解： AB=-1,C而【思路点拨】根据题意可直接进行向量的运算.【题文】6.已知点 在不等式组 表示的平面区域上运动，则(,)Pxy20xy的最小值是 ( )zxyA B C D2211【知识点】线性规划 E5【答案解析】C 解析：解：由图可知可行域为三角形 ABC 上及内部的点，所以目标函数的最小值在 A 点取到， A 点的坐标为 代入目标0,1函数可得 .1Z【思路点拨】根据题意可求出可行域，再由图找到最小值点.【题文】7已知点 P是抛物线 24xy上的一个动点，则点 P到点 (2,)M的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )2 ,1si开始 21s
5、1si是输出 i结束否图3A 172 B 5 C 2 D 92【知识点】抛物线的概念 H7【答案解析】B 解析：解：由题意可知抛物线的焦点坐标为 ，由抛物线的概念可知0,1点 P到点 (2,0)M的距离与点 P到该抛物线准线的距离之和的最小值即为 M 点到焦点的距离，所以 22015d【思路点拨】根据抛物线的概念可知到准线的距离与到焦点的距离相等.【题文】8对于非空集合 ,AB，定义运算： |,ABxxAB且 ，已知|,|dxcNbxa，其中 cba、 满足 abcd，0cd，则 ( )A (,), B. ,ab C. (,)d D. (,),【知识点】集合的运算 A1【答案解析】C 解析：解
6、：由新定义的概念可知当 abc， 0acd时，再由题意可知 ，根据选项可知应为 C.acdbMN(,)c【思路点拨】根据新定义的集合运算可直接求解.二、填空题：(本大题共 7 小题，考生作答 6 小题,每小题 5 分，满分 30 分)（一）必做题：第 9、10、11、12、13 题为必做题，每道试题考生都必须作答【题文】9.某校高中部有三个年级，其中高三有学生 人，现采用分层抽样法抽取一个10容量为 的样本，已知在高一年级抽取了 人，高二年级抽取了 人，则高中部共185760有学生_人.【知识点】分层抽样 I1【答案解析】3700 解析：解：由分层抽样的概念可知，样本是按比例分配的，所以应在高
7、三抽取 50 人，按比例可知，高一有学生 1500 人，高二有学生 1200 人，所以高中部共有学生 1500+1200+1000=3700 人【思路点拨】由分层抽样的定义可知每一部分应该有学生多少人.【题文】10 40cosxd【知识点】积分的运算 B13【答案解析】 解析：解：因为 的导数为 ，2cosxsinx40cosin420xd【思路点拨】根据函数的积分运算.【题文】11执行如图 3 所示的程序框图，输出的 i 【知识点】程序框图 L1【答案解析】3 解析：解：由算法程序可知第一次循环后 ，需进行第二次循环，2,3si第二次循环后 输出 i 这时 i=321,352sis【思路点拨
8、】由程序运行法则可知结果.【题文】12下图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是_； 【知识点】三视图 G2【答案解析】B 解析：解：由三视图可知几何体为组合体，是由直径为 3 的球与底面直径为 3 高为 4 的圆柱组成，所以它的表面积为球的表面积 ，圆柱的表面294R积为 ，所以几何体的表面积为239421rh9512【思路点拨】根据三视图与原图的关系可求出表面积.【题文】13观察下列等式,212()xx,34x,2325667x,4 34678()019104x 由以上等式推测对于 ,若 ,则 .nN22201()n nxaxa 2【知识点】数列求和 D4【答案解析】 解
9、析：解：根据系数的规律可知 的系数在每个式子中分别为12 2x1， 3，6，10 设 123,6b 2132431,nbbb 13n n 【思路点拨】根据系数的特点可找出与数列的关系，再根据数列进行求和求出系数（二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分【题文】14 （坐标系与参数方程选做题） 如图， PA 是圆的切线， A 为切点， PBC 是圆的割线，且，则 BCP12【知识点】切割线定理 N1【答案解析】 解析：解：由切割线定理可知 设 则32PABCPa,2PCaB3PAC【思路点拨】由切割线定理可直接求出结果.【题文】15 （坐标系与参数
