1、四川省成都外国语学校 2015 届高三 10 月月考数学（理）试题（解析版）【试卷综析】试卷全面考查了考试说明中要求的内容，如复数、旋转体、简易逻辑试卷都有所考查。在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其是解答题，涉及内容均是高中数学的重点知识.明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向.注重考查数学的各种思想和能力 函数与方程的思想、变换的思想、充分体现，挖掘考生的各项数学能力、体现宽口径，多角度的命题思路. 第卷一、选择题（本大题 10 个小题，每题 5 分，共 50 分,请将答案涂在答题卡上)【题文
2、】1已知集合 A= ，集合 B 为整数集，则 A B=（ ）0)2(1|x A. B. 0,1 1,C. D.2 2【知识点】交集及其运算 A1【答案解析】D 解析：解：由（x+1） （x+2）0，得1x2，A=x|（x+1） （x+2）0=x|1x2，又 B 为整数集，则 AB=1，0，1，2故选：D【思路点拨】求解一元二次不等式化简集合 A，然后直接利用交集运算得答案【题文】2为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象上所有的点)12cos(xy xy2cos（ ）A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 21 1C.向左平移 1 个单位长度 D.向右平移 1 个单位长度 【知识点
3、】函数 y=Asin（x+）的图象变换 C4【答案解析】A 解析：解：因为函数 y=cos（2x+1）=cos2（x+ ），所以要得到函数 y=cos（2x+1）的图象，只要将函数 y=cos2x 的图象向左平移 个单位故选 A【思路点拨】化简函数 y=cos（2x+1） ，然后直接利用平移原则，推出平移的单位与方向即可【题文】3已知 ，其中 是虚数单位，那么实数 的值为（ ）ia2)(i aA. 1 B. 2 C. D.12【知识点】复数代数形式的乘除运算【答案解析】C 解析：解：（ai） 2=2i，a 212ai=2i， ，解得a=1故选：C【思路点拨】利用复数的运算法则、复数相等即可得出
4、【题文】4若 则一定有（ ）,0,dcbaA. B. C. D.dcbacbdacbda【知识点】不等式比较大小；不等关系与不等式 E1【答案解析】D 解析：解：不妨令 a=3，b=1，c=3，d=1，则 ， ，A、B 不正确；， = ，C 不正确，D 正确故选：D【思路点拨】利用特例法，判断选项即可【题文】5若 是 的对称轴，则 的初相是（ ）3xxasincoxasincoA. B. C. D.667656【知识点】两角和与差的正弦函数C5【答案解析】C 解析：解：已知 x= 是 f（x）=cosx+asinx 的对称轴，所以 cos（ ）+asin（ ）= ，解得：a= ，则：f（x）=
5、cosx sinx=2sin（x+ ） ，故选：C【思路点拨】首先根据函数的对称轴建立关于 a 的方程求出 a 值，进一步对 f（x）=cosx+asinx 的关系进行恒等变换，整理成 f（x）=2sin（x+ ）的形式，最后求出结果【题文】6已知数列 的前 项和 ，则数列 （ ）na)0(1aSn naA.一定是等差数列 B.一定是等比数列C.或者是等差数列，或者是等比数列 D.既不可能是等差数列，也不可能是等比数列【知识点】等比关系的确定 D5【答案解析】C 解析：解：当 a=1 时，S n=0，且 a1=a1=0，a n=SnS n1 =（a n1）（a n1 1）=0， （n1）an1
6、 =Sn1 S n2 =（a n1 1）（a n2 1）=0，a na n1 =0，数列a n是等差数列当 a1 时，a1=a1，an=SnS n1 =（a n1）（a n1 1）=a na n1 ， （n1）an1 =Sn1 S n2 =（a n1 1）（a n2 1）=a n1 a n2 ， （n2）， （n2）数列a n是等比数列综上所述，数列a n或是等差数列或是等比数列故选 C【思路点拨】由题意可知，当 a=1 时，S n=0，判断数列是否是等差数列；当 a1 时，利用 ，判断数列a n是等差数列还是等比数列【题文】7如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩，其中一个
