1、山东省德州一中 2015 届高三 10 月月考数学文试题 （解析版）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的山东省中学联盟网1已知集合 ，那么集合 等于（ ）1,24,3ABABA、 B、 C、 D、, 1,241,23【答案解析】C 解析：解：由题意可知 为 A、B 中所有元素组成的集合. C 正确 .,32求 的值是 ( )0sin6A、 B、 C、 D、 123212【答案解析】B 解析：解：由题意可知，所以 B 正确.3sin60si340sinsi603函数 且 的图象一定过定点（ ）,()(1-axf 1)A、
2、 B、 C、 D、, (,)(,)【答案解析】B 解析：解：由指数函数的定义可知当 ， 这时 ，所以函1x001a数的图像一定过定点 .1,4曲线 在点 处的切线方程为（ ）3yx(0)A B C D30xy30xy30xy【知识点】导数与切线.B11【答案解析】B 解析：解：由题意可知 过 点， ，在 点处31,21,的导数为 3，所以切线方程为 ，所以 B 正确.0yxy【思路点拨】根据函数的导数，可求出函数在该点处的切线斜率，再列出切线方程.【题文】5命题“ ， ”的否定是（ ）Rx2A. ， B. ，x2 Rxx2C. ， D. ，【知识点】命题.A2【答案解析】D 解析：解：由命题的
3、否定，可知全称量词要变成特称量词，所以 D 为正确选项.【思路点拨】根据命题间的关系可变换，注意全称量词与特称量词的相应变化.【题文】6下列函数在定义域内为奇函数的是（ ）A. 1yx B. sinyx C. 1yx D. cosyx【知识点】函数的奇偶性.B4【答案解析】A 解析：解：由奇函数的定义可知当 时，函数为奇函数，ff而只有 A ，所以只有 A 正确.1fxxfx【思路点拨】根据函数的奇偶性的定义对每一个选项分别进行分析，最后可找出正确结果.【题文】7计算 （ ）516log4l2A B C D2 14【知识点】对数函数.B7【答案解析】B 解析：解：由对数的运算性质可知，所以正确
4、选项为 B.2164516544log5lloglog2log1【思路点拨】根据对数函数的运算法则与换底公式，可化简对数求出结果.【题文】8函数 ()yfx的图象如图 1 所示，则 ()yfx的图象可能是（ ） 【知识点】导数.B11【答案解析】D 解析：解：由题意可知，函数在 上为增函数，在 上为减函,00,数，所以函数的导数在 上的值大于 0，在 上的值小于 0，根据答案可知 D,0正确.【思路点拨】根据导数与函数的增减性可知，导数值的正负，再选出正确选项.【题文】9在 中， ， 若点 满足 ，则 （ ABC cACbD2BCA）A B C D 123bc523213c13bc【知识点】向
5、量的加减运算.F1【答案解析】D 解析：解：由题可知 ，23BCAbcBDCbc又 ，所以正确选项为 D.22133ADCBAc【思路点拨】根据向量的加减运算可表示出所求向量，注意运算法则的运用.【题文】10要得到函数 的图象，只需将函数 的图象上osyxcos(2)4yx所有的点A横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再向右平行移动 个单位长度B横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，再向右平行移动 个单位长度14C横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，再向左平行移动 个单位长度28D横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再向右平行移动 个单位长度【知识点】三角函数的图像与性质.C3【
6、答案解析】A 解析：解：根据三角函数的图像变换可知， 横坐标伸2cos()4yx长到原来的 2 倍可得 ，再向右平行移动12cos4yx个单位长度 ，所以 A 正确.42cosx【思路点拨】根据三角函数的图像变换方法，可依次进行变换，再找出正确选项.二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.【题文】11.函数 是周期函数，它的周期是_ ()tan2)4fx【知识点】三角函数的周期.B4【答案解析】 解析：解：由正切函数的周期公式可知 ,所以周期为 .2 2T2【思路点拨】由正切函数的周期公式可求出函数的周期.【题文】12在单位圆中，面积为 1 的扇形所对的圆心角的弧度数为_