10、方程选做题）曲线 对称的曲线的4cos4关 于 直 线极坐标方程为 。【知识点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；点的极坐标和直角坐标的互化 N3【答案解析】B 解析：解：将原极坐标方程 =4cos，化为： 2=4cos，化成直角坐标方程为：x 2+y24x=0，它关于直线 y=x（即 = ）对称的圆的方程是x2+y24y=0，其极坐标方程为：=4sin故答案为：=4sin【思路点拨】先将原极坐标方程 =4cos 两边同乘以 后化成直角坐标方程，再结合曲线关于直线的对称性，利用直角坐标方程解决问题三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【题
11、文】16 （本小题满分 12 分）在 中， 分别是角 所对的边，满足 ，ABC,abc,ABC22acba（1）求角 的大小；（2）设 ， ，求 的最小值(sin,o2)m(6,1)nmn【知识点】余弦定理；向量的运算.C8,F2【答案解析】(1) (2)-5 解析：解：在 中，由余弦定理3ABC，又221cosBacb0,3B PBAO19图图181716151413 图图图图图0.060.080.160.320.38(2) 22 316sincosin6i1sinmAAA又 当 时， 取最小值 12 分20,0i13im5【思路点拨】由已知条件根据余弦定理可直接求出角 B，再由向量的运算求
12、出最小值.【题文】17 （本小题满分 12 分）某学校 900 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 秒与 秒之间，抽取其中 50138个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组 ,4)，第二组 4,15)，第五组17,8，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图（1）若成绩小于 14 秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；（2）请估计本年级 900 名学生中，成绩属于第三组的人数；（3）若样本第一组中只有一个女生，其他都是男生，第五组则只有一个男生，其他都是女生，现从第一、五组中各抽 2 个同学组成一个实验组，设其中男同学的数量为 ，求 的分布列和期望【知识点】频率分布直方图
13、;离散型随机变量的分布列与数学期望.I2,K6【答案解析】(1)3(2)342(3) 的分布列为P 1 2 31/3 1/2 1/6 11 分 61)3()2()1( pppE解析：解：（1）由频率分布直方图知，成绩在第一组的为优秀，频率为 0.06，人数为：500.06=3所以该样本中成绩优秀的人数为 3 3 分（2）由频率分布直方图知，成绩在第三组的频率 0.38，以此估计本年级 900 名学生成绩属于第三组的概率为 0.38，人数为：9000.38=342 所以估计本年级 900 名学生中，成绩属于第三组的人数为 342。 7 分O19图图 181716151413 图图图图图0.060
14、.080.160.320.38（3）第五组共有 500.008=4 人,其中 1 男,3 女,则 的可能取值为 1，2，3； 8 分3)1(240321Cp 9 分21)2( 431231240123 C 10 分6)(24132301Cp的分布列为P 1 2 31/3 1/2 1/6 11 分 12 分61)3()2()1( pppE【思路点拨】由直方图可直接求出数据列出分布列，再利用公式计算数学期望.【题文】18.（本小题满分 14 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，AA 1面 ABC，BCAC，BC=AC=2，AA 1=3， D 为 AC 的中点.(1)求证：AB 1/面 BDC1
15、；(2）求二面角 C1BDC 的余弦值；(3）在侧棱 AA1上是否存在点 P，使得 CP面 BDC1？并证明你的结论.【知识点】直线与平面平行；二面角；直线与平面垂直.G4,G5,G11【答案解析】略 解析：解：（I）证明：连接 B1C，与 BC1相交于 O，连接 ODBCC 1B1是矩形，O 是 B1C 的中点.又 D 是 AC 的中点，OD/AB 1.2 分AB 1 面 BDC1，OD 面 BDC1，AB 1/面 BDC1.4 分（II）解：如图，建立空间直角坐标系，则C1（0，0，0） ，B（0，3，2） ，C（0，3，0） ，A（2，3，0） ，D（1，3，0）5 分设 =（x 1，y