7、数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ）A. B. 52107C. D.49【知识点】众数、中位数、平均数；茎叶图 K8【答案解析】C 解析：解：由已知中的茎叶图可得甲的 5 次综合测评中的成绩分别为 88，89，90，91，92，则甲的平均成绩 = =90设污损数字为 X，则乙的 5 次综合测评中的成绩分别为 83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩 = =88.4+当 X=8 或 9 时， 即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为 =则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率 P=1 =故选 C【思路点拨】由已知的茎叶图，我们可以求出甲乙两人的平均成绩，然后求出 即甲的平均
8、成绩不超过乙的平均成绩的概率，进而根据对立事件减法公式得到答案【题文】8某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于 37，则输入的整数 i 的最大值为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【知识点】循环结构 L2【答案解析】C 解析：解：经过第一次循环得到 S=2，n=1，经过第二次循环得到 S=5，n=2，经过第三次循环得到 S=10，n=3，经过第四次循环得到 S=19，n=4，经过第五次循环得到 S=36，n=5，经过第六次循环得到 S=69，n=6，输出的结果不大于 37n 的最大值为 4i 的最大值为 5故选 B【思路点拨】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，据题目对输出 s
9、 的要求，求出n 的最大值，据判断框中 n 与 i 的关系求出 i 的最大值【题文】9用 C(A)表示非空集合 A 中的元素个数，定义A*B= 。若 A=1,2)(),(BCBCAB= ，且 A*B=1，02(|22axx设实数 的所有可能取值集合是 S，则 C(S)=（ ）aA. 4 B. 3 C. 2 D. 1【知识点】集合的确定性、互异性、无序性 A1【答案解析】B 解析：解：由于（x 2+ax） （x 2+ax+2）=0 等价于x2+ax=0 或 x2+ax+2=0 ，又由 A=1，2，且 A*B=1，集合 B 要么是单元素集合，要么是三元素集合，1集合 B 是单元素集合，则方程有两相
10、等实根，无实数根，a=0；2集合 B 是三元素集合，则方程有两不相等实根，有两个相等且异于的实数根，即 ，解得 a=2 ，综上所述 a=0 或 a=2 ，C（S）=3故答案为 B【思路点拨】根据 A=1，2，B=x|（x 2+ax） （x 2+ax+2）=0，且 A*B=1，可知集合 B 要么是单元素集合，要么是三元素集合，然后对方程|x 2+ax+1|=1 的根的个数进行讨论，即可求得 a 的所有可能值，进而可求 C（S） 【题文】10如图所示，等边ABC 的边长为 2，D 为 AC 中点，且ADE 也是等边三角形，在ADE 以点 A 为中心向下转动到稳定位置的过程中， 的取值范围是（ ）C
11、EBDA. B. 23,1 21,3C. D.)4,( )5,4(【知识点】平面向量数量积的运算 F3【答案解析】A 解析：解：设BAD=， （0 ） ，则CAE=，则 =（ ）（ ）= + =11cos 12cos（ ）21cos（ ）+22cos= 2（ cos+ sin+ cos sin）= 2cos，由于 0 ，则 cos1，则 2cos 故选：A【思路点拨】设BAD=， （0 ） ，则CAE=，则 =（ ）（ ） ，将其展开，运用向量的数量积的定义，再由两角和差的余弦公式，化简得到 2cos，再由余弦函数的性质，即可得到范围第卷二填空题（本大题 5 个小题，每题 5 分，共 25 分
12、，请把答案填在答题卡上）【题文】11等比数列 的前 项和为 ，已知 S1，2S 2，3S 3成等差数列，则数列nan的公比为_。na【知识点】等比数列的性质 D3【答案解析】 解析：解：等比数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 S1，2S 2，3S 3成等差数列，a n=a1qn1 ，又 4S2=S1+3S3，即 4（a 1+a1q）=a 1+3（a 1+a1q+a1q2） ，解 故答案为【思路点拨】先根据等差中项可知 4S2=S1+3S3，利用等比赛数列的求和公式用 a1和 q 分别表示出 S1，S 2和 S3，代入即可求得 q【题文】12已知函数 则满足不等式 的取值范围是 ,0,1)(