7、 【知识点】弧度制.C1【答案解析】2 解析：解：由扇形的面积公式可知 ，再由122Slrl，所以所对的圆心角弧度数为 2.21lr【思路点拨】根据已知条件中的面积可求出弧长，再利用弧度制的概念可求出弧度数.【题文】13已知命题 ，命题 成立，若“ p q”为真:0pm2:,10qxRmx命题，则实数 m 的取值范围是_ _ 【知识点】命题的关系.A2【答案解析】-2m0 解析：解：由命题的真假可知 p 且 q 成立，则 p 与 q 都是真命题，所以 2 2000201,42mmmx【思路点拨】根据已知条件，可先判定两个命题的真假，再分别求出两个命题中 m 的取值范围，最后求出结果.【题文】1
8、4. 求值： _ _ 356coscsocso777【知识点】三角函数的二倍角公式.C6【答案解析】 解析：解：由三角函数化简可知164234562sincoscoscs2356777coscsocs77in4434562sincoscosco2sicoscos7777772in2in 4 5835686siicscsinsics3i77 5 5 6812510sinicossinco in77333si227 6in17342s【思路点拨】根据已知式子我们可向公式的方向列出条件，结合二倍角公式进行化简.【题文】15. 已知下列给出的四个结论:命题“若 0m,则方程 20xm有实数根”的逆否命
9、题为:“若方程2x无实数根,则 0”； yRsin(y)siny；在 ABC 中,“ 30A”是“ 12A”的充要条件；设 则 是 为偶函数”的充分而不必要条件；,R“2)sin()xf则其中正确命题的序号为_(写出所有正确命题的序号).【知识点】充要条件.A2【答案解析】 解析：解：因为命题的逆否为，即否定条件又否定结论.所以正确. 当 时， 成立. 因为 时，在2xysinsini022 1sin2A三角形中角 A ，所是“ 3A”是“ 1siA”的充分条件，而不是必3015或要条件，所以不正确. 中当 时， 为偶函数，=2incos2fxxf而当 为偶函数时， 可以为与 终边相同或相反的
10、无数个角.所以正确)sin()xf序号为【思路点拨】根据每个小项进行分析，对充分必要关系进行计算，最后找出正确结果.三、解答题：本大题共 6 个小题，共 75 分解答应写文字说明、证明过程或演算步骤，把答案填写在答题纸的相应位置【题文】16 （本小题满分 12 分）（1）已知 中， 分别是角 的对边， ，则ABC,abc,ABC4,3,0abA等于多少？B（2）在 中， 分别是角 的对边，若 ，求边, 02,6C上的高 是多少？h【知识点】解三角形.C8【答案解析】(1) 或 (2) 解析：解：（1）由正弦定理：06B1237h，则： ，siniabA043sini解得： 3 分i2B又由于
11、是三角形中的角，且由于 ，于是： 或 6 分,abAB0612（2）由余弦定理： ，这样， 9 分22cos497cC7c由面积公式 ，解得： 分1sinSabh321【思路点拨】根据已知条件，利用正弦余弦定理分别求出三角形的角与边.【题文】17 （本小题满分 12 分）已知函数 ，321()1fxx（1）求函数 的极值；（2）若对 ，都有 恒成立，求出 的范围；2,3xs()fxs（3） ，有 成立，求出 的范围；0m0m【知识点】导数与极值.B11;B12【答案解析】(1) 极大值是 ，极小值是 (2) (3) 解析：解：13673s1673，解得 ， 分2()(2)0fxx12,x,1(
12、) (2,)()fx正 0 负 0 正递增 36递减 73递增因此极大值是 ，极小值是 6 分1367（2） ， 7 分()f1()2f因此在区间 的最大值是 ，最小值是 ， 10 分,3363s16（3）由（2）得： 12 分m【思路点拨】根据函数求出函数的导数，再利用导数等于 0 求出极值点，根据极值点的两侧异号的条件求出极值，及最值.【题文】18 （本小题满分 12 分）已知函数 1()cos)s()incos34fxxx，(1)求函数 f的对称轴所在直线的方程；(2)求函数 x单调递增区间.【知识点】两角和与差的三角函数；二倍角公式.C5;C6【答案解析】(1) (2) 5,8kkz解