16、 1，z 1）是面 BDC1的一个法向量，则n ,1DCnB即 .6 分)2,3(,0321zy取B1C1A1BCD易知 =(0，3，0)是面 ABC 的一个法向量.C1.8 分72361|,cos11 Cn二面角 C1BDC 的余弦值为 .9 分（III）假设侧棱 AA1上存在一点 P（2，y，0） （0y3） ，使得 CP面 BDC1.则方程组无解.假设不成立. 37,)3(2,01yDPB即侧棱 AA1上不存在点 P，使 CP面 BDC1.14 分【思路点拨】由条件可证明直线与平面平行，再建立空间坐标系利用向量求出二面角的余弦值，最利用向量进行说明.【题文】19.（本小题满分 14 分）
17、已知 、 是方程 的两根，数列 是递增的等差数列，2a5 02712xna数列 的前 项和为 ，且 （ ） nbnSnnbN(1)求数列 ， 的通项公式；b(2)记 ，求数列 的前 项和 nnacncnT【知识点】等差数列与等比数列的综合；数列的函数特性 D2,D3【答案解析】(1) (2) 略 解析：解：（1）由题意得 a2=3，a 5=921n公差 所以 an=a2+（n2）d=2n1由 得 当当 n2 时 得 所以(2) 9 分nnbac324nnT 324)1(42132 11 分122103 n 两式相减得： 13 分nnn 3341，所以 14 分34T【思路点拨】 （1）通过解二
18、次方程求出方程的两个根，据数列a n为递增数列为递增数列，求出 a2，a 5，利用等差数列的通项公式求出数列a n的公差，利用等差数列推广的通项公式求出其通项，利用数列b n的前 n 项和与通项的关系求出数列b n的通项（2）求出数列c n的通项，求出 cn+1c n的差，判断出差的符号，得证【题文】20.（本小题满分 14 分）如图，已知椭圆2:1()xCya的上顶点为 A,离心率为 ，若不过点 A的动63直线 l与椭圆 相交于 P、 Q两点，且 .0P（1）求椭圆 的方程；（2）求证：直线 l过定点，并求出该定点 N的坐标. 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题 H8【答案解析】 （1） （
19、2）略 解析：解：（1）解：椭圆C： +y2=1（a1）的上顶点为 A，离心率为 ， = ，解得 a2=3，椭圆 C 的方程为 （2）解：由 =0，知 APAQ，从而直线 AP 与坐标轴不垂直，由 A（0，1） ，直线 AP 的斜率为 1，得直线 AP 的方程为 y=x+1，直线 AQ 的方程为y=x+1，将 y=x+1 代入椭圆 C 的方程 ，并整理得：4x 2+6x=0，解得 x=0 或 x= ，因此 P 的坐标为（ ， ） ，同理，得 Q（ ， ） 直线 l 的方程为 y= 代入椭圆 的方程213xy并整理得 22(13)63(1)0kxm, 设直线 l与椭圆 C相交于 )Pxkm、 2
20、(,)Qxk两点，则 ,12x是上述关于的方程两个不相等的实数解，从而 2222(6)4(13)(1)(3)0kxyoPQlF2121263(),mkxxk7 分 由 0,APQ得 2 21212112()()()()()0xkxkxmx， 2 2236)103mk 整理得：20,(),由 1m知 2. 此时29(41)k, 因此直线 l过定点(0,)2N. 14 分【思路点拨】 （1）由已知得 = ，由此能求出椭圆 C 的方程（2）直线 AP 的方程为 y=x+1，直线 AQ 的方程为 y=x+1，将 y=x+1 代入椭圆 C 的方程，得 P（ ， ） ，同理，得 Q（ ， ） 由此能求出直
21、线 l 的方程【题文】21.（本小题满分 14 分）已知函数 是奇函数，且图像在点 处的切线|ln)(bxaxf )( ,ef斜率为 3（ 为自然对数的底数） e（1）求实数 、 的值；b（2）若 ，且 对任意 恒成立，求 的最大值；Zk1)(xf1xk【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 B11,B12【答案解析】(1) (2) kmax=3；,0ab解析：解：（1）解：由 f（x）=ax+xln|x+b|=x（a+ln|x+b|）是奇函数，则 y=a+ln|x+b|为偶函数，b=0又 x0 时，f（x）=ax+xlnx，f（x）=a+1+lnx，f（e）=3，a=1；（2）解：当 x1 时，令 ， ，令 ln（x）=x2lnx，