13、2xxf )2(1(xff。【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；其他不等式的解法 B1,E8【答案解析】 解析：解：由题意，可得故答案为：【思路点拨】由题意 f（x）在0，+）上是增函数，而 x0 时，f（x）=1，故满足不等式 f（1x 2）f（2x）的 x 需满足 ，解出 x 即可【题文】13已知直线 l 过点 ，且与曲线 相切，则直线 的方程为 )1,0(ylnl。【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程 B11【答案解析】xy1=0 解析：解：f（x）=xlnx，函数的导数为 f（x）=1+lnx，设切点坐标为（x 0，x 0lnx0） ，f（x）=xlnx 在（x 0，x
14、0lnx0）处的切线方程为 yx 0lnx0=（lnx 0+1） （xx 0） ，切线 l 过点（0，1） ，1x 0lnx0=（lnx 0+1） （x 0） ，解得 x0=1，直线 l 的方程为：y=x1即直线方程为 xy1=0，故答案为：xy1=0【思路点拨】设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式求出切线方程，代入点（0，1） ，解方程即可得到结论【题文】14设 的展开式的各项系数之和为 M，二项式系数之和为 N，若nx)15(MN=240，则 N = 。【知识点】二项式系数的性质 J3【答案解析】4 解析：解：各项系数之和为 M=4n，二项式系数之和为N
15、=2n，MN=240=4 n2 n，n=4故答案为：4【思路点拨】由于各项系数之和为 M=4n，二项式系数之和为 N=2n，MN=240=4 n2 n，解方程求得 n 的值【题文】15已知函数 的定义域为 ，部分对应值如下表：)(xf5,10 4 5)(f1 2 2 1的导函数 的图象如图所示，下列关于 的)(xfxfy)(xf命题：函数 是周期函数；函数 在0,2上是减)(xf )(xf函数；如果当 时， 的最大值是 2，那么 的,1t)(f t最大值是 4；当 时，函数 有 4 个零点；2aafy)(函数 的零点个数可能为 0，1，2，3，4。其中正确命题的序号是xfy)(_（写出所有正确
16、命题的序号） 。【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的周期性；函数的零点；利用导数研究函数的单调性 B9,B11【答案解析】 解析：解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象可由以下两种代表形式，如图：由图得：为假命题函数 f（x）不能断定为是周期函数为真命题，因为在0，2上导函数为负，故原函数递减；为假命题，当 t=5 时，也满足 x1，t时，f（x）的最大值是 2；为假命题，当 a 离 1 非常接近时，对于第二个图，y=f（x）a 有 2 个零点，也可以是3 个零点为真命题，动直线 y=a 与 y=f（x）图象交点个数可以为 0、1、2、3、4 个，故函数y=f（x）a
17、的零点个数可能为 0、1、2、3、4 个综上得：真命题只有故答案为：【思路点拨】先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对五个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案三解答题：（本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）【题文】16 （12 分）已知数列 是等差数列， 是等比数列，nanb。32,4,3,152ba（1）求数列 、 的通项公式；n（2）设数列 中， ，求数列 的前 n 项和 Sn。cnnbanc【知识点】数列的求和；等差数列的性质 D2,D4【答案解析】(1) (2) Sn=（n
18、1）2 n+1+2 解析：解：（1）在等差数列a n中，由 a1=1，a 3=3，得 ，a n=1+1（n1）=n在等比数列b n中，由 b2=4，b 5=32，得 ，q=2 ；（2）c n=anbn=n2n则 Sn=121+222+323+n2n ，得： = S n=（n1）2 n+1+2【思路点拨】1）直接由已知求出等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（2）把数列a n、b n的通项公式代入 cn=anbn，然后利用错位相减法求数列c n的前 n项和 Sn【题文】17 （12 分）已知向量 。)si,(cos),s2,i(os xxxm（1）求 的最小正