13、析：解：() ,28kZ13131(cosin)(cosin)si2224xxx22131cosinsi44xx1cos23cos21in84xx (i)co 6 分令 ，解得 ， 8 分2,4xkZ,28kxZ(II)由 4z ,得 5,kxkz 函数 )(xf的 单调递增区间为 5,k 12 分【思路点拨】求三角的对称轴、周期、单调区间等问题，我们要把函数向一个函数的方向去转化，然后再分别求解.【题文】19 （本小题满分 12 分）某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为 60 海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为 600 海里，每小时的运输成本由燃料费和其它费
14、用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为 0.5，其它费用为每小时 1250元.(1)请把全程运输成本 （元）表示为速度 （海里/小时）的函数,并指明定义域；yx(2)为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？【知识点】导数与最值.B3;B11【答案解析】(1) (2) 函数 ，在7503(06)x7503yxx=50 处取得极小值，也是最小值.故为使全程运输成本最小，轮船应以 50 海里/小时的速度行驶. 解析：解：(1)由题意得： ，即：2(15.)yxx 6 分7503(06)yx(2)由（1）知， 令 ，解得 x=50,或 x=-50(舍去). 827530,yy
15、分当 时， ，当 时， （均值不等式法同样给分，但要考05x6x0虑定义域） ， 10 分因此，函数 ，在 x=50 处取得极小值，也是最小值.故为使全程运703yx输成本最小，轮船应以 50 海里/小时的速度行驶. 12 分【思路点拨】根据题意列出函数式，再利用导数求出函数的最值.【题文】20 （本小题满分 13 分）（1）在 中， 分别是角 的对边，其中 是边 上的高，请同学ABC,abc,ABChAB们利用所学知识给出这个不等式： 的证明.24c（2）在 中， 是边 上的高，已知 ，并且该三角形的周ABChABcos2iniBA长是 ；1求证： ；c求此三角形面积的最大值.【知识点】不等
16、式；余弦定理和正弦定理.C8;E1【答案解析】(1)略(2) 解析：解：要证明： ，即证明：10872ab24ch ，利用余弦定理和正弦定理即证明： 22ab4ch osC，即证明：22sinC4h ，因为 ，1cos22 2i(1cosC)(1cos)()ababc1cos0C即证明： ，完全平方式得证. 6 分2 22(1os)ababc(2) ，使用正弦定理， . 9 分cosininiBACsin2aBh（3） ，解得： ，12h24ch6于是： ，最大值 13 分S08710872【思路点拨】利用正弦定理和余弦定理进行证明，再利用基本不等式求出最大值.【题文】21 （本小题满分 14
17、 分）已知函数 3()fxx(I)判断 的单调性；()求函数 的零点的个数；()yfx(III)令 ，若函数 在(0， )内有极值，求实数 a 的2ln()agxf()ygx1e取值范围.【知识点】导数；函数与方程.B9;B11【答案解析】(I) 在 上单调递增. (II) 在 内有且仅有 2 个零x0,fx0,)点.(III) 解析：解：(I)设 ，其中12ae21xx在 上单调递增.3120,xxx,(II)因为 ，又因为 在 上单调递增.故1,20x0,在 内有唯一的零点.又因为 为函数的一个零点，因此x1,2,fx在 内有且仅有 2 个零点.f0)(III) 设 22 23 11ln xaaxaagxgx，2()1hx则 有两个不同的根 ，且一根在 内,012,x10e不妨设 ，由于 ，所以, 12 分1xe122x由于 ,则只需 ，即 13 分0h0h210,ae解得: 14 分12ae【思路点拨】利用函数的导数可判定函数的单调性，再根据单调与值的正负可求出零点的个数，最后再根据导数求出 a 的取值范围.