19、周期和单调减区间；xf)(（2）将函数 的图象向右平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到)(fy8原的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，在ABC 中，角 A、B、C 的对)(xgy边分别为 ，若 ，求 的值。cba, 2,)B(,0)2A(bf a【知识点】平面向量数量积的运算；函数 y=Asin（x+）的图象变换 F3,C4【答案解析】(1) =，k ，k ，kz(2) a= 解析：解：（1）向量 =（cosx+sinx，2cosx） ， =（cosxsinx，sinx） f（x）= =COS2xsin2x=sin（2x+ ） ，函数的周期为 =，2k+ 2x +2k，kz，k
20、 xk+ ，kz，所以函数的周期为 =，k ，k ，kz（2）将函数 y=f（x）的图象向右平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原的 2 倍，纵坐标不变，g（x）= cosx，f（ ）=0，g（B）= ，b=2， sin（A+ ）=0， COSB=，在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，A= ，B= ，b=2 得： ，即 a= ，【思路点拨】 （1）向量 =（cosx+sinx，2cosx） ， =（cosxsinx，sinx） f（x）= =COS2xsin2x= sin（2x+ ） ，运用三角函数的图象的性质求解（2）利用函数图象平移求出 g（x）解析式，代入利
21、用已知条件求解【题文】18 （12 分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是直角梯形，ADBC，ABBC，AD=2，AB=3，BC=BE=7，DCE 是边长为 6 的正三角形。（1）求证：平面 DEC平面 BDE；（2）求二面角 CBED 的余弦值。【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法 G5,G11【答案解析】 （1）略 （2） 解析：解（1）证明：因为四边形 ABCD 为直角梯形，ADBC，ABBC，AD=2，AB=3，所以 BD= ，又因为 BC=7，CD=6，所以根据勾股定理可得 BDCD，因为 BE=7，DE=6，同理可得 BDDE因为 DECD=D，DE平面 D
22、EC，CD 平面 DEC，所以 BD平面 DEC因为 BD平面 BDE，所以平面 DEC平面 BDE；（2）解：在CBE 中，BC=7，CE=6，BE=7，S CBE = =6 ，在BED 中，BD= ，DE=6，BE=7，S BED = =3 ，二面角 CBED 的余弦值为 =【思路点拨】 （1）根据勾股定理证明 BDCD，BDDE，可得 BD平面 DEC，利用平面与平面垂直的判定定理，即可证明平面 DEC平面 BDE；（2）求出 SCBE 、S BED ，即可求二面角 CBED 的余弦值【题文】19某班共有 24 人参加同时开设的数学兴趣小组和物理兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的有 6 名
23、女生，10 名男生；参加物理兴趣小组的有 3 名女生，5 名男生，现采用分层抽样方法从两组中抽取 3 人。（1）求抽取的 3 人中恰有一名女生自数学兴趣小组的概率；（2）记 X 表示抽取 3 人中男生的人数，求 X 的分布列和数学期望。【知识点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差 K6【答案解析】(1) P（A）= (2) X 的分布列为：X 0 1 2 3PEX= = 解析：解：（1）设事件 A 表示“抽取的 3 人中恰有一名女生自数学兴趣小组” ，P（A）= （2）由题意，知 X=0，1，2，3，现采用分层抽样方法从两组中抽取 3 人，则从甲组中抽取 2 人，从乙组抽取 1 人，P（X=0）= = ，P（X=1）= = ，P（X=2）= + = ，P（X=3）= = ，
